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学校:___________姓名：________班级：________考号：________
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绝密★启用前
九年级上学期第二次月考模拟试卷（一）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36 分 ）
1. 抛物线y =3( x +2)
2−5的顶点坐标是( )
A.(−2,5)
B.(−2,−5)
C.(2,5)
D.(2,−5)
【答案】B
【解答】解：抛物线y =3( x +2)
2−5为顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−5)．故选B.
2. 如图，菱形OABC的边长为4，且点A，B，C在⊙O上，则劣弧
^
BC的长度为( )
A.π
3
B.2π
3
C.8 π
3
D.4 π
3
【答案D
【解答】解：如图所示，连接OB.
∵四边形OABC是菱形，∴ OC = BC = AB =OA = 4，
∴OC =OB = BC，∴ △OBC是等边三角形，∴ ∠COB =60
∘，
∴劣弧^
BC的长为nπr
180
∘= 60
∘×4 π
180
∘
= 4
3 π.故选D．
3. 若抛物线y =a x
2+bx +c的对称轴是x =−2，则a
b =( )
A.2
B.1
2
C.4
D.1
4
【答案】D
【解答】解：∵ 抛物线y =a x
2+bx +c的对称轴是x =−2，
∴−b
2a =−2，∴ b
a = 4，∴ a
b = 1
4
.故选D．
4. 下列命题中正确的有( )
①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②直径是弦，半圆是
弧；③平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧；④相等的弧
所对的弦相等；⑤一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；
⑥相等的圆心角所对的弧相等．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解答】解：①根据圆是轴对称图形可知，对称轴是圆的每一条直径
所在直线，此命题错误 ；
②弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，在圆中直径
是经过圆心最长的弦，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧，此命题正确；
③由垂径定理推论可知：平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两
条弧，此命题正确；
④在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此命题错误；
⑤一条弦把圆分成的两段弧中，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧
叫劣弧，若分成的两段一样长，则就没有优劣弧之分，此命题错误；
⑥在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此命题错误.
综上所述，正确的有②③，共2个.故选B.
5. 把y = x
2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解
析式为（ ）
A.y =( x −3)
2+2
B.y =( x −3)
2−2
C.y =( x +3)
2+2
D.y =( x +3)
2−2
【答案】A
【解答】解：抛物线y = x
2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移3
个单位，再向上平移2个单位所得对应点的坐标为(3,2)，
所以平移后抛物线的解析式为y =( x −3)
2+2．故选A.
6. 商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说
法正确的是( )
A.抽10次奖必有一次抽到一等奖
B.抽10次也可能没有抽到一等奖
C.抽一次不可能抽到一等奖
D.抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【答案】B
【解答】解：根据概率的意义可得，
“抽到一等奖的概率为0.1”，就是说抽到一等奖的可能性较小，
同时抽10次或抽1次都可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，
所以B选项符合题意.故选B.
7. 如图，⊙O和⊙O'相交于A、B两点，且OO'＝5，OA＝3，O' B
＝4，则AB＝（ ）
A.5
B.2.4
C.2.5
D.4.8
【答案】D
【解答】∵ OO'＝5，OA＝3，O' B＝4，∴ OO'
2＝O A
2+O' B
2，
∴△AOO'是直角三角形，
∵⊙O和⊙O'相交于A、B两点，∴ AB⊥OO'，∴ AE＝
BE，
∵1
2 AO× AO' = 1
2 × AE×OO'，∴ 1
2 ×3×4 = 1
2 × AE×5，
解得：AE＝2.4，∴ AB＝4.8．
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A =115
∘ ，则
∠BOD的度数为( )
A.140
∘
B.130
∘
C.120
∘
D.110
∘
【答案】B
【解答】解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A +∠C =180
∘.
∵∠A =115
∘，∴ ∠C =65
∘，∴ ∠BOD =2∠C =130
∘.故选B.
9. 如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且
AB//CD // EF. AB =10，CD =6，EF =8，则图中阴影部分（不
包括弦BF与劣弧BF围成的部分）面积等于( )
A.10 π
B.12π
C.25 π
2
D.15 π
【答案】C
【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，则∠DCG =90
∘，
∵AB =10，CD =6，EF =8 ，∴ DG=10，
∴CG =√G D
2−C D
2=8
，∴ CG = EF.
连接OC，OE，OF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等.
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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∵CG = EF，∴ 扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于⊙O面积的一半.
∵AB =10，∴ OA =5，
∴阴影部分的面积是π ×5
2× 1
2 = 25 π
2
.故选C．
10. 如图，在一块长为20，宽为12的矩形ABCD 空地内修建四条宽度
相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一
个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40，设道路宽为
x，则以下方程正确的是( )
A.32 x + 4 x
2= 40
B.32 x +8 x
2= 40
C.64 x−4 x
2= 40
D.64 x−8 x
2= 40
【答案】B
【解答】解：设道路宽为x， 则中间正方形的边长为4 x，
依题意，得：x (20+ 4 x +12+ 4 x)= 40，即32 x +8 x
2= 40.故选B．
11. 如图1、2、3中，点E、D分别是正△ABC、正方形ABCM、正五
边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，DB交
AE于P点，∠APD的度数分别为60
∘，90
∘，108
∘．若其余条件不变，
在正九边形ABCFGHIMN中，∠APD的度数是（ ）
A.120
∘
B.135
∘
C.140
∘
D.144
∘
【答案】C
【解答】正△ABC时，∠APD＝∠ABC = (3−2)×180
3
=60
∘，
正方形ABCM时，∠APD＝∠ABC = (4−2)×180
4
=90
∘，
正五边形时，∠APD＝∠ABC = (5−2)×180
5
=108
∘，
正六边形时，∠APD＝∠ABC = (6−2)×180
6
=120
∘，
依此类推得出正n边形时，∠APD＝∠ABC = (n−2)×180
n
．
当n＝9时，∠APD＝∠ABC = (9−2)×180
9
=140
∘，
12. 如图是二次函数y =a x
2+bx +c(a≠0)图象的一部分，x =−1是对
称轴，有下列判断：
①b−2a=0；②4 a−2b+c<0；③a−b+c =−9a；④若(−3, y1)，
( 3
2 , y2)是抛物线上两点，则y1> y2，其中正确的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【答案】C
【解答】解：∵ 抛物线的对称轴是直线x =−1，∴ −b
2a =−1，
b=2a，
∴b−2a=0，故①正确；
∵抛物线的对称轴是直线x =−1，和x轴的一个交点是(2,0)，
∴抛物线和x轴的另一个交点是(−4 ,0)，
∴把x =−2代入得：y = 4 a−2b+c>0，故②错误；
∵图象过点(2,0)，
代入抛物线的解析式得：4 a+2b+c =0，
又∵ b=2a，∴ c =−4 a−2b=−8a，
∴a−b+c =a−2a−8a=−9a，故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
∵抛物线和x轴的交点坐标是(2,0)和(−4 ,0)，抛物线的对称轴是直线
x =−1，
∴点(−3, y1)关于对称轴的对称点的坐标是(1, y1)，
∵1< 3
2
，∴ y1> y2，故④正确；即正确的有①③④.故选C．
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18 分 ）
13. 若关于x的一元二次方程x
2−2 x +a−1=0有实数根，则a的取值范
围是________．
【答案】a≤2
【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x
2−2 x +a−1=0有实数根，
∴Δ≥0，即(−2)
2−4(a−1)≥0，解得a≤2.故答案为：a≤2.
14. 已知一元二次方程x
2−3 x−1=0的两个根分别是x1，x2，则
x1
2 x2+ x1 x2
2的值是________.
【答案】
−3
【解答】解：∵ 一元二次方程x
2−3 x−1=0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+ x2=3，x1⋅x2=−1，
∴x1
2 x2+ x1 x2
2= x1 x2⋅( x1+ x2)=−1×3=−3．故答案为：−3.
15. 如图，已知AD为半圆形O的直径，点B，C在半圆形上，AB = BC，
∠BAC =30
∘，AD =8，则AC的长为________.
【答案】4√3
【解答】解：如图，连接CD.
∵AB = BC，∠BAC =30
∘，∴ ∠ACB =∠BAC =30
∘，
∴∠B =180
∘−∠ACB−∠BAC =180
∘−30
∘−30
∘=120
∘，
∴∠D =180
∘−∠B =60
∘.
∵AD是半圆O的直径，∴ ∠ACD =90
∘，∴ ∠CAD =30
∘.
∵AD =8，∴ CD = 1
2 AD = 4，
在Rt △ACD中，∠ACD =90
∘，
∴ AC =√A D
2−C D
2=√8
2−4
2= 4√3
.故答案为：4√3．
16. 如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水
面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加________米．
【答案】(4√2−4)
【解答】解：建立如下图所示平面直角坐标系，
可设这条抛物线为y =a x
2，
把(2,−2)代入上式得，−2=a×2
2解得：a=−1
2
，∴ y =−1
2 x
2，
当y =−4时，−1
2 x
2=−4，解得：x1=−2√2，x2=2√2，
水面下降2m，水面宽度为4√2m，
∴水面宽度将增加(4√2−4)米·故答案为：(4√2−4).
17. 如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰
三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB =2，
BC =1，连接AI，交FG于点Q，则QI的长是________．
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学校:___________姓名：________班级：________考号：________
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【答案】4
3
【解答】解：∵ △ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等
腰三角形，∴ HI = AB =2，GI = BC =1，BI = 4 BC = 4，
∴AB
BI = 2
4 = 1
2
，BC
AB = 1
2
，∴ AB
BI = BC
AB
.
又∵ ∠ABI =∠ABC，∴ △ABI ∼△CBA，∴ AC
AI = AB
BI
，
∵AB = AC，∴ AI = BI = 4.
∵∠ACB =∠FGE，∴ AC // FG，∴ QI
AI = GI
CI = 1
3
，∴
QI = 1
3 AI = 4
3
．
故答案为：4
3
.
18. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标
为(1,0)，点D的坐标为 (0,2) .延长CB交x轴于点A1，作正方形
A1B1C1C ; 延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，⋯按这
样的规律进行下去，则正方形A20 B20C20C19的面积为________.
【答案】5×( 9
4 )
20
【解答】解：∵点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，
∴OA =1，OD =2，
∵∠AOD =90
∘，∴AB = AD =√1
2+2
2=√5
，∠ODA +∠OAD =90
∘.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD =∠ABC =90
∘，S
ABCD
正
方
形=(√5)
2=5，
∴∠AB A1=90
∘，∠OAD +∠BA A1=90
∘，∴∠ODA =∠BA A1
，
∴△AB A1∼△DOA，∴B A1
OA = AB
OD
，即B A1
1
= √5
2
，∴B A1= √5
2
，
∴C A1= 3√5
2
，
∴正方形A1B1C1C的面积=( 3√5
2
)
2
=5× 9
4
，⋯，
正方形An BnCnCn−1的面积为5×( 9
4 )
n
，
∴正方形A20 B20C20C19的面积为5×( 9
4 )
20
.故答案为：5×( 9
4 )
20
.
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66 分 ）
19.（本题满分6 分） 解方程
(1)3 x
2−6 x + 4 =0； (2)(x−2)(x−3)=12.
【答案】解：(1)在方程3 x
2−6 x + 4 =0中，
∵a=3，b=−6，c = 4，
∴Δ=b
2−4 ac =(−6)
2−4×3×4 =36−48=−12<0，
∴原方程没有实数根.
(2)去括号，移项得x
2−3 x−2 x +6−12=0，
合并同类项得x
2−5 x−6=0，
则( x−6)( x +1)=0，
即x−6=0，x +1=0，
解得x1=6，x2=−1.
20.（本题满分6 分） 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标
分别为(0,0)，A(2,1)，
B(1,−2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴
的右侧画出将△OAB放大为原来
的2倍得到的△O A1B1， 请写出
点A的对应点A1的坐标________；
(2)画出将△OAB向左平移2个单
位，再向上平移1个单位后得到的
△O2 A2B2， 写出点B的对应点B2的坐标________；
(3)请在图中标出△O A1B1与△O2 A2B2的位似中心M，并写出点M的
坐标________．
【解答】解：(1)如图，△O A1B1为所作，点A1的坐标为(4 ,2).
故答案为：A1(4 ,2).
(2)如图，△O2 A2B2为所作，点B2的坐标分别为(−1,−1).
故答案为：B2(−1,−1).
(3)如图，点M为所，位似中心M的坐标为M (4 ,2)．
故答案为：M (4 ,2).
21.（本题满分8 分）某中学九年级开展了“读一本好书”的活动，通
过抽样对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”
“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项，根据调查
结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)计算：m=________；
(2)在扇形统计图中，“戏剧”类所占的百分比为________；
(3)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从
中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，
求选取的2人恰好是乙和丙的概率．
【解答】解：(1)因为喜欢散文的有10人，频率为0.25，
所以m=10÷0.25= 40.故答案为：40.
(2)因为喜欢戏剧的有4人，
所以“戏剧”类所占的百分比为4
40 ×100 % =10 %.故答案为：10 %.
(3)由于抽到每位同学的可能性相同，
所以画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中恰好是乙与丙的情况有2种，
则选取的2人恰好是乙和丙的概率为P = 2
12 = 1
6
．
22.（本题满分8 分） 如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使
BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，
E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4 cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
【解答】
（1）证明：在矩形ABCD中，
AD1BC．∠DAC =∠BCA
由题意，得
△GAH = 1
2 ∠DAC ,∠ECF = 1
2 ∠BCA
…
．AGIICE．
又：AElICG，
…四边形AECG是平行四边形．
（2）在R△ABC中，AB = 4 ,BC =3；AC =5；CF =CB =3；AF =2
在RtΔAF中，
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设EF = x，则AE = 4−x
根据勾股定理，得A E
2= A F
2+ E F
2；即(4−x)
2=2
2+ x
2
解得x = 3
2
，即线段EF长为3
2 cm
23. （本题满分8 分）西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场
上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点
D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为37
∘，测得教学楼
楼顶点C处的俯角为45
∘，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的
距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一
平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：sin37
∘≈0.60，
cos37
∘≈0.80，tan37
∘≈0.75）
【解答】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF ⊥DE于F，
由题意得，AB＝57，DE＝30，∠DAB＝37
∘，∠DCF＝45
∘，
在Rt △ADE中，tan∠DAE = DE
AE
，∴
AE =
DE
tan∠DAE ≈30
0.75 = 40，
∵AB＝57，∴ BE＝AB−AE＝17，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF ⊥EF，∴ 四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝17，在Rt △DFC中，∠CDF＝45
∘，
∴DF＝CF＝17，∴ BC＝EF＝DE−DF＝13，
24. （本题满分10 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是
30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是
600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x( x>0)，
请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W
（元），并把结果填写在表格中：
销售单价（元）
40+ x
销售量y（件）
________
销售玩具获得利润W （元）________❑
2+500________+6000
（2）在（1）问的条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销
售单价应定为多少元？
（3）在（1）问的条件下，若商场要完成不少于540件的销售任务，求
商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【解答】由题意得，销售量为：y＝600−10 x，
销售玩具获得利润为：W ＝(40+ x−30)(600−10 x)＝
−10 x
2+500 x +6000；
故答案为：600−10 x，−10 x
2+500 x +6000；
由题意得：−10 x
2+500 x +6000＝10000，
解得：x1＝10，x2＝40．
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
销售单价为在40元的基础上上涨x，
根据题意得：600−10 x ≥540，解得x ≤6，故0< x ≤6，
W ＝−10 x
2+500 x +6000
＝−10( x −25)
2+12250，
∵a＝−10<0，对称轴x＝25，
∴当0< x ≤6时，y随x增大而增大，
∴当x＝6（元）时，W 最大值＝8640（元），
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．
25. （本题满分10 分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一
点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接
CD并延长交⊙O于点E，且E是^
AB的中点．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：CD⋅DE＝2OD⋅PD；
（3）若AB＝8，CD⋅DE＝15，求PA
的长．
【答案】证明：连接OC，OE，∵ OC＝OE，∴ ∠E＝∠OCE，
∵E是^
AB的中点，∴ ^
AE =^
BE，∴ ∠AOE＝∠BOE＝90
∘，
∴∠E+∠ODE＝90
∘，
∵PC＝PD，∴ ∠PCD＝∠PDC，
∵∠PDC＝∠ODE，∴ ∠PCD＝∠ODE，
∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90
∘，∴ OC ⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
证明：连接AC，BE，BC，
∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴ △ACD∽△EBD，∴
AD
DE = CD
BD
，
∴CD⋅DE＝AD⋅BD＝( AO−OD)( AO+OD)＝A O
2−O D
2；
∵AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90
∘，
∵∠PCO＝90
∘，∴ ∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90
∘，
∴∠ACP＝∠BCO，
∵∠BCO＝∠CBO，∴ ∠ACP＝∠PBC，
∵∠P＝∠P，∴ △ACP∽△CBP，∴ PC
PB = PA
PC
，
∴PC
2＝PB⋅PA＝( PD + DB)( PD−AD)＝
( PD +OD +OA )( PD +OD−OA )＝( PD +OD)
2−O A
2＝
P D
2+2 PD⋅OD +O D
2−O A
2，
∵PC＝PD，∴ P D
2＝P D
2+2 PD⋅OD +O D
2−O A
2，
∴O A
2−O D
2＝2OD⋅PD，∴ CD⋅DE＝2OD⋅PD；
∵ AB＝8，∴ OA＝4，
由（2）知，CD⋅DE＝A O
2−O D
2；
∵CD⋅DE＝15，∴ 15＝4
2−O D
2，
∴ OD＝1（负值舍去），
∴AD＝3，
由（2）知，CD⋅DE＝2OD⋅PD，
∴ PD = CD⋅DE
20 D
= 15
2
，∴ PA＝PD−AD = 9
2
．
26. （本题满分10 分）如图，抛物线y＝a x
2+bx +c(a>0)与x轴交于
A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为 D．
（1）求a、b之间的数量关系；
（2）求S△ADC:S△ABC的值；
（3）以OA为直径作⊙E，若∠ACD＝90
∘，问：在y轴左侧的抛物
线上是否存在点P，过点P作x轴的平行线与⊙E交于点M、N（M在
N的左侧），与抛物线交于另一点Q，使得PM +QN＝MN？若存在，
求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】∵ 抛物线y＝a x
2+bx +c(a>0)与x轴交于A(−3,0)、
B(1,0)两点，
∴{
9a−3b+c =0
a+b+c =0
，解得：b＝2a，
∴a、b之间的数量关系为b＝2a．
∵ 抛物线y＝a x
2+bx +c(a>0)与y轴交于点C，抛物线的顶点为
D，且b＝2a，a+b+c＝0，∴ 3a+c＝0，即c＝−3a．∴
C(0,−3a)，
∴抛物线的解析式为y＝a x
2+2ax−3a
＝a( x +1)
2−4 a，∴
D(−1,−4 a)，
∵A(−3,0)、B(1,0)，∴ AB＝4，∴
S△ABC = 1
2 AB⋅OC = 1
2 ×4×3a＝6a．
如图1，连接OD，
∵S△ADC＝S△OAD+ S△OCD−S△OAC，
∴S△ADC = 1
2 ×3×4 a+ 1
2 ×3a×1−1
2 ×3×3a＝3a．∴
S△ADC:S△ABC＝1:2．
… … … … ○… … … … 外… … … … ○… … … … 装… … … … ○… … … … 订… … … … ○… … … … 线… … … … ○… … …
学校:___________姓名：________班级：________考号：________
… … … … ○… … … … 内… … … … ○… … … … 装… … … … ○… … … … 订… … … … ○… … … … 线… … … … ○… … …
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如图2，过点D作DH ⊥y轴于点H，
∵∠ACD＝90
∘，∴ ∠ACO+∠DCH＝90
∘，
∵∠ACO+∠CAO＝90
∘，∴ ∠DCH＝∠CAO，
∵∠AOC＝∠DHC＝90
∘，∴ △OAC ∽△HCD，∴
OA
CH = OC
DH
，
由（2）可知，OC＝3a，CH＝4 a−3a＝a，DH＝1，∴ 3
a = 3a
1
，
解得a＝1或a＝−1（舍去），
∴抛物线的解析式为y＝x
2+2 x−3，
如图3，过点E作EF ⊥PQ于点F，连接ME，
设点P坐标为(m,m
2+2m−3)，则点Q坐标为(−2−m,m
2+2m−3)，
点F坐标为( 3
2 ,m
2+2m−3)，则PQ＝−2−2m，
∵PM +QN＝MN，∴ MN = 1
2 PQ＝−1−m，
∴MF = 1
2 MN =−1
2 −1
2 m，在Rt △EFM中，M F
2+ E F
2＝E M
2，
即(−1
2 −1
2 m)
2+(m
2+2m−3)
2=( 3
2 )
2，∴
[(m+1)
2−4 ][(m+1)
2−11
4 ]=0，
解得m1＝−1+√5（不合题意舍去），m2＝−1−√5，m3＝−1+ √11
2
（不合题意舍去），m4＝−1−√11
2
，
当m2＝−1+√5时，有m
2+2m−4＝0，则m
2+2m＝4，则y＝
m
2+2m−3＝4−3＝1；
∴P(−1+√5,1)．
当m4＝−1−√11
2
时，有m
2+2m= 7
4 ，则y＝
m
2+2m−3= 7
4 −3=−5
4
．
∴P(−1−√11
2 ,−5
4 )
综上所述，点P坐标为(−1+√5,1)或(−1−√11
2 ,−5
4 )．
