【题型突破06：立体几何的综合问题】
1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为36 π，且3≤l≤3 ❑√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．[18, 81
4 )
B．[
27
4 , 81
4 )
C．[
27
4 , 64
3 )
D．[18,27]
2．（2019·全国I 卷·高考真题）已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边
长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为
A．8 ❑√6 π
B．4 ❑√6 π
C．2❑√6 π
D．❑√6 π
3．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥P−ABC中， AB = ❑√3 BC = ❑√3，
∠ABC =∠BCP =∠PAB=90
∘， cos∠CPA =
❑√2
4 ，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为
4．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方形，PA，PC与底面
ABCD所成的角分别为α和β，已知α =2 β =60°，当四棱锥P−ABCD体积最小时，其外接球的表面积为
.
5．（2025·湖北·二模）如图，在多面体ABCD D1C1B1 A1中，四边形ABCD是边长为❑√2的正方形，四边
形A1B1C1 D1是边长为1 的正方形，A A1= A1B = B B1= B1C =C C1=C1 D = D D1= D1 A =1，且
A A1// DC1，A1B //C C1，B B1// A D1，B1C // D1 D，若平面ABCD与平面A1B1C1 D1之间的距
命题角度1：与外接球有关的问题
离为
❑√2
2 ，则该多面体外接球的表面积为 .
6．（2025·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为2π
3
的扇形，在该圆锥内有
一个体积为V 的球，则该球的体积V 的最大值是 ．
7．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大
球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .
8．（2025·山东菏泽·二模）一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为2❑√3和8 ❑√3，高为9，削成一
个球，则所得球的体积最大值为 ．
9．（2025 高三上·山西·专题练习）已知正四棱锥P−ABCD的高为3，侧面与底面所成的角为π
3 ，球O1
与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球O2,O3,O4,⋯，使得球
On+1(n∈N ,n≥1)与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球On+1与On外切，则球On的表面积为 .
10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2 和4 的两个铁球，小球
与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .
命题角度2：与内切球有关的问题
11．（2020·山东·高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，❑√5
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ．
12．（2025·浙江·三模）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M、N分别为AB、C C1的中点，
过直线MN的平面α截该正方体所得截面Γ，则当平面α与平面ABCD的所成角为最小时，截面Γ的面积
为（ ）
A．8 ❑√5
B．3 ❑√30
C．12❑√3
D．14 ❑√11
3
13．（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥P−ABCD的体积为4 ❑√2
3
，底面ABCD的四个顶点在经过球心
的截面圆上，顶点P在球O的球面上，点E为底面ABCD上一动点，PE与PO所成角为π
6 ，则点E的轨迹
长度为（ ）
A．❑√2π
B．4 ❑√3π
C．
❑√6π
3
D．2❑√6
3
π
14．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，已知M , N , P分别是棱
C1 D1, A A1,BC的中点，则平面PMN截正方体所得的截面面积为 ，若Q为平面PMN上的动
点，且直线Q B1与直线D B1的夹角为30
°，则点Q的轨迹长度为 ．
15．（2023·浙江绍兴·模拟预测）过正三棱锥P−ABC的高PH的中点作平行于底面ABC的截面A1B1C1，
若三棱锥P−A1B1C1与三棱台ABC −A1B1C1的表面积之比为5
16，则直线PA与底面ABC所成角的正切
值为 .
16．（25-26 高二上·北京·月考）已知函数f ( x)= λsin(ωx +φ)( λ>0,ω>0,0<φ<π)图象如图1 所示，
A ,B分别为图象的最高点和最低点，过A ,B作x轴的垂线，分别交x轴于A
′ ,B
′，点C为该部分图象与x轴
的交点，且| AB|=2❑√5,f ( x)与y轴的交点为D(0,❑√3)．将绘有该图象的纸片沿x轴折成如图2 所示的
二面角α −OC −β．折叠后，当二面角α −OC −β的值为π
2 时，| AB|= 2❑√3．
命题角度3：几何体截面（交线问题）
命题角度4：折叠与展开问题
给出以下四个命题：
①函数f ( x)的解析式可以是f ( x)=2sin(π
2 x + 2π
3 )；
②在图2 中，f ( x)的图象上存在至少三个不同的点Q，使得DQ //平面ABC；
③在折叠过程中，若二面角α −OC −β的范围是[π
4 , 3π
4 ]，则点A
′到平面AB B
′距离的最大值为❑√2；
④在折叠过程中，若二面角α −OC −β的范围是(π
3 , 2π
3 )，二面角A
′−AB−B
′的余弦值的取值范围是
( 1
7 , 1
2 ]．
其中正确的命题为 （请写出所有正确命题的序号）．
17．（2024·山西临汾·一模）在平行四边形ABCD中，AB =2 AD = 4，∠BAD =π
3 ，E，H分别为AB，
CD的中点，将△ADE沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥A ′ −BCDE，F为A ′ C的中点，则下列说
法不正确的是（ ）
A．平面BFH //平面A ′ DE
B．四棱锥A ′ −BCDE体积的最大值为3
C．无论如何折叠都无法满足A ' D⊥BC
D．三棱锥A ′ −DEH表面积的最大值为2❑√3+ 4
【多选题】18．（25-26 高三上·河北·开学考试）在矩形ABCD中，AB =2，BC =1，点E在线段CD上，
点F在线段AB上，沿着线段EF向上折起，使A至A1的位置，在折叠过程中，记二面角A −EF −A1的大
小为θ，θ∈(0,π]，当θ =π时，A1和C重合，则下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得BC //平面A1 EF
B．存在某个位置，使得E A1⊥AB
C．翻折过程中线段F A1形成的曲面的面积为5 ❑√5
16 π
D．直线BF与平面A1 EF所成角的正弦值的最大值为2❑√5
5
【多选题】19．（24-25 高二上·湖南株洲·期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD =60°，E为边
AB的中点，将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为A1，使得平面A1 DE⊥平面BCDE，连接A1B，
A1C，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到平面A1CD的距离为
❑√3
2
B．BC与A1 D所成角的余弦值为3
4
C．三棱锥E−A1CD的外接球的体积为8π
D．直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值为
❑√6
4
【多选题】20．（24-25 高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦
点分别为F1, F2，经过点F1的直线l与椭圆C交于A，B 两点（其中点A 在x轴上方），连接A F2,B F2．现
将平面A F1 F2沿x轴向上折叠，使得面A F1 F2⊥面F1 F2B，则下列说法正确的是（ ）
A．当直线l的倾斜角为π
3 时，AO⊥B F2
B．当直线l的倾斜角为π
3 时，三棱锥A −B F1 F2的外接球的表面积为884
75 π
C．三棱锥A −B F1 F2的体积最大值为9
4
D．当△AB F2折叠后的周长为15
2 时，直线l的斜率为± 3 ❑√35
14
【多选题】21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方
体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8 m的圆柱体
命题角度5：探究性与应用性问题
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
【多选题】22．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = A A1=1，点P
满足⃑BP = λ⃑BC + μ⃑B B1，其中λ∈[0,1)，μ∈[0,1)，则（ ）
A．当λ=1时，△A B1 P的周长为定值
B．当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C．当λ = 1
2时，有且仅有一个点P，使得A1 P⊥BP
D．当μ= 1
2时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面A B1 P
【多选题】23．（2025·云南昭通·模拟预测）正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，线段B1 D1上有两个
动点E、F，且EF = ❑√2，则下列说法正确的是（ ）
A．AC ⊥EF
B．三棱锥A −EFC的体积为定值
C．过点A 仅能作1 条直线，使正方体的12 条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P 是平面BD D1B1内一点，若BP⊥PC1，则点P 的轨迹长度是❑√6 π
【多选题】24．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，E为棱A A1的
中点，点F满足⃗A1 F = λ⃗A1B1，则（ ）
A．任意λ∈[0,1)，三棱锥F −BDE的体积是定值
B．当λ= 1
2时，A C1与BF所成角的余弦值为
❑√15
15
C．存在λ∈[0,1)，使得二面角E−BD−F的大小为60
∘
D．当λ= 2
3时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为56π
19
【多选题】25．（2025·江苏苏州·模拟预测）在正三棱柱ABC −A1B1C1中，AB = A A1=1，点P 满足⃗
BP = λ⃗BC + μ⃗B B1，其中λ∈[0,1)，μ∈[0,1)，则下列说法正确的是（ ）
A．当λ+ μ=1时，直线BP与直线AC异面
B．当λ = μ时，平面ABP与底面ABC所成角为定值
C．当λ= 1
2时，有且仅有两个点P，使得A1 P⊥BP
D．当μ= 1
2时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面A B1 P
26．（2025·云南曲靖·二模）公元前300 年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正
四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5 种正多面体.公元前200 年，阿基米德把这5
命题角度6：新定义题型
种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5 种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边
形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2 所示的足球截
面体的棱数为（ ）
A．60
B．90
C．120
D．180
27．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上
用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的
面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该
多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是π
3 ，所以正四面体在每个
顶点的曲率为2π−3×π
3 =π，故其总曲率为4π．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F 满足
V −E+ F =2，则八面体的总曲率为（ ）
A．3π
B．10π
3
C．4π
D．5π
28．（24-25 高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量⃗a=(x1, y1, z1)与⃗b=(x2, y2, z2)，我们可以定义它
们之间的欧式距离为d(⃗a,⃗b)= ❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2+(z1−z2)
2，欧式距离可以简单理解为两点之间的直
线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为D(⃗a,⃗b)=|x1−x2)+|y1−y2)+|z1−z2)，曼哈顿
距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距
离．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，d(⃗B D1,⃗C B1)= ；若点P在上底面
A1B1C1 D1内（含边界）运动，且|⃗AP)= ❑√2，则D(⃗AB ,⃗AP)的取值范围是 ．
29．（22-23 高二上·上海普陀·期中）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为
1−1
2π (∠Q1 PQ2+∠Q2 PQ3+⋯+∠Qk −1 PQk +∠Qk PQ1)，其中Qi(i=1,2,⋯,k ,k ≥3,k ∈N )为
多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q1 PQ2，平面Q2 PQ3，…，平面Qk −1 PQk和平面Qk PQ1为
多面体M 的所有以P 为公共点的面.已知在直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1中，底面ABCD 为菱形，
A A1= AB.
①直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1在其各顶点处的离散曲率都相等；
②若AC = BD，则直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1在顶点A 处的离散曲率为1
4 ；
③若AB = BD，则直四棱柱ABCD−A1B1C1 D1在顶点A 处的离散曲率为2
3；
④若四面体A1 ABD在点A1处的离散曲率为7
12，则A C1⊥平面A1BD.
上述说法正确的有 （填写序号）
30．（2021·江西南昌·三模）球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广
泛的应用，如图，A，B，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这
三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为´AB , ´BC , ´
CA，由这三条劣弧围成的图形称为球面△ABC．已知地
球半径为R，北极为点N，P，Q 是地球表面上的两点若P，Q 在赤道上，且|PQ)= ❑√2 R，则球面△NPQ
的面积为 ；若NP = PQ =QN = 2❑√6
3
R，则球面△NPQ的面积为 ．
