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2025-2026 学年建平西校九年级10 月考
一、选择题：
1. 如果
，且b 是a、c 的比例中项，那么
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c 值．
【详解】解：∵a：b＝3：2，b 是a 和c 的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念．解题关键是明确在线段a，b，c 中，若b2＝ac，则b 是a，c 的比例
中项．
2. 如果△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝
，那么下列等式不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件可以得出角A 的度数即可.
【详解】∵△ABC 中，∠C＝90°，
，
∴∠A＝30°.
∴∠B＝60°.
∴
；
；
；
.
故选A.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
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3. 如图，在
中，点
，
分别在
的边
，
上，如果添加一个条件，不一定能使
与
相似，那么这个条件可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比
相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形
的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：
，
A、当
时，
，故该选项不符合题意；
B、当
时，
，故该选项不符合题意；
C、当
时，
，故该选项不符合题意；
D、当
时，不能推出
与
相似，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 已知
、
、
都是非零向量，如果
，
，那么下列说法中，错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
与
方向相反
【答案】C
【解析】
【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.
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【详解】解：已知
，
，故
是长度相同，方向相反的相反向量，
故A,B,D 正确，
向量之和是向量，C 错误，
故选C.
【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用
相等向量与相反向量的定义判断A、B、D 三项结论正确.
5. 形状与大小都确定的一个锐角三角形
，点
是边
上一点，下列条件不能唯一确定
与
面积的比值的是（ ）
A. 点
是边
的黄金分割点
B. 点
是边
的中点
C.
是边
上的高
D.
是
的平分线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角
形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、点D 是边
的黄金分割点，而
的黄金分割点有两个，所以
与
面积
的比值不唯一，故A 符合题意；
B、∵点D 是边
的中点，
∴
，
∴
与
面积的比值为1，
故B 不符合题意；
C、∵
是边
上的高，
∴
与
面积的比值为
，
故C 不符合题意；
D、∵
是
的平分线，
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∴
与
面积的比值为
，
故D 不符合题意；
故选：A．
6. 如图，点
在矩形
的边
上，将矩形沿
翻折，点
恰好落在边
的点
处，如果
，那么
的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出
，
，再根据折叠的性质得出
，
，
，
然后根据等边对等角得出
，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出
，设
，根据勾股定理得出
，根据线段的和差及勾股定理得出
，最后再化简即可得出答案．
【详解】
四边形
为矩形
，
将矩形沿
翻折，
，
，
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设
在
中，
故选B．
二、填空题：
7. 已知
，那么
___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例问题，代数式的值，掌握比例性质，利用整体代入约分是解题关键．根据已知比例，
将所求分式转化为已知分式与常数的差，进而代入计算．
【详解】解：∵
，
∴
，
故答案为：
．
8. 在比例尺为1：50000 的地图上，量得甲、乙两地的距离为12 厘米，则甲、乙两地的实际距离是______
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千米．
【答案】
【解析】
【分析】本题可根据比例线段进行求解.
【详解】解：因为在比例尺为1:50000 的地图上甲，乙两地的距离12cm，所以，甲、乙的实际距离x 满足
12:x=1:50000，即x=12
=600000cm=6km.
故答案为6.
【点睛】本题主要考查比例尺和比例线段的相关知识.
9. 两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为
，
．则另一个三角形的最大内角的度数是
________．
【答案】
##
度
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质得出
，
，求出
和
的度数，再根据三角形内
角和定理求出
即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
即
的最大的内角度数是
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，
注意：相似三角形的对应角相等．
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10. 两个相似多边形的周长之比为
，则它们的面积之比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面
积之比等于相似比的平方计算．
【详解】解：
两个相似多边形的周长之比为
，
它们的相似比为
，
则它们的面积之比为
，
故答案为：
．
11. 已知点P 在线段AB 上，满足AP：BP＝BP：AB，若BP＝2，则AB 的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段，得出BP＝
AB，代入数据即可得出AB 的长．
【详解】∵点P 在线段AB 上，满足AP：BP＝BP：AB，
∴P 为线段AB 的黄金分割点，且BP 是较长线段，
∴BP＝
AB，
∴
AB＝2，
解得AB＝
．
故答案为
．
【点睛】本题考查了比例线段、黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是
较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；
较长线段是整个线段的
倍．
12. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝________．
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【答案】
【解析】
【分析】先画出图形，再根据正弦三角函数的定义即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了正弦，熟练掌握正弦的概念是解题关键．
13. 如图，矩形DEFG 的边EF 在
ABC 的边BC 上，顶点D、G 分别在边AB、AC 上，已知
ABC 的边
BC 长60 厘米，高AH 为40 厘米，如果DE=2DG，那么DG=______厘米．
【答案】
【解析】
【分析】如图，记
的交点为
设
再证明：
利用相似三角形的性质可得：
再列方程，解方程可得答案．
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【详解】解：如图，记
的交点为
设
四边形
为矩形，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
14. 如图，已知直线
，直线m、n 与a、b、c 分别交于点A、C、E 和B、D、F，如果
，
，
，那么
______．
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【答案】
【解析】
【分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得
,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4，
即可求得BD 的长.
【详解】解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,
即可得
,
又由AC＝3，CE＝5，DF＝4
可得：
解得：BD=
.
故答案为
.
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
15. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG＝2，sin∠ACG＝
，则BC 长为
_____．
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【答案】4．
【解析】
【分析】延长CG 交AB 于D，作DE⊥BC 于E，由点G 是△ABC 的重心，得到CG＝2，求得CD＝3，点
D 为AB 的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝
BC，解直角三角形
即可得到结论．
【详解】延长CG 交AB 于D，作DE⊥BC 于E，
∵点G 是△ABC 的重心，
∵CG＝2，
∴CD＝3，点D 为AB 的中点，
∴DC＝DB，又DE⊥BC，
∴CE＝BE＝
BC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝
，
∴CE＝2，
∴BC＝4
故答案为4．
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【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形
三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2 倍是解题的关键．
16. 如图，已知
，D、E 分别是边BA、CA 延长线上的点，且
如果
，
，
那么AE 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由DE∥BC 不难证明△ABC
△ADE,再由
，将题中数值代入并根据等量关系计算AE
的长.
【详解】解：由DE∥BC 不难证明△ABC
△ADE,
∵
，CE=4,
∴
，
解得：AE=
故答案为
.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形的判定和性质是解题关键.
17. 定义：如果△ABC 内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如
图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P 为△ABC 的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝_____．
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【答案】
【解析】
【分析】根据题意先证明出
，再根据相似比的关系求出
的值.
【详解】
，
，
，
，
又
，
，
，
，
.
故答案为
.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
18. 在等腰
中，
，
是边
上的高，将线段
绕着点D 逆时针旋转，点A 旋转到
点E，
与边
交于点F，且
，如果
与
相似，那么
的值为 ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点
作
于点
，交
于点
，先判断出
得
，由相
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似三角形的性质得
，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得
，
由相似三角形的性质得
，设
，
，则
，
，
，整理得
，
，化简得
，
设
，
，可得
，即可求解．
【详解】解：过点
作
于点
，交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与
相似，
，
，
，
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，
由旋转得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
则
，
，
，
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，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
解得：
（负值已舍），
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形
的性质进行求解是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：
．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利
用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
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【详解】解：原式
．
20. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，点E 在边BC 上，AE 与BD 相交于点
G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC 的值；
（2）设
，
，那么
________，
__________（用向量
、
表示）
【答案】（1）EC：BC＝2：3；（2）
，
．；
【解析】
【分析】(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；
(2)利用三角形法则计算即可；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴
3，
∴
3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵
，AC＝2AO，
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∴
2
，
∵
2
，EC
BC，
∴
，
∵AD∥BE，
∴
，
∴BG
BD，
∵
2
2
2
，
∴
（2
2
）
，
故答案为
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 如图，已知AD
BE
CF，它们依次交直线
、
于点A、B、C 和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求
的值；
（2）当AD=5，CF=19 时，求BE 的长．
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【答案】（1）
；（2）11
【解析】
【分析】（1）根据AD
BE
CF 可得
，由此计算即可；
（2）过点A 作AG
DF 交BE 于点H，交CF 于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理
得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵AD
BE
CF，
∴
，
∵AB=6，BC=8，
∴
，
故
的值为
；
（2）如图，过点A 作AG
DF 交BE 于点H，交CF 于点G，
∵AG
DF，AD
BE
CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE
CF，
∴
，
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∴
，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平
行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．
22. 已知：图1、图2 中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G 是网格的格点．
（1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图：（不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果）
①在图1 中，作出
，垂足为点D；
②在图2 中，作出
的重心O；
（2）利用②的作图结果，求
的值．
【答案】（1）①如图1，
即为所求；
②如图2，取
的中点M，
的中点H，连接
，
相交于点O，则点O 即为所求．
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（2）
【解析】
【分析】（1）①利用网格直接画图即可．
②结合三角形的重心的定义，取
的中点M，
的中点H，连接
，
相交于点O，则点O 即为
所求．
（2）由图可得，
，结合勾股定理求出
的长，进而可得答案．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
由图可得，
．
由勾股定理得，
，
∴
，
∴
的值为
．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
23. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，E 是对角线AC 上一点，且AC·CE=AD·BC.
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（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长BE 交AD 于F，求证：AB2=AF·AD.
【答案】
(1)证明：如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA,
∵AC·CE=AD·BC，
∴
,
∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC，
∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC，AB=DC,
∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴
,
∵AB=DC，
∴
.
【解析】
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【分析】（1）由AD∥BC 得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴
，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴
，又∵AB=DC，∴
【详解】（1）略
（2）略
【点睛】本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
24. 如图，直线
与
轴交于
，与
轴交于
，点
在
轴上，且
，
是线段
上的一点（
与
、
不重合），以
为顶点作
，与
交于点
，且
．
（1）求点
的坐标．
（2）若
，求点
的坐标．
（3）若
是直角三角形，求点
的坐标．
【答案】（1）
（2）
或
（3）
，
【解析】
【分析】（1）首先求出
点坐标，再利用
可知
与
关于
轴对称，即可求出点
的坐标；
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（2）首先求出
点坐标，利用两点间距离公式求出
的长度，再设
，证明
，利
用
表示出
的长度，即可求出点
的坐标；
（3）当
时，易证
，根据
求出
的长，即可求出点
的坐标；
当
时，通过证明
即可求出点
的坐标．
【小问1 详解】
解：
直线
与
轴交于
，
当
时，
，
，
点
在
轴上，且
，
与
关于
轴对称，
；
【小问2 详解】
直线
与
轴交于
，
当
时，
，
，
，
，
，
，
，
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，即
，
设
，
，
，
解得：
或
，
点坐标为
或
；
【小问3 详解】
由（1）、（2）可知
，
，
，
如图，当
时，
，
，
又
，
，
，即
，
，
；
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如图，当
时，
则
，
，
，
，
，
过点
只有一条直线与
垂直，
此时点
与
点重合，
符合条件的
，
使
是直角三角，点
的坐标有两个
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质，直角三
角形性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25. 如图，已知
中，
，
，
，点E、F 分别在边
、
上（不与端
点重合），
，垂足为点D．
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（1）当
时，求
的长；
（2）当
时，求
值；
（3）连接
，如果
是直角三角形，求这时四边形
的面积．
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）
或
．
【解析】
【分析】（1）过F 作
，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得
，
，设
，则
，可得
，所以
，
求出x 值，再利用勾股定理求出
即可；
（2）同（1）思路，证
，即可得解；
（3）分两种情况讨论，
为直角或
为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立
方程求解即可．
【小问1 详解】
解：过F 作
，垂足为点H，
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∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，即
，
，
设
，则
，
，
,
∵
，
∴
，
∴
；
【小问2 详解】
解：过F 作
，垂足为点H，
由（1）知，
，
∵
，
，
∴
，
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∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
【小问3 详解】
解：①当
时，如图，
此时
，
∵
，
∴设
，则
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
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解得
，
∵
，
∴
，
∴
，
；
②当
时，如图，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
同理
，得
，
∴
，即
，
又∵
，
∴
，
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∵
，
∴设
，则
，
∴
，
∴
，
解得
，
∴
；
综上，四边形
的面积为
或
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程
的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键.
