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备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第 02 讲 两条直线的位置关系
【考试要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的位置关系
（1）直线l ：y＝kx＋b ，l ：y＝kx＋b ，l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2
l 与l 是同一条直线，l 与l 是同一条直线)的位置关系如下表：
1 3 2 4
位置关系 l，l 满足的条件 l，l 满足的条件
1 2 3 4
平行
垂直
相交
两个充要条件
(1)两条直线平行或重合的充要条件
直线l ：Ax＋By＋C ＝0与直线l ：Ax＋By＋C ＝0平行或重合的充要条件是AB －AB
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1
＝0.
(2)两条直线垂直的充要条件
直线l：Ax＋By＋C ＝0与直线l：Ax＋By＋C ＝0垂直的充要条件是AA＋BB＝0.
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2（2）两条直线的交点的求法
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P(x，y)，P(x，y)．
1 1 1 2 2 2
②结论：|PP|＝.
1 2
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．
3．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1
＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ∈R)，但不包括l.
2 2 2 2
4．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
1、（多选）下列结论正确的是( )
A当直线l 和l 斜率都存在时，一定有k＝k⇒l∥l.
1 2 1 2 1 2
B若两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
1 2
C直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．
D若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中
点在直线l上．
2．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B. C. D.
3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
4．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．
5、直线l：2x＋y－1＝0和l：x－2y＋7＝0的交点的坐标为________．
1 2
考点一 两条直线的平行与垂直
例1(2023·合肥质检)若l：3x－my－1＝0与l：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则
1 2
“m＝1”是“l∥l”的( )
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0，l：2x＋ay－1＝0，若l⊥l，则实数a
1 2 1 2
的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
【对点演练1】（2023·广东·高三统考模拟预测）设 ，则“ ”是“直线
与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点演练2】(多选)已知直线l：x＋my－1＝0，l：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确
1 2
的是( )
A.若l∥l，则m＝－1或m＝3
1 2
B.若l∥l，则m＝3
1 2
C.若l⊥l，则m＝－
1 2
D.若l⊥l，则m＝
1 2
【对点演练3】已知两直线l ：(m－1)x－6y－2＝0，l ：mx＋y＋1＝0，若l⊥l ，则m＝
1 2 1 2
________；若l∥l，则m＝________.
1 2
考点二 两条直线的交点问题
例2、求经过直线l ：3x＋2y－1＝0和l ：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l ：3x－5y
1 2 3
＋6＝0的直线l的方程．
【对点演练1】经过两直线l：x－2y＋4＝0和l：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l：3x－
1 2 34y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【对点演练2】经过两直线l：2x－y＋3＝0与l：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋
1 2
2y＋7＝0的直线方程是( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
【对点演练3】已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的
取值范围是________.
【对点演练4】三条直线l：x－y＝0，l：x＋y－2＝0，l：5x－ky－15＝0构成一个三角形，
1 2 3
则k的取值范围是( )
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
【对点演练4】(多选)若两条直线A x+B y+C =0与A x+B y+C =0有交点，则该交
1 1 1 2 2 2
点坐标就是方程组{A x+B y+C =0)的实数解，给出以下三种说法：
1 1 1
A x+B y+C =0
2 2 2
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的有（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都不正确
考点三 直线过定点问题
例3 对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标
为( )
A．(9，－4) B.(－9，－4) C．(9，4) D.(－9，4)
【对点演练1】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝
0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【对点演练2】已知0＜k＜4，直线l：kx－2y－2k＋8＝0和直线l：2x＋k2y－4k2－4＝0与
1 2
两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
考点四 距离问题
例4 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
【对点演练1】两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(
)A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝
【对点演练2】若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的
最小值为( )
A. B. C. D.
【对点演练3】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
【对点演练4】直线l 经过点(3,0)，直线l 经过点(0,4)，且l∥l ，d表示l 和l 之间的距离，
1 2 1 2 1 2
则d的取值范围是________．
【对点演练5】若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( )
A．3 B．4 C．2 D．6
考点五 对称问题
角度1 点关于点的对称问题
例5过点P(0,1)作直线l，使它被直线l：2x＋y－8＝0和l：x－3y＋10＝0截得的线段被点
1 2
P平分，求直线l的方程．
【对点演练】 直线3x－2y＝0关于点 对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
角度2 点关于直线的对称问题
例6已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
【对点演练1】已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
【对点演练2】.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过
点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
【对点演练3】已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值
为( )
A．2 B．9 C. D．10
角度3 直线关于直线的对称问题
例7 两直线方程为l ：3x－2y－6＝0，l ：x－y－2＝0，则l 关于l 对称的直线方程为(
1 2 1 2
)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
【对点演练1】已知直线l :x−y+3=0，直线l:x−y−1=0，若直线l 关于直线l的对称
1 1直线为l ，则直线l 的方程为_______________．
2 2
角度4 直线关于点的对称问题
例 8 已知直线l经过直线3x+4 y−2=0与直线2x+ y+2=0的交点P，且垂直于直线
x−2y−1=0.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l关于原点O对称的直线方程.
【对点演练】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直
线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B.2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D.2x－3y－12＝0
例题（2023·广东佛山·统考一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：
（其中 ）分别与直线 、 交于C、D两点，则
（ ）
A． 时，l的倾斜角为
B． ，点A、B到l的距离之和为定值
C． ，使l与圆O无公共点
D． ，恒有
一、单项选择题
1．如果直线l 的斜率为a，l⊥l，则直线l 的斜率为( )
1 1 2 2
A. B．A C．－ D．－或不存在
2．已知直线l 经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l ：2x＋y－3＝0平行，则a等于(
1 2
)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝04．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( )
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
5．(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l ：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l ：(6－2a)x
1 2
＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( )
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
6．(2023·牡丹江模拟)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
7、已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P使得|PA|＋|
PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2,3)
C．(2,3) D．(－2,2)
8.定义点P(x ，y)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P ，P 到直
0 0 1 2
线l的有向距离分别是d，d.以下命题正确的是( )
1 2
A．若d＝d＝1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d＝1，d＝－1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d＋d＝0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若d·d≤0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
二 多项选择题
9、已知直线l：x＋my－1＝0，l：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
1 2
A．若l∥l，则m＝－1或m＝3
1 2
B．若l∥l，则m＝3
1 2
C．若l⊥l，则m＝－
1 2
D．若l⊥l，则m＝
1 2
10.已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(
)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
11.设直线l：y＝px＋q，l：y＝kx＋b，则下列说法正确的是( )
1 2
A．直线l 或l 可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
1 2
B. l 与l 至多有无穷多个交点
1 2
C．l∥l 的充要条件是p＝k且q≠b
1 2
D．记l 与l 的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线
1 2
12.已知直线l：ax－y＋1＝0，l：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
1 2
A．不论a为何值，l 与l 都互相垂直
1 2B．当a变化时，l 与l 分别经过定点A(0,1)和B(－1，0)
1 2
C．不论a为何值，l 与l 都关于直线x＋y＝0对称
1 2
D．如果l 与l 交于点M，则|MO|的最大值是(O为坐标原点)
1 2
三、填空题
13．过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是
________．
14．已知直线 l ：2x＋y＋1＝0 和直线 l ：x＋ay＋3＝0，若 l⊥l ，则实数 a 的值为
1 2 1 2
________；若l∥l，则l 与l 之间的距离为________．
1 2 1 2
15．点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________．
16．已知两直线l ：x－2y＋4＝0，l ：4x＋3y＋5＝0.若直线l ：ax＋2y－6＝0与l ，l 不能
1 2 3 1 2
构成三角形，则实数a＝________.
四、解答题
17.已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC
上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
18．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定
点的坐标；
(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于4.
