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第 06 讲 函数与方程
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：重点考查根判断函数零点区间...............................1
题型二：重点考查零点个数.........................................3
题型三：重点考查零点中的参数问题.................................7
题型四：重点考查借助图象比较零点大小............................15
题型五：重点考查借助图象求零点代数和............................19
题型六：重点考查二分法..........................................27
第二部分：方法篇...................................................30
方法一：数形结合................................................30
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第一部分：题型篇
题型一：重点考查根判断函数零点区间
典型例题
例题1．（2023秋·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末）函数 的零点所在的大致区间
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 的定义域为 ，
又 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 ，
根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间为 ，
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】构建 ，则 在定义域内单调递增，故 在定义域内至多有一个零点，
∵ ，
∴ 仅在 内存在零点，即方程 的解仅在 内，
故 .
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点所在区间（取整数）是_________．
【答案】
【详解】由题意，得 的定义域为 ，易知函数 和 在 均为增函数，
所以 在 单调递增，因为 ， ，
所以由零点存在定理可知，函数零点所在区间为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 ，则 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由已知得 ， ， ，
， ，
所以 ，由零点的存在定理得， 的零点所在的区间为 ，
故选：D．
2．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）已知函数 在区间 上有唯一零点，则正整
数 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】函数 的定义域为 ，且在 上是减函数；
易得 ， ，
∴ ，
根据零点存在性定理及其单调性，可得函数 的唯一零点所在区间为 ，
∴ ．
故选：C．
3．（2023秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知函数 的零点在区间
内， ，则 ______．
【答案】
【详解】明显函数 在 上单调递增，且为连续函数，
又 ， ，
由零点存在定理得函数 的零点在区间 内，
故 .
故答案为： .
题型二：重点考查零点个数
典型例题
例题1．（2023春·江西赣州·高一校考期中）函数 零点的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】画出函数 和 的图象，其中 ，如图,由图可知，
当 时， ，两函数图象没有交点；
当 时，两函数图象有3个交点；
当 时， ，两函数图象没有交点，
综上，函数 和 的图象有3个交点，
所以，函数 零点的个数为3．
故选：C.
例题2．（2023·江西·统考模拟预测）函数 在区间 内的零点个数是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以 或
解得 或 .
所以函数 在 的零点个数是2.
故选：A.
例题3．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知函数 ，若实数 ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【答案】D
【详解】函数 的零点个数即函数 与 的函数图象交点个数问题，
画出 的图象与 ， 的图象，如下：故函数 的零点个数为2或3.
故选：D
例题4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知 ，函数 在
零点的个数最大值为______．
【答案】14
【详解】令 可得 ，
则有 ，
设 是相邻的两个零点，
则有 或
函数 在 上有且仅有两个零点，
在 上有且仅有两个零点，
在 上有且仅有两个零点，
在 上有且仅有两个零点，
在 上有且仅有两个零点，
在 上有且仅有两个零点，
因为 ，
所以 在 可能没有零点，
可能有1个零点，可能有2个零点，不可能有3个零点，
所以零点的个数最大值为 个，
故答案为:14.
精练核心考点
1．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）函数 的零点个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C
【详解】函数 的零点，即方程 的解，
令 ， ，也就是函数 与 的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示，
由图可知 与 有6个交点，即 有6个零点.
故选：C
2．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）方程 的实数解个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【详解】方程 的实数解个数，
即函数 交点的个数，
如图，作出函数 的图象，
由图可知，函数 的图象有 个交点，
所以方程 的实数解个数为 个.
故选：B.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 ，则方程 的实根个数为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ， ，解得 （舍）；
当 时， ，解得 或 （舍）， ，解得 或
（舍）；
综上，方程 的实根为 或 或 ，
即方程 的实根个数为3个，
故选：A.
4．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数 的零点个数为__________.
【答案】1
【详解】解：注意到 ，在同一坐标系中作出 与 的图象，
易知零点个数为1.
故答案为：1.
题型三：重点考查零点中的参数问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 有
两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】函数 有两个不同的零点，即方程 有两个不同的根，从而函数
的图象和函数 的图象有两个不同的交点，
由 可知，当 时，函数 是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数 的图象和函数 的图象，
数形结合可得，当 即 时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数 有两个不同的零点.
故选：A.
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且当 时， ，若函数 在 上至少有三
个不同的零点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B．当 时，
C．当 时， 单调递减 D．a的取值范围是
【答案】AB
【详解】解：根据题意得： 知 是偶函数，
由 知 是周期为2的周期函数，
因为当 时， ，所以有如图的函数图象，故对于A选项，由图可知 图象关于 对称，所以A正确；
对于B选项，当 时， ，所以B正确；
对于C选项，当 时，由周期为2可知 单调性与 时 的单调性相同，易知当
时， 单调递增，所以C错误；
对于D选项，设 ，则函数 在 上至少有三个不同的零点，等价于
函数 与 图象在 上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有 ，即
，解得 ，所以D错误.
故选：AB.
例题3．（2023·北京·高三专题练习）设函数
①当 时， _________；
②若 恰有2个零点，则 的取值范围是_________．
【答案】
【详解】当 时， ，
所以 ，
所以 ，
令 ，可得
当 时， ，
所以 或 ，
当 或 时，方程 在 上有唯一解 ，当 或 时，方程 在 上的解为 或 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
当 时，方程 在 上无解，
综上，当 时，函数 有两个零点 ，
当 时，函数 有两个零点 ，
当 时，函数 有三个零点 ，
当 时，函数 有两个零点 ，
因为 恰有2个零点，所以 或 ，
所以a的取值范围是 .
故答案为： ； .
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围
为______．
【答案】 ．
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线 与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线 的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在 处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时， ，即y是单调递减的，
当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：；
故答案为： .
精练核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若方程
有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【详解】当 时，即 ，解得 ，
当 时，即 ，解得 ，
则当 时， ，
此时方程 ，
即 ，
即 ，
此时若 则 ，
此时若 则 ，
当 时， ，
此时方程 ，
即 ，
即 ，其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根，
原方程有四个不同的实数根，
方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根，
对于方程 有两个不同的实数根，可以等价为：
解得 ，
对于选项A： 取不到 ，
故选项A错误；
对于选项B：当 时，方程①的根为 ，方程②的根为 ，符合题意，
故选项B正确；
对于选项C：当 时，方程①的根为 ，方程②的根为 ，符合题意，
故选项C正确；
对于选项D： 取不到1，
故选项D错误；
综上所述，选项BC正确，
故选：BC.
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有两个零点，
则 的可能取值为（ ）．
A． B． C．4 D．6
【答案】BD
【详解】因为函数 与函数 交于点 ,
由函数图象的性质得函数 与 在 上至多一个交点，
由题意，函数 ，函数 有两个交点，若 时， 恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足 ，解得
；
若 时， 恰有一个零点，在 时， 恰有一个零点，
则 或
解得 ，
结合选项，可得 的可能取值为 和 .
故选：BD.
3．（2023·天津·校考模拟预测）记 ，若
有三个不等实根 ，若 ，则实数 ________.
【答案】【详解】令 ，两边平方后得 ，
令 ，定义域为 ， 恒过点 ，
联立 ，解得： ， ，
所以 ,画出函数 的图象，
在 上， 在 上， ， ，
联立 ，解得： ，
联立 ，得 ，解得： ， ，
， ，
，解得： ，因为 ，
所以 .
故答案为：
4．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ，函数
恰有三个不同的零点，则 的取值范围是 _______．
【答案】【详解】
， ，画出 的图像，
化简， ，故 的必过点 ，
恰有三个不同的零点，即为 有三个不同的实根，作出
和 的图像，
直线 与曲线 相切时，有 ，由 ，可得 ，解得
或 ，又由 ，得 ，故 （舍去），
当 与曲线 相切时，两图像恰有三个交点，令 ，此时，解
得 ，
结合图像可得， 或
故答案为：
题型四：重点考查借助图象比较零点大小
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分
别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在同一坐标系中作出 的图象，由图象知： ，
故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零
点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数 ， ， 的零点，即为 与
， ， 的交点，
作出 与 ， ， 的图象，
如图所示，可知
故选：C
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，它们的零
点 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，， ，
， ，
作出函数 ， ， 的图象及直线 ，由图象可得
， ， ，所以 ．
故选：B．
例题4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）已知函数
的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由 得 ， ，
由 得 ，由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，
由图象知 ， ， .
故选：B
精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．
2．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】构造函数 ，因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 为 上的增函数，且 ， ，
因为 ，由零点存在定理可知 ；
构造函数 ，因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 为 上的增函数，且 ， ，
因为 ，由零点存在定理可知 .因为 ，则 ，因此， .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为
a，b，c则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ， ，
由 得 ，由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，
由图象知 ， ， .
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】画出 与 三个函数的图象，如图可得 的与
交点的横坐标依次为 ，故故选：B
题型五：重点考查借助图象求零点代数和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的所有零点之和为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为 ，令 ，即 ，当 时显然不成立，
当 时 ，作出 和 的图象，如图，
它们关于点 对称，
由图象可知它们在 上有4个交点，且关于点 对称，每对称的两个点的横坐标和为 ，所
以4个点的横坐标之和为 ．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的所有零点之和等于
（ ）A． B．0 C．3 D．2
【答案】D
【详解】令 ，则 ，得 ，因为 ，所以
，所以所有零点之和为 .
故选：D
例题3．（2023·河南·校联考二模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且满足 ，当
时， ，则关于 的方程 在 上所有实数解之和为（ ）
A．9 B． C． D．7
【答案】B
【详解】函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，则当 时， ，
又 ，则函数 的周期是3，显然 ，
即直线 是 图象的一条对称轴，因此直线 是 图象的对称轴，
函数 的最小正周期是 ，直线 是 图象的对称轴，
函数 与 在当 时取得相同最大值 ，
在同一坐标平面内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，函数 与 在 上有7个公共点，对应横坐标依次为
，
由对称性知， ，于是 ，所以关于 的方程 在 上所有实数解之和为 .
故选：B
例题4．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，且当
时， ，则函数 的所有零点之和为______.
【答案】18
【详解】∵ 满足 ，则 关于直线 对称，
又∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
∴ 是以4为周期的周期函数，
对 ，可得 ，则 ，
∴ 关于点 对称，
令 ，则 ，
可知： 与 均关于点 对称，如图所示：
设 与 的交点横坐标依次为 ，
则 ，
故函数 的所有零点之和为 .
故答案为：18.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的所有零点之和为_________.
【答案】【详解】由 ，可得 ，令 ，
可得函数 与 的图象都关于直线 的对称，
在同一坐标系内作出函数 与 的图象，如图所示，
由图象可得，函数 与 的图象有6个公共点，
其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 的对称，所以 ，
所以 ，
即函数 的所有零点之和为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.
，令 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：B
2．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数 ，若方
程 恰有四个不同的实数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
所以 如下图示，要使 恰有四个不同的实数解，则 ，
不妨设 ，由图知： ，且 ，即 ，
令 ，可得 或 ，令 ，可得 或 ，
所以 ，而 在 上递减，故 ，
综上， .故选：A
3．（2023·江西宜春·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当
时， ，则 在区间 上所有零点之和为__________.
【答案】4044
【详解】由 是定义在R上的奇函数，所以 ，又 ，
所以 ，则 的周期是2，
且 得 是其中一条对称轴，
又 时 ，于是 图象如图所示，
又函数 零点，即为 与 的交点的横坐标，
由图知：交点关于 对称，每个周期都有2个交点，
所以 、 各有 个周期，故各有 个交点，它们两两关于 对称，
所以零点之和为 .
故答案为：4．（2023·全国·高三专题练习）函数 上所有零点之和为_____.
【答案】4
【详解】函数 ，即 ，
函数 和 都关于 对称，
所以函数 和 的交点也关于 对称，
如图画出两个函数在区间 的函数图象，
两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，
交点横坐标的和 .
故答案为：4
5．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上所有零点之和为__________________.
【答案】4
【详解】函数 ，即 ，函数 和 关于点 对称，如图
画出两个函数在区间 的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和
.
故答案为：4题型六：重点考查二分法
典型例题
例题1．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
是单调函数， ，能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点.
故选：B
例题3．（2023·高一课时练习）若用二分法求方程 在初始区间 内的近似解，第一次取
区间的中点为 ，那么第三次取区间的中点为 ________.【答案】
【详解】解：由题可知，用二分法求方程 在初始区间 内的近似解，
第一次取区间的中点为 ，可设 ，
， ，
，
， 的零点所在区间为 ，
则第二次取区间 的中点为 ，
而 ，
， 的零点所在区间为 ，
则第三次取区间 的中点为 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）在使用二分法计算函数 的零点的近似解时，现已
知其所在区间为 ，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数
值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】开区间 的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过 次二分法计算后，区间长度变为 ，
又使用二分法计算函数 的在区间 上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，又 ，故 ，
所以接下来至少需要计算你 次区间中点的函数值．
故选：C.2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程 在
（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解 所在的区间为___________.
【答案】
【详解】设 ，则 ， ，
， ； ， ，
故近似解 所在的区间为 .
故答案为：
3．（2023·高一课时练习）已知函数 在 上有零点，用二分法求零点的近似值
（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.
【答案】3
【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
取区间 的中点 ，
且 ，
所以 .
取区间 的中点 ，
且 ，
所以 .
取区间 的中点 ，
且 ，
所以 .因为 ，
所以区间 的中点 即为零点的近似值，即 ，
所以至少需进行3次函数值的计算.
故答案为：3
第二部分：方法篇
方法一：数形结合
典型例题
例题1．（2023·安徽·校联考三模）已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于点 对称，当
时， ，若方程 的所有根的和为6，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】方程 的根转化为
和 的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点 对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为 时， ，
所以 ，所以图象为圆的一部分，
作出 和 的图象如图所示．
当 时，只需直线 与圆 相切，所以 ，可得 ；
当 时，只需直线 与圆 相离，
所以 ，解得得 或 （舍）．
故k的取值范围是 ．
故选：A．
例题2．（多选）（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．函数 存在两个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．当 时，方程 有且只有两个实根
D．当 时，
【答案】ABC
【详解】对于A，令 ，则 ，解得 ，所以A正确；
对于B，由 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
所以 是函数的极小值， 是函数的极大值，所以B正确；
对于C，当 时， ；当 时， ，结合B选项可知，函数的最小值是 ，
如图，当 时，方程 有且只有两个实根，所以C正确；对于D，结合C选项中的图象知，当 时，无 ，故D错误．
故选：ABC．
例题3．（2023·天津和平·统考二模）已知函数 ，若关于 的方程
恰有5个不同的实数解，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】作出函数 的大致图象，如图所示，
令 ，则 可化为 ，
则 或 ，
则关于 的方程 恰有5个不同的实数解
等价于 的图象与直线 的交点个数之和为5个，
由图可得函数 的图象与直线 的交点个数为2，
所以 的图象与直线 的交点个数为3个，
即此时 ，解得 .
故答案为： .
精练核心考点1．（2023·河南·校联考二模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且满足 ，当
时， ，则关于 的方程 在 上所有实数解之和为（ ）
A．9 B． C． D．7
【答案】B
【详解】函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ，则当 时， ，
又 ，则函数 的周期是3，显然 ，
即直线 是 图象的一条对称轴，因此直线 是 图象的对称轴，
函数 的最小正周期是 ，直线 是 图象的对称轴，
函数 与 在当 时取得相同最大值 ，
在同一坐标平面内作出函数 与 的图象，如图，
观察图象知，函数 与 在 上有7个公共点，对应横坐标依次为
，
由对称性知， ，于是 ，
所以关于 的方程 在 上所有实数解之和为 .
故选：B
2．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数 ，若方
程 恰有四个不同的实数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
所以 如下图示，要使 恰有四个不同的实数解，则 ，
不妨设 ，由图知： ，且 ，即 ，
令 ，可得 或 ，令 ，可得 或 ，
所以 ，而 在 上递减，故 ，
综上， .
故选：A
3．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知 ，函数 ．
若关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则 的取值范围是______．
【答案】
【详解】由 可得 ，可得 ，
若 ，当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，该方程至多两个根，不合乎题意.所以， ，当 时，由 可得 或 ，
即方程 在 有两个不等的实根，
当 时，由 可得 ，
对于二次函数 ，该函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，
，设函数 的两个零点分别为 、 ，则 ，
若使得关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则方程 在 上只有两个不等的
实根，
所以， 或 （无解），解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
