文档文本内容
第7 题 回归教材突破max 与min 函数（解透一题）
【厦门市2025 届高三第二次质量检测T11】
(多选题)分别用
，
表示
，
中的最小者和最大者，记为
，
．若
，
，则
（ ）
A．
B．函数
有2 个零点
C．函数
的图象关于
轴对称
D．关于
的方程
的所有解的乘积为
本题主要考查函数的新定义（最小者 m(x) 和最大者 M(x)）、函数的值、函数的零点、函
数的奇偶性以及方程的解等知识点.通过对 f(x) 和 g(x) 进行比较构造出新函数m(x) 和
M(x)，旨在考查学生对函数性质的综合运用能力，以及对新定义的理解和转化能力，需要
学生具备较强的分析问题、解决问题的能力以及严谨的逻辑思维.
【人教A 版教材对max/min 函数研究分析】
人教A 版教材对max/min 函数的研究以分类讨论为核心，辅以数形结合和导数分析，需重
点掌握分段转化、图像交点判断及导数工具的灵活运用.
【核心方法--图像构造法】
通过绘制 f(x) 和 )g(x) 的图像，直观展示 max{f(x)，g(x)} 或 min{f(x)，g(x)} 的形态.如
图，作
，
在一个坐标系中的图象(图1)：
则
的图像如图2，
的图像如图3 红线.
对于A 选项， 显然，
与
关于原点对称.故
，故A 正确．
对于B 选项：
如图4，在坐标系中作出函数
的图象与直线
（倾斜程度比
大），观察可知
只有1 个交点，故B 错误．
对于C 选项： 因为
与
关于原点对称， 所以
，所以
，
所以函数
为偶函数，故函数
的图象关于
轴对称.
图5
对于D 选项：
由
或
结合图象5 可知，当
时， 方程有两根
，且
，
故
为
的两根，即
两根，故
，
满足题意.
当
时，方程
增加两根
，这两根满足
，
所以
满足
，此时
，显然也满足题意.
所以关于
的方程
的所有解的乘积为
，故D 正确．
综上，故选ACD．
本题是以符号函数min 和max 为背景，考察分析函数性质与求解方程的综合能力的中档题，
难度适中，研究教材.挖掘出数形结合法，通过图像直观理解函数最值关系，主要采用图
像叠加分析：将多个函数图像叠加，通过观察交点确定min 或max 函数的分段区间.
事实上，我们也可以推导
，
的表达式，但不如图象法直观.
令
.
当
时
，即
，此时
，
.
当
时，
，
.
此时
（2024 四川内江一模第11 题）
1．给定函数
，
．分别用
、
表示
、
中的最小
者、最大者，记为
,
．下列说法正确的是
（ ）
A．
B．当直线
与曲线
有三个不同交点时，
C．当
时，曲线
在点
处的切线与曲线
有且仅有一个交点
D．函数
的值域为
（2023 贵州六盘水期末）
2．
，用
表示
，
的较小者，记为
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
有最小值，无最大值
C．不等式
的解集是
D．若a，b，c 是方程
的三个不同的实数解，则
（2025 黑龙江期末）
3．给定函数
，对于
，用
表示
中的最小者，记
为
，下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
有三个零点
C．函数
在
递增
D．函数
有四个单调区间
【讨论去符号】
4．已知
，定义：
，设
.若函
数
有两个零点，求实数
的取值范围.
5．设
，
，则
的最小值为 .
