文档文本内容
第 06 讲 双曲线的最值和取值范围
目 录
高考分析.....................................................................................................................................................2
学习目标.....................................................................................................................................................2
知识要点.....................................................................................................................................................2
解题策略.....................................................................................................................................................3
题型归纳.....................................................................................................................................................4
题型01：双曲线中线段和的最值.................................................................................................................4
题型02：双曲线中线段和的最值.................................................................................................................7
题型03：双曲线中三角形周长最值.............................................................................................................9
题型04：双曲线中面积最值......................................................................................................................12
题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题................................................................................................14
题型06：双曲线中的距离最值..................................................................................................................15
题型07：双曲线中的参数最值问题...........................................................................................................19
题型08：多元最值....................................................................................................................................24
题型09：双曲线中的离心率最值问题........................................................................................................28
题型10：最值多选综合.............................................................................................................................31
巩固提升...................................................................................................................................................34
1. 高频小题+大题小问，常结合离心率、弦长、面积、距离、斜率命题
2. 核心考查几何性质、函数最值、不等式、参数范围综合应用
3. 易错点：忽略双曲线定义域、焦点位置、渐近线边界限制
1. 熟练掌握距离、弦长、面积、离心率常见最值题型
2. 能用几何法、代数法快速求参数取值范围3. 规避边界、范围、焦点位置类失分陷阱
一、基础范围边界
设标准方程
1. 横坐标： ，纵坐标
2. 离心率范围：
3. 焦半径范围：|PF|≥c-a
二、常见最值类型
1.距离最值
①双曲线上动点到定点：结合几何图形、两点间距离公式，函数求最值
②动点到焦点：利用定义转化，结合三角形三边关系
③动点到渐近线：最短距离为0，渐近线为趋近边界
2.焦点三角形最值
θ
①面积最大值：顶点处取得最大值b2cot
2
②顶角、边长存在取值范围，结合余弦定理判定
3.弦长与斜率范围
①直线与双曲线相交，联立方程后判别式Δ>0限定参数
②渐近线斜率为临界值，直线斜率不能等于渐近线斜率，否则无交点
4.离心率取值范围
①依据边长、角度、位置关系构造不等关系
②结合c2=a2+b2，转化为关于a,b,c不等式求解
三、常用解题依据1. 定义：||PF |-|PF ||=2a
1 2
2. 不等关系：三角形三边关系、坐标取值限制
3. 函数思想：坐标代入解析式，换元后求函数值域
4. 临界状态：顶点、切线、渐近线为范围分界点
1. 几何优先：利用双曲线定义、渐近线、焦点三角形、三边关系求最值
2. 代数转化：设点坐标，化为二次函数、分式函数求值域
3. 不等式约束：结合离心率范围、判别式、坐标范围列不等式求解
4. 临界定位：以顶点、渐近线、切线位置判定取值边界
题型01：双曲线中线段和的最值
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三
边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
y2
【典型例题1】已知点F是双曲线C : −x2=1的上焦点，M是C 下支上的一点，点N是圆
1 4 1
C :x2+ y2−4x+3=0上一点，则|MF)+|MN)的最小值是（ ）
2
A．7 B．6 C．5 D．4❑√2−1
【答案】B
【解题思路】利用双曲线的定义，结合到圆上点的距离最小值，就可以把|MF)+|MN)的最小值转化为
|M F )+|MC )+3，然后再利用两点间距离线段最短，即可求得最小值.
1 2
【解答过程】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
由圆C :x2+ y2−4x+3=0可化为(x−2) 2+ y2=1，则C (2,0)，半径为1，
2 2
因为F 是C 的下焦点，则F (0,−❑√5)，所以|C F )=❑√4+5=3，
1 1 1 2 1
由双曲线定义可得|MF)−|M F )=4，
1
所以|MF)+|MN)=|M F )+|MN)+4≥|M F )+|MC )−1+4≥|C F )+3=6，
1 1 2 2 1
当且仅当C ,N,F ,M四点共线时，取得最小值，即|MF)+|MN)的最小值是6.
2 1
故选：B.
【典型例题2】已知圆 上有一动点 ，双曲线 的左焦点为 ，且双曲线的右支上
有一动点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
在双曲线 中， ， ，
， ，
设双曲线的右焦点为 ，则 ，
在双曲线的右支上，
，即 ，
由题知，圆心 ，半径 ， 在圆 上，，
则 ，
当 ， ， 三点共线且Q位于另两点之间时， 取得最小值为 ，
此时 ，
的最小值为 .
故选：D.
【典型例题3】已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值
为 ．
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义转化为 可求解.
【解析】设右焦点为 ，则 ，则 ，
依题意有 ，
，（当 在线段 与双曲线的交点时，取等号）．
故 的最小值为9.
故答案为：9.
【变式训练1-1】点 是双曲线 的右焦点，动点 在双曲线左支上，直线 与直线
的交点为 ，则 的最小值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练1-2】已知双曲线C的一条渐近线为直线 ，C的右顶点坐标为 ，右焦点为F.若点M是
双曲线C右支上的动点，点A的坐标为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知 是离心率为 的双曲线 的右支上一点，则 到直线 的距
离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】已知双曲线C: x2 −y2=1的右焦点为F ，点P在C的右支上，且Q ( 2, 1) ，则|PQ)+|PF )的
3 2 2 2
最小值为（ ）
A．4−2❑√3 B．❑√17−2❑√3
❑√65
C．❑√15−2❑√3 D． −2❑√3
2
【变式训练1-5】已知双曲线Γ的左、右焦点为F (−2,0)，F (2,0)，Γ的一条渐近线为y=x，点P位于第一象限
1 2
且在双曲线Γ上，点M满足：∠F PM=∠MPF ，M F ⊥MP，则|M F )+|M F )的最大值为（ ）
1 2 1 1 2
A．2❑√6 B．4❑√2 C．❑√2+❑√10 D．4❑√6
【变式训练1-6】已知 是离心率为 的双曲线 的右支上一点，则 到直线 的距
离与 到点 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
y2
【变式训练1-7】已知双曲线Γ:x2− =1的左焦点为F，点A,B在Γ的右支上，且|AB)=6，则|FA)+|FB)的
3
最小值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
x2 y2
【变式训练1-8】设点P为双曲线 − =1右支上的动点，F为该双曲线的右焦点，已知点Q(7,2)，则
5 11
|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．2❑√5 B．3❑√5 C．4❑√5 D．5❑√5
【变式训练1-9】已知 是双曲线 的右焦点， 是 右支上一点，若点 ，则 的
最小值为 .【变式训练1-10】已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点， 是圆 上
一点，则 的最小值为 .
题型02：双曲线中线段和的最值
【典型例题1】已知 ，双曲线 的左焦点为 是双曲线 的右支上的动点，则 的
最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】由双曲线的定义得 ，由三角不等式得出 ，即可求解．
【解析】如图，设双曲线的右焦点为 ，连接 ，则 ，
因为 ，
而 ，所以 ，
当 三点共线且 在 之间时等号成立，故 的最大值是1．
故选：D．
【典型例题2】已知双曲线 ，其一条渐近线方程为 ，右顶点为A，左，右焦点
分别为 ， ，点P在其右支上，点 ，三角形 的面积为 ，则当 取得最大值时点P的坐
标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程
【分析】根据三角形 的面积结合渐近线方程可得 的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当 共线且 在 中间时 取得最大值，进而联立直线 与双曲线的方程求解即可.
【详解】设 ，则由三角形 的面积为 可得 ，即 ，又双曲
线一条渐近线方程为 ，故 ，即 ，故 ，故 ，解得
，故 ，双曲线 .
又由双曲线的定义可得 ，当且仅当 共线且 在 中间时取得
等号.
此时直线 的方程为 ，即 ，联立 可得 ，解得 ，由
题意可得 在 中间可得 ，代入 可得 ，故 .
故选：B
【变式训练2-1】已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左焦点为 ，焦距为4，点 21．已知P 为双
x2 y2
曲线 − =1的右支上一点，M, N分别是圆(x+5) 2+ y2=4和(x−5) 2+ y2=1上的点，则|PM)−|PN)的最
9 16
大值（ ）
A．11 B．9 C．7 D．6
【变式训练2-2】已知F是双曲线 的左焦点， ，P是双曲线右支上的一动点，则 的最
小值为（ ）．
A． B． C． D．
y2 x2
【变式训练2-3】已知双曲线C: − =1的下焦点为F，A(3,7)，P是双曲线C上支上的动点，则||PF)−|PA))
4 5
的最大值是（ ）
A．不存在 B．8 C．7 D．6
【变式训练2-4】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为双曲线 的右顶点，过点 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，设点 ， 分别为 ， 的内心，则 的取值范围为
__________．
题型03：双曲线中三角形周长最值
【典型例题1】已知双曲线 的右焦点为 ， ， 是其一条渐近线上的两点，且
，若 的面积等于 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】条件等式求最值、求双曲线中的最值问题、求点到直线的距离
【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为 ，根据 的面积等于 ，可得 ，再利用不等
式即可求解.
【详解】
设 ， 是渐近线 上的两点，右焦点到渐近线的距离为 ，
所以 的面积为 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为2.
故选： .
【典型例题2】已知双曲线C经过点 ，它的两条渐近线分别为 和 .(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左､右焦点分别为 ､ ，过左焦点 作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求 周长的最小
值.
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）设双曲线C的方程为 ，代入 坐标可得答案；
（2）当直线l的斜率不存在时 ，可得A､B的坐标及 的周长；当直线l的斜率存在，设直线l的方程为
，与双曲线方程联立， 的周长利用韦达定理得到
，设 ，根据 的范围可得答案.
【解析】(1)设双曲线C的方程为 ，代入点 ，得 ，
所以双曲线C的标准方程为 .
(2)双曲线C的左焦点为 ，设 ､ ，
①若直线l的斜率不存在，则 ，得A､B的坐标分别为 和 ，
此时 的周长为 .
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
由 得 ，因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以 ，
得 设 的周长为z，
，
设 ，由 ，得 ， ， ，所以 ，
综上，由①②可得 的周长的最小值为 .
【变式训练3-1】已知双曲线 的右焦点为 ， 是双曲线 的左支上一点， ，则 的
周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，位于第一象限的 为该双曲线的
一条渐近线 上一点，直线 为该双曲线的左支上一点，若 的周长的最小值为 ，则该双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，点 为双曲线 左支上的动点，
则 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．x2 y2
E: 1a0,b0
【变式训练3-4】已知双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F
1
,F
2
，点M 在E的左支上，过点M
作E的一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则当 MF 2 MN 取最小值12时， △F 1 NF 2面积的最大值为 ．
【变式训练3-5】已知双曲线 （ ， ）的左､右焦点分别为 ､ ，双曲线 的右顶点 在圆
上，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ､ ，设 为坐标原点.
①求证：点 与点 的横坐标的积为定值；②求△ 周长的最小值.
题型04：双曲线中面积最值
【典型例题1】已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，点 在 的左支上，过点 作
的一条渐近线的垂线，垂足为 ，则当 取最小值16时， 面积的最大值为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
【答案】B
【解析】由题意得 ，故 ，如图所示，
而 到渐近线 的距离 ，
则 ，
当且仅当M， ，N三点共线时两个等号同时成立，
所以 的最小值为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，又 ，故 ，
所以 ，
即 面积的最大值为32.
故选：B
【典型例题2】已知 ，曲线 由曲线 和曲线 组成，其中曲线
的右焦点为 ，曲线 的左焦点 .
（1）求 的值；
（2）若直线 过点 交曲线 于点 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 .
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解；
（2）设出直线 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值.
【详解】（1）由题意： ， ，解得 即
（2）由（1）知，曲线 ，点 ，设直线 的方程为： ，
联立 得： ， ，又 ， ，
设 ， ， ， ，
面积 ，令 ， ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 面积的最大值为 .
【变式训练4-1】已知双曲线 的右焦点为 ， ， 是其一条渐近线上的两点，且
，若 的面积等于 ，则 的最小值为（ ）A． B．2 C． D．4
x2 y2
E: 1a0,b0
【变式训练4-2】已知双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F
1
,F
2
，点M 在E的左支上，过点M
作E的一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则当 MF 2 MN 取最小值12时， △F 1 NF 2面积的最大值为 ．
【变式训练4-3】已知椭圆 ，双曲线 与椭圆 共焦点，且与椭圆 在四个象限的交点分别为
，则四边形 面积的最大值是___________.
【变式训练4-4】在一张纸上有一圆 ： ，定点 ，折叠纸片使圆C上某一点 恰好与点
M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线 的交点为T.
(1)求证： 为定值，并求出点 的轨迹 方程；
(2)曲线 上一点P，点A､B分别为直线 ： 在第一象限上的点与 ： 在第四象限上的点，若
， ，求 面积的取值范围.
x2 y2 ❑√5
【变式训练4-5】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为 ，经过点P (4,1)、P (−4,−1)．
a2 b2 2 1 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l:x+3 y+m=0与双曲线C相交于A、B两点，已知点A、B分别位于第二、四象限，求四边形AP BP
1 2
面积的最小值．
题型05：双曲线与平面向量交汇最值问题
【典型例题】过双曲线 的右支上一点 ，分别向 和 作切线，切点分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接 ，应用勾股定理及
双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.
【详解】由题设 中圆心 ，半径 ，
中圆心 ，半径 ，
根据双曲线方程知其左右焦点为 ，连接 ，
所以 ，
所以
，
，
当且仅当 为双曲线右顶点时等号成立，
故 的最小值为30.
故选：C.
【变式训练5-1】已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 ， 为坐标原点， 在 轴上方
且在双曲线上，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【变式训练5-2】直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点， 为双曲线 右支上
一个动点，则 的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练5-3】（多选题）已知双曲线 ， ，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】已知点 ， ，双曲线C上除顶点外任一点 满足直线RM与QM的斜率之积
为4.
(1)求C的方程；
(2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限， ，求
的最小值.
题型06：双曲线中的距离最值
【典型例题1】已知点A在双曲线C： （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F ，F ，点B在∠F AF
1 2 1 2
的平分线上，BF ⊥AB，若点D在直线l： ，则|BD|的最小值为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆 上，由此将|BD|的最小值转化为圆 上的
点到直线 的距离的最小值问题.
【详解】作出图形如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得
，故 ，故 ，则点B落在圆 上,因
为点O到直线l： 的距离为 ，故 的最小值为 ，
【典型例题2】（多选题）在平面直角坐标系 中，设双曲线 的右焦点为 ，直线 过点 ，与双
曲线 的右支交于点 ， ，点 在双曲线 的右支上，则（ ）
A．直线 是双曲线 的一条渐近线 B．点 与直线 的距离的最小值为1
C．线段 的最短长度为1 D．线段 的最短长度为6
【答案】ACD
【分析】
求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D．
【详解】双曲线方程是 ，则其渐近线方程是 ，A正确；直线 与渐近线
平行，因此双曲线上点 到直线 的距离无最小值．B错； ， ，当 是右顶点 时，
取得最小值 ，C正确；设 的斜率为 ，则 或 ， ，设 ，
直线 方程为 ，由 ，得 ， ， ，
， ，因为 或 ，所以 ，即
，所以 ，当 轴时，在 中，令 ，得 ，此时 ，综上 的最小值为6．D正确．
【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径： 是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当
轴时， 是双曲线的通径，此时 为弦 长度的最小值．
【典型例题3】已知双曲线 的离心率为2，且双曲线C与椭圆 有相同的焦点．
点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则 的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】利用离心率和焦点坐标求得双曲线方程，求得双曲线的渐近线，设 ， ，然后利用点到直线的
距离求得 ，然后利用余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得 ，则 ，故双曲线C的方程为 ，其渐近线方程为
，设点 ， ， ，则 ， ，
故 ．因为点P在双曲线C上，所以 ，则 ．因为渐近线 的倾斜角为 ，所
以 ，故 ，在 中，由余弦定理可得
，当且仅当 等号成立，则 ，即 的最小值为
．
【变式训练6-1】设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的最大值是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．3
【变式训练6-2】已知 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，则 两点间的最短距
离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】设双曲线 的焦距为2，若以点 为圆心的圆 过 的右顶
点且与 的两条渐近线相切，则 长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂
线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的最大值是______.
【变式训练6-5】已知直线 是双曲线 的两条渐近线，点 是双曲线 上一点，若点 到渐近线
的距离的取值范围是 ，则点 到渐近线 的距离的取值范围是__________．
【变式训练6-6】已知直线 是双曲线 的两条渐近线，点 是双曲线 上一点，若点 到渐近线
的距离的取值范围是 ，则点 到渐近线 的距离的最小值是__________，最大值是__________．
【变式训练6-7】费马定理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，已知双曲线
的两个焦点为 ， ，则双曲线在点 处的切线平分 .已知 是坐标原点，点 为双曲线 ： 的
左焦点，点 在 的右支上，点 为 的中点，直线 是 在点 处的切线，直线 与 相交于点 ，则 的
取值范围是 .
【变式训练6-8】已知双曲线C： 的左右顶点分别为 ， ，两条准线之间的距
离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．
【变式训练6-9】设双曲线 的右顶点为 ，虚轴长为 ，两准线间的距离为 .(1)求双曲线 的方程；
(2)设动直线 与双曲线 交于 两点，已知 ，设点 到动直线 的距离为 ，求 的最大值.
【变式训练6-10】已知点 是双曲线 上任意一点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)已知点 ，求 的最小值．
【变式训练6-11】我们把等轴双曲线的一部分 与半圆 合成的
曲线称作“羽毛球型”曲线 ，其中 是焦距为8的等轴双曲线的一部分，如图所示.
(1)求 与 的方程；
(2)已知 为“羽毛球型”曲线 上的动点，求线段 长度的最小值；
【变式训练6-12】已知曲线 ．
(1)若 ，求曲线 的离心率；
(2)若曲线 的左，右顶点为 ， 是 上第一象限上动点， ．
（ⅰ）若 ，求点 的坐标；
（ⅱ）设直线 与定直线 的交点为 ，直线 与曲线 的另一个交点为 ，求 的最小值．
【变式训练6-13】已知△OFQ的面积为2 ， ＝m（1）设 ≤m≤4 ，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），| |＝c，m＝（ ﹣1）c2，当| |取得最小值时，求此双
曲线的方程.
题型07：双曲线中的参数最值问题
【典型例题1】已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且 、 、 成等比
数列， 为双曲线 右支上一点， 为 的内切圆圆心.若实数 满足 （ 表示相
应三角形面积）恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 的内切圆半径为 ，求出双曲线 的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得
的取值范围.
【详解】由 、 、 成等比数列得 ， ，即 . ， .设 的内切圆半径为 ，由双曲线的定义得 ，易知 ，
， ， .由 得
，即 ，
则 ， 的取值范围为 ，，则 的最大值为 。
【典型例题2】已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 、 ，满足
恒成立，则 的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】设点 ，可得出 ，分析得出 ，即可解得 的取值范围.
【详解】设点 ，则 ，则 或 为锐角，如下图所示：
设点 为双曲线的渐近线 在第一象限内的一点，设点 为双曲线的渐近线 在第四象限内的一点，由题意可知， ，则 ，解得 ，则 的最小值是1.
【典型例题3】已知双曲线 的离心率为 ，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴
的直线与双曲线交于第一象限的点B， 的面积为
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，
，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由离心率为 可得 ，然后算出 ，然后可求出答案；
（2）设 ， ，联立 消元，弦长公式算出 ，设 ， ，
（3）联立 得 ，同理 ，然后算出 ，然后可得 ，即可得
到答案.
【解析】(1)因为双曲线 的离心率为 ，则 ， ，可得 ，
由已知，将 代入 ，可得 ，由 ，
即 ，所以 ，故双曲线的方程为 ；
(2)依题意，设 ， ，由 可得 ，
所以 解得 ，且
所以 ，
设 ， ，由 得 ，同理 ，
所以 ，所以 ，其中 ，因为 ，故 的取值范围是
【变式训练7-1】设双曲线 的离心率为 ，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，
M是双曲线C上异于A，B的动点，直线 斜率分别 ，若 ，则 的最大值与最小值的和为
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】设双曲线 的离心率为 ，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，
M是双曲线C上异于A，B的动点，直线 斜率分别 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】已知 、 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、
的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ．若直线 与曲线 没有公共点，当双曲线 的离心率取得最
大值时，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】已知双曲线C： ，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近
线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式训练7-5】设 为双曲线 ： （ ， ）的右焦点， 为坐标原点，过 做 的一条渐近线
的垂线，垂足为 ， 的面积最小值为16，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【变式训练7-6】已知 ， 是双曲线 上的一点，半焦距为 ，若 （其中 为坐标原点），
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-7】函数 的图像恒过定点A，若点A在双曲线 上，则m-
n的最大值为（ ）
A．6 B．-2 C．1 D．4
【变式训练7-8】点 ，定义 ，如图为双曲线 及渐近线，则关于点 、 、 ，下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-9】已知双曲线 的离心率为 ，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x
轴的直线与双曲线交于第一象限的点B， 的面积为(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，
，求实数 的取值范围.
【变式训练7-10】已知双曲线C： 的离心率为 ，过点 作垂直于x轴的直线截
双曲线C所得弦长为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线 （ ）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点 为圆心的同一圆
上，求m的取值范围．
【变式训练7-11】已知双曲线 ： （ ， ）交 轴于 两点， 是双曲线上异于 的任意一
点，直线 分别交 轴于点 ， ，且双曲线离心率为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线l： （ ）与双曲线交于 两点， 为双曲线虚轴在 轴正半轴的端点，若 ，求
实数 的取值范围.
【变式训练7-12】已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 是其渐近线上的
一点，且以 为直径的圆过点 ， ，点 为坐标原点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线 相交于
不同的两点 、 ，若 ，求实数 的取值范围.
题型08：多元最值
【典型例题1】已知双曲线 ： ，点 是 的左焦点，若点 为 右支上的动点，设点 到 的一条渐近线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】过 作 垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ，则 ，连接 与双曲线的另一个焦点 ，
如下所示：
由双曲线的定义可知， ，又双曲线方程为 ，故 ，又点 坐标
为 ，双曲线的渐近线为 ，故点 到渐近线的距离为 ，故 .
y2
【典型例题2】已知点P是双曲线x2− =1上的动点，F ，F 分别为其左，右焦点，O为坐标原点.则
3 1 2
|PF |+|PF |
1 2
的最大值是（ ）
|OP|
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】设P(x,y)在右支上，根据双曲线的性质求得|PF |=ex−a、|PF |=ex+a且|OP|=❑√x2+ y2，由
2 1
|PF |+|PF | 4
1 2 =
已知双曲线有|OP| √ 3 ，结合x的范围求范围，即可得结果.
❑4−
x2
【解析】由双曲线的对称性，假设P(x,y)在右支上，即x≥a，
a2 a2
由P到x= 的距离为d=x− ，而|PF |=❑√(x−c) 2+ y2，
c c 2
❑ √ (x−c) 2+ b2 ⋅x2−b2 ❑ √c2 ⋅x2−2cx+a2 cx −a
|PF | ❑√(x−c) 2+ y2 a2 a2 a c
所以 2 = = = = = =e，
d a2 a2 a2 a2 a
x− x− x− x−
c c c c
|PF |+|PF | ex−a+ex+a 2ex
综上，|PF |=ex−a，同理|PF |=ex+a，则 1 2 = = ，
2 1 |OP| ❑√x2+ y2 ❑√x2+ y2
y2
对于双曲线x2− =1，有y2=3x2−3且e=2，
3|PF |+|PF | 4x 4 |PF |+|PF | 4
1 2 = = 1 2 ≤ =4
所以|OP| ❑√4x2−3 √ 3 ，而x≥1，即|OP| √ 3 .
❑4− ❑4−
x2 1
故选：D.
【典型例题3】已知双曲线 ， 为左焦点，若 ，则双曲线离心率为 ；若对于双曲线
上任意一点 ，线段 长度的最小值为 ，则实数 的值为 .
【答案】
【解析】由 ，根据双曲线的性质，求出半焦距 ，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段 长度的最小值
为 ，得出 ，即可求出结果.因为双曲线 ，
若 ，则 ，所以 ，因此双曲线的离心率为 ；
因为 为左焦点，所以 ，其中 ，
若对于双曲线 上任意一点 ，为使线段 的长度最小，则点 必在该双曲线的左支上，设 ，则 ，
，
所以
，因此 ，解得 .
故答案为： ； .
【典型例题4】如图，已知椭圆 与等轴双曲线 共顶点 ，过椭圆 上一点P
（2，-1）作两直线与椭圆 相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别
记交点为M，N.(1)若 的面积为 ，求直线AB的方程；
(2)若AB与双曲线 的左､右两支分别交于Q，R，求 的范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点 坐标，即得 ，
设 ，根据 的面积为 求出 的值即可求解；
（2）联立直线和双曲线方程，先求出 ，再根据 的范围即可求解.
【解析】(1)由题得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 ，
等轴双曲线的方程为 .由题意，直线PA的斜率存在，设PA： ，则PB： ，
联立 ，消去 得 ，
所以 ，又 ，所以 ，则
将 换成 ，得 ，所以 ，设 ，
由 ，消去 得 ， ，所以得 ，
则 ， ， ，
所以 ，解得 ，所以直线AB的方程为 ；
(2)由 ，消去 得 ，解得 ，
所以 ， ， ，则 ， ， ，
所以 的取值范围为 ．
【变式训练8-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，过 的左顶点 作一条与渐近线
平行的直线与 轴相交于点 ，点 为线段 上一个动点，当 分别取得最小值和最大值时，点 的纵
坐标分别记为 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】已知直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的最
小值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
【变式训练8-3】已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，过坐标原点
的直线交双曲线 于A， 两点， 为双曲线 上异于A， 的一动点，设 ， 的斜率分别为 ， ，则
的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式训练8-4】已知 分别是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线上位于第一象限的一点，线段
过点 且 ， 的平分线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则 的最小值
为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【变式训练8-6】已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
【变式训练8-7】已知双曲线 和直线 是 的左、右顶点， 是 上异于A，B两点的任意
一点，直线AP，BP分别交直线 于M，N两点，设 的外接圆半径分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-8】过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆 作
切线，切点分别为 、 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
x yx y
【变式训练8-9】已知 ，
B2,0
，若曲线
a
b
a
b
0a0，b0
上存在点P满足：
b
PB PA 2，则 的取值范围是（ ）
a
3 3
0， ，
A． 0，3 B． 3， C． 3 D． 3
【变式训练8-10】已知实数 满足 ，则 的取值范围是____________
【变式训练8-11】已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 过点 ，
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线 交双曲线 左、右两支于 ， 两点，交双曲线 的渐近线于 ， （点 位于 轴的
右侧）两点，求 的取值范围．题型09：双曲线中的离心率最值问题
【典型例题1】已知 为双曲线 ： （ ， ）左支上一点， ， 分别为 的左、右焦点，
为虚轴的一个端点，若 的最小值为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义可得 ，又 即可得到关于 的方
程，解得.
【详解】 ，即 ，
化简得 ，即 ，解得 或 ，所以 .
【典型例题2】已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点 ､ ，曲线 和 在第一象限相交于点P.且 ，
若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则双曲线 的离心率的最小值是___________.
【答案】
【分析】设 ，由椭圆、双曲线的定义可得 ， ，由余弦定理可建立方程，转化为离心
率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.
【详解】设椭圆 ，双曲线： ，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率 ，
双曲线离心率 ， ，如图，
由椭圆定义可得： ，由双曲线定义可得： ，联立可得 ， ，由余弦定理可得：，即 ，解得
，因为 ，所以 ， ，可得 ，故 ，则双曲线 的离
心率的最小值是 。
【典型例题3】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线
交双曲线 于 ， 两点.
(1)若 ，四边形 的面积为12，求双曲线 的方程；
(2)若 ，且四边形 是矩形，求双曲线 的离心率 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)因为直线 交双曲线 于 ､ 两点，所以 ， 两点关于原点对称，从而四边形 是平行
四边形，设双曲线 的焦距为 ，则四边形 的面积 ，解得 ，
从而 ， ，所以 ， ，
于是 ，解得 ， ，所以双曲线 的方程为 ；
(2)设 ，则 .由 ，得 .
因为 ，所以 ，
化简得 .因为 ，所以 .由 得 ，解得
；由 得 ，解得 .因此， 的取值范围为 .
【变式训练9-1】已知双曲线 的右焦点为 ，点 ， 为双曲线左支上的动点，且 周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练9-2】已知双曲线 （ ， ）的右顶点为 ，抛物线 （ ）的
焦点为 ，若在双曲线 的渐进线上存在点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练9-3】（多选题）已知双曲线 ，直线 与 交于 ， 两点（ 在 的上
方）， ，点 在 轴上，且 轴.若 的内心到 轴的距离不小于 ，则 的离心率最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-4】已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上任一点，且 的最
小值为 ，则该双曲线的离心率是__________.
【变式训练9-5】已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，满足
，直线 与圆 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【变式训练9-6】过双曲线 左焦点 的动直线 与 的左支交于 ， 两点，设 的右焦
点为 .
（1）若三角形 可以是边长为4的正三角形，求此时 的标准方程；
（2）若存在直线 ，使得 ，求 离心率的取值范围.
【变式训练9-7】设双曲线 的方程为 ， 、 为其左､右两个顶点， 是双曲线 上的任意
一点，引 ， ， 与 交于点 .（1）求 点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为 ， 、 的离心率分别为 、 ，当 时， 的取值范围.
题型10：最值多选综合
【典型例题1】已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一条渐近线的
垂线，垂足为 ，且交 的右支于点 ，设 为坐标原点， 为 的左支上一动点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的
最值
【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定 的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面
向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线
的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假.
【详解】对双曲线： ， ，所以 .
双曲线在一、三象限的渐近线方程为 .
如图：直线 所在的直线方程为： .
由 ，即 .
由 且 ，即 .
又 ，所以 .
对A：因为 ，所以 ， ，所以 ，
故A正确；
对B：因为 ， ，所以 不成立，故B错误；
对C： ,当 三点共线时取等号，故C正确；
对D：设双曲线左焦点为 ，则 ，
所以
，当 三点共线时取等号.故D正确。
故选：ACD
【典型例题2】若双曲线 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的焦点 到渐近线的距离为4 B． 的离心率为
C． 上的点到 距离的最小值为2 D．过 的最短的弦长为
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，可知，再根据 求得 ，从而得出双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，根据点到直线的距离公式即可求出焦点 到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当
双曲线 上的点为其右顶点 时，此时双曲线 上的点到 的距离最小，即可判断C选项；过点 且斜率为零
的直线与双曲线的交点为 ，可得出过 的最短的弦长，即可判断D选项.
【详解】由题意知， ，即 ，因为 ，所以 ，解得： ，
所以右焦点为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，对于A： 到渐近线 的距离为
，故A正确；对于B：因为 ，所以双曲线 的离心率为 ，故B错误；对于C：当双曲线
上的点为其右顶点 时，此时双曲线 上的点到 的距离最小为 ，故C正确；对于D：过点 且斜率为零的
直线与双曲线的交点为 ，此时为过点 的最短弦为 ，故D错误．
【变式训练10-1】在平面直角坐标系 中，设双曲线 的右焦点为 ，直线 过点 ，与双曲线
的右支交于点 ， ，点 在双曲线 的右支上，则（ ）
A．直线 是双曲线 的一条渐近线 B．点 与直线 的距离的最小值为1
C．线段 的最短长度为1 D．线段 的最短长度为6
【变式训练10-2】已知P是双曲线C： 上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分
别为k ，k (k k ≠0)，若|k |+|k |≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数 (a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．设F ，F 分别是双曲线的左、右焦点，若△PF F 的面积为 ，则∠PF F =
1 2 1 2 1 2
【变式训练10-3】已知 为双曲线 上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，记线段
， 的长分别为 ， ，则（ ）
A．若 ， 的斜率分别为 ， ，则 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【变式训练10-4】双曲线 的一条渐近线上的点 关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点 ，点 是双曲线上的动点，则 的值可能为
A．4 B． C．2 D．
【变式训练10-5】已知双曲线 的左右顶点分别为 ，双曲线 的右焦点为 ，点 是双曲线
上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 .
设直线 的倾斜角分别为 ，则（ ）
A．点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为
B．设 ，则 的最小值为
C． 为定值
D．当 取最小值时， 的面积为
【变式训练10-6】若双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的右支上一点 作圆 的
切线，切点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 的面积为9
B．若 为圆 上的一动点，则 的最小值为3
C．四边形 面积的最小值为
D． 的最小值为
【变式训练10-7】已知曲线 ，则（ ）
A． 不经过第二象限
B．当 ， 时， 上任一点到坐标原点的距离均相等
C． 上点的横坐标的取值范围是
D． 上任一点到直线 的距离的取值范围是一、单选题：
1．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，动点 在双曲线 的右支上，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．过椭圆 右焦点F的圆与圆 外切，该圆直径 的端点Q的轨迹记为曲线C，
若P为曲线C上的一动点，则 长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 的左支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，
垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点A在双曲线C： （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F ，F ，点B在∠F AF 的平分线上，
1 2 1 2
BF ⊥AB，若点D在直线l： ，则|BD|的最小值为（ ）
2
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且
，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
6．已知直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
7．设双曲线 ： 的离心率为 ，过 左焦点 作倾斜角为 的直线 依次交 的左右两支于
， ，则有 ．若 ， 为 的中点，则直线 斜率的最小值是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
1．已知双曲线C的方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
2．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 ， ，则（ ）
A．若 在双曲线右支上，则 的最短长度为1
B．若 ， 同在双曲线右支上，则 的斜率大于
C． 的最短长度为6
D．满足 的直线 有4条
3．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过 的直线与
双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为 B．若 ，则直线 的斜率为
C． 的最小值为25 D． 面积的最小值为12
4．已知动点 是双曲线 上的点，点 是 的左、右焦点， 是双曲线 的左、右顶点，下列结
论正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．点 在双曲线的左支时， 的最大值为
C．点 到两渐近线的距离之积为定值
D．若 是△ 的面积，则 为定值
三、填空题：1．已知双曲线C的方程为 ， ， ，双曲线C上存在一点P，使得 ，则
实数a的最大值为 .
2．双曲线 ： 的左，右顶点分别是 ， ， 是 上任意一点，直线 ， 分别与直线 ： 交于
， ，则 的最小值是 ．
3．已知点 ，若双曲线 的右支上存在两动点 ， ，使得 ，则 的最小值为
.
4．已知双曲线 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则 的
最小值为 .
四、解答题
1．已知双曲线 的实轴长为 ，离心率为 .动点P是双曲线C上任意一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，求线段 的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点 ，求 的最小值.
2．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 的距离比是常数2.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若直线 与动点 的轨迹交于P，Q两点，且 （ 为坐标原点），求 的最小值.
3．已知双曲线 过点 ，左､右顶点分别是 ，右焦点 到渐近线的距离为 ，动直线
与以 为直径的圆相切，且 与 的左､右两支分别交于 两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求 的最小值.
4．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且E的渐近线方程为 ．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．5．已知双曲线 ，（ ， ）的实轴长为2，且过点 ，其中 为双曲线 的离心率．
(1)求 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 的左、右两支分别交于点 ，点 在线段 上，且 ，
为线段 的中点，记直线 ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ，求 的最小值．
6．已知双曲线Γ： 经过点 ，且其中一焦点 到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
x2 y2
7.已知双曲线C: − =1的左顶点A(−1,0)，渐近线方程为y=±❑√3x，直线l经过点B(−1,2)，与C交于不与
a2 b2
A重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AP，AQ的斜率之和；
(3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值.
