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第9 题 双纽线综合问题（一题多解）
【辽宁省名校联盟2025 届高三12 月联合检测】如图，曲线C 称为“双纽线”，其对称中
心在坐标原点O，且C 上的点满足到点
，和
的距离之积为定值
，则
（ ）
A．若
，点
在曲线C 上
B．若
，曲线C 的方程为
C．若
，曲线C 上点的纵坐标的最大值为1
D．若点
在
上，则
直接根据定义验证可判定A 项；利用两点距离公式化简计算轨迹方程即可判
定B 项；结合B 的结论及判别式法并验证特殊情况可判定C 项；利用平方式的意义及轨迹
方程的变形可判定D 项.
易知原点
在曲线上，
．
对于A 项，当
时，设曲线
与
轴正半轴相交于点
，
则
，解得
，故A 项正确；
对于B 项，设曲线
上任意一点坐标为
，则
，
得
，则
，所以
，
即
，故B 项错误；
对于C 项，由
，得
，
则
，所以
，即
，
得
，由方程有解得
，
所以
，即
，当
时，
，故C 项正确；
对于D 项，角度一、由
，得
，
所以点
在
上时
成立，故D 项正确．
角度二、由曲线C 的方程
得
，
．
故选ACD 项．
（2024·河北石家庄·模拟预测）
1．如图，曲线C 过坐标原点O，且C 上的动点
满足到两个定点
，
的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
C．
周长的最小值为12
D．
面积的最大值为
【答案】AD
【分析】求解曲线方程后，利用过原点求得
，可判断A；联立方程组，结合其解唯一
求出k 的范围，可判断B；利用基本不等式求解
的范围，即可求解
周长
范围，判断C；根据面积公式，结合正弦函数性质可判断D.
【详解】由定义
，即
，
即
，该曲线过原点，所以
，
又
，所以
，故选项A 正确；
故方程为
，
所以曲线C 的方程为
，
直线
与曲线
：
必有公共点
，
因此若直线
与曲线
只有一个交点，则
只有一个解
，
即
只有一个解为
，
即
时，
无解，
故
，即实数
的取值范围为
，故B 错误；
由
，仅当
时等号成立，
此时点P 在
的垂直平分线上，故点P 与原点O 重合，不能形成三角形，
所以
，所以
周长
，
等号取不到，故C 错误；
，
当且仅当
，等号成立，此时点P 的纵坐标为
，
方程
可化为
，
令
，则方程
，
由判别式
，可得
，
故面积能取到最大值
，故D 正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程
代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不
等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简
单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，
要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0 的分
类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.
（24-25 高三上·河南·开学考试）
2．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有
特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计
作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线
是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线
的图象关于原点对称
B．曲线
经过7 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线
上任意一点到坐标原点
的距离都不超过3
D．若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】选项A，由曲线上任一点
关于原点的对称点
适合曲线方程可判断；
选项B，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出
范围，再赋值求解整点的坐标即
可；选项C，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；选项D，联立
直线y＝kx 与曲线C 研究方程根的情况即可．
【详解】A 项，设曲线
上任意一点
，则坐标满足曲线方程，
即方程
成立，
可得
成立，
即点
关于原点的对称点
也适合曲线方程，
所以曲线
的图象关于原点对称，故A 正确；
B 项，方程
可化为
，
令
，则方程
，
由判别式
，可得
，
若
是整数，则
.
令
，
，解得
或3 或
，有三个整点
，
，
；
令
，
，解得
或5，此时无整点；
所以曲线
共经过3 个整点，故B 错误；
C 项，设曲线C 上任一点
，
当
为原点时，到原点的距离为
，满足题意；
当
不为原点时，
，
则由
可得，
，
所以点
到原点的距离
，且
；
综上，曲线C 上任一点
到原点的距离都不超过3，故C 正确；
D 项，直线
恒过原点
，且曲线C 经过
，
则直线与曲线至少一个公共点，
又
与曲线C 只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.
联立
，
消
得
，
当
时，方程
仅一解
，满足题意；
当
时，当
时，方程恒成立，即恒有一解，
当
时，方程化简得
，即当
时，方程无解，满足题意；
综上，
，解得
或
，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程
代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不
等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简
单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，
要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0 的分
类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.
对于C 项，由轨迹方程消元结合基本不等式可判定或消元后利用二次函数的
性质计算即可.
对于C，
角度一、当
时，曲线C 的方程为
，
，
，
当
时，可取“＝”，曲线C 上点的坐标最大值为1；
角度二、由
得
，
令
，
，纵坐标最大值为1．
3．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，
“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆
的方程为
，半椭圆
的方程为
．则下列说法正确的是（ ）
A．点A 在半圆
上，点B 在半椭圆
上，O 为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB 面积的最大
值为6
B．曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若
，P 是半椭圆
上的一个动点，则cos∠APB 的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在
与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆
扩充为整个椭圆
：
后，椭圆
的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【分析】选项A，易得
，
，从而判断；选项B 根据椭圆的性质解决椭圆中
两点间距离问题；选项C 由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到
、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB 的最小值；选项D 中分析蒙日
圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】解：对于A，因为点A 在半圆
上，点B 在半椭圆
上，O 为坐标原点，
OA⊥OB，
则
，
，
则
，
当
位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB 面积的最大值为6，故A 正确；
对于B，半圆
上的点到
点的距离都是，
半椭圆
上的点到
点的距离的最小值为，最大值为
，
所以曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B 正确；
对于C，
是椭圆
的两个焦点，
在△PAB 中，
，由余弦定理知：
，
当且仅当
时取等号，
所以cos∠APB 的最小值为
，故C 错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O 坐标为原点(0，0)，在椭圆
：
中取两条切线：
和
，它们交点为
，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：
，故D 正确．
故选：ABD．
4．2021 年3 月30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感
来源于曲线C：
.其中星形线E：
常用于超轻材料的设计.则下列关
于星形线说法正确的是（ ）
A．E 关于y 轴对称
B．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过
C．E 上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E 所围成图形的面积小于2
【答案】ABD
【分析】A 由
、
均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式
即
可判断；C 由
，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据
与
图形的位置关系判断.
【详解】若
在星形线E 上，则
也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；
由
，则
当且仅当
时等号成立，B 正确；
由
，当且仅当
时
等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为
，C 错误；
曲线E 过
，
，由
，则
在
所围成的区域
内部，而
所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有
，由
及
立方和公式求两点距离，利用
与
图形的位置判断面积大小.
对于C 项，利用等面积法表示焦点三角形，结合正弦函数的值域计算并验证
即可.
对于C 项，解焦点三角形，
设
，
，
，则
，
∴纵坐标最大值为1，此时
．
（24-25 高三上·广东·开学考试）
5．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设
和
且
，动点
满足
，动点
的轨迹显然是卡西尼卵形线，
记该卡西尼卵形线为曲线
，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线
的方程是
B．曲线
关于坐标轴对称
C．曲线
与
轴没有交点
D．
的面积不大于
【答案】ABD
【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点
的轨迹方程
，即可判断A；由对称性代入
即可判断B；在
的轨迹方程中令
，可解出
，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D.
【详解】设
，由
，
得
，
化简得
，故A 正确；
该方程中把
改为
或把
改为
方程均不变，故B 正确；
在方程
中，令
得
，
当
时，
或
，当
时，
，当
时，
，故
C 不正确；
，故D 正确.
故选：ABD.
6．2022 年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被
瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系
中，把到
定点
，
距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线，已知点
是
时的双纽线
上一点，下列说法正确的是（ ）
A．双纽线
是中心对称图形
B．
C．双纽线
上满足
的点有2 个
D．
的最大值为
【答案】ABD
【分析】A.先由双纽线的定义得到方程，将
替换方程中的
判断；B. 由
求解判断；C. 由方程令
求解判断；D. 由
，结合余弦定理判断.
【详解】由到定点
的距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线，
则双纽线
的方程为
，
将
替换方程中的
，方程不变，
故双纽线
关于原点
成中心对称，故A 正确；
由等面积法得
，则
，
所以
，故B 正确；
令
，得
，解得
，
所以双曲线
上满足
的点
有一个，故C 错误；
因为
，所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
所以
的最大值为
，故D 正确.
故选：ABD.
对于C 项，借助轨迹方程结合柯西不等式可判定；对于D 项，联立曲线轨迹
方程与
，由平方式的意义确定
，结合图形的几何意义可判定.
对于C，
∴
，即
取等条件为
即
，此时
，满足，∴
选项D，
有
即
联立
得
，有
故曲线在
及直线
中间有
（24-25 高二上·四川南充·期中）
7．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的
曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“
”对应着数学曲线中的
双纽线. 在
平面上，把到两个定点
，
距离之积等于
(
)的动点轨
迹称为双纽线.已知双纽线
：
，
是曲线
上的一个动点，则下列
结论正确的是（ ）
A．曲线
上满足
的点
有且只有一个
B．曲线
经过4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围为
D．曲线
上任意一点到坐标原点
的距离都不超过3
【答案】AD
【分析】由
推得
，代入曲线C 方程求解即可判断A；结合方程，求解整点
坐标可判断B；联立方程组，结合解的唯一性求出
的取值范围，判断C；结合方程以及
距离公式可判断D
【详解】若曲线C 上点P 满足
，则点P 在
的垂直平分线上，即y 轴上，故
，代入曲线C 方程得
，解得
，
所以这样的点仅有一个，故A 正确；
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
令
，则
，解得
，
故曲线C 经过整点只能是
，故B 错；
易知直线
与曲线C：
一定有公共点
，
若直线
与曲线C 只有一个交点，
则
只有一个解
，
即
只有一个解为
，
即
时，
无解
故
，即实数
的取值范围为
，故C 错；
由
可得
，
当且仅当
时取等号，
曲线
上任意一点到坐标原点
的距离
，故D 对；
故选：AD
利用参数方程结合三角函数的性质可判定D 项，再根据同角三角函数的平方
关系及二次函数的性质可判定C 项.
设曲线C 上点
，由
，∴
化简得
令
，则
，∴
∵
，∴
，∴
或
此时
，∴
，故D 正确
C：当
时
，
，y 最大，则
，
∴
，
当
时，
，故C 正确.
（2023·内蒙古呼和浩特·二模）
8．2021 年3 月30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），
设计师的灵感来源于曲线
：
．当
，
，
时，下列
关于曲线的判断正确的有 ．
①曲线
关于
轴和
轴对称
②曲线
所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线
上的点到原点
的距离的最大值为
④设
，直线
交曲线
于
、
两点，则
的周长小于8
【答案】①②③
【分析】确定
，
在曲线上，①正确，曲线在一个长为
，宽为
的矩形内部，
②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆
在曲线
内，④错
误，得到答案.
【详解】曲线
：
，
对①：取曲线上点
，则
，
在曲线上，故曲线
关于
轴和
轴对称，
正确；
对②：取
，
，取
，
，故曲线在一个长为
，宽为
的矩形内部，故
其面积小于
，正确；
对③：设曲线上一点为
，则
，设
，
到原点的距离的平方为
，
，
，当
时，距离平方有最大值为
，故距离的最大值为
，正确.
对④：对于曲线
和椭圆
，设点
在
上，
点
在
上，
，故
， 所以
，
设点
在
上，点
在
上，
，所以
，即
，
故椭圆
在曲线
内(除四个交点外)， 如图：
设直线
交椭圆
于
两点，交
轴于
，
为椭圆
的两个焦点，
由椭圆的定义可知：
，
，
所以
的周长为8，由图可知，
的周长不小于8，错误；
故答案为：①②③
【点睛】关键点睛：本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算
能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆
在曲线
内，再利用
椭圆的知识求解是解题的关键.
9．Cassini 卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义
是：线上的任何点到两个固定点
，
的距离的乘积等于常数
.
是正常数，设
，
的距离为
，如果
，就得到一个没有自交点的卵形线；如果
，就得到一个双纽
线；如果
，就得到两个卵形线.若
，
.动点
满足
.则动点
的轨迹
的方程为 ；若
和
是轨迹
与
轴交点中距离最远的两点，则
面积的最大值为 .
【答案】
；
【分析】设
，代入
，化简即可得到动点
的轨迹
的方程；进而求出
，
的坐标，然后将问题转化为求点
的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：设
，
，
，即
，
动点
的轨迹
的方程为：
；
令
，可得
，解得
或
，所以
，
由对称性，只考虑第一象限的部分，
为定值，
面积最大时，即点
的纵坐标最大，
又
，
，
令
，则
，因为
，所以
，
，
令
，
当
时，
取得最大值
，即
，
，
，
面积的最大值为
．
故答案为：
；
．
【点睛】关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点
的轨迹方程，求出点
的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点
的纵坐标的最
大值，从而面积的最大值可求．
（24-25 高三上·云南·阶段练习）
10．如图，曲线
是一条“双纽线”，其
上的点满足：到点
与到点
的距
离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点
在曲线
上
B．点
在
上，则
C．点
在椭圆
上，若
，则
D．过
作
轴的垂线交
于
两点，则
【答案】ACD
【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到
，再计算
判断
B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设
，由勾股定理得到
，再解
方程判断D.
【详解】对于A，
，由定义知
，A 正确；
对于B，由点
在
上，得
，
化简得
，解得
，
，B 错误；
对于C，椭圆
的焦点坐标恰好为
与
，
则
，由
，得
，
则
，
，C 正确；
对于D，设
，则
，而
，则
，
又
，
则
，化简得
，解得
，
，
因此
1，
，D 正确.
故选：ACD
（2024·辽宁鞍山·二模）
11．在平面直角坐标系中，定义
为点
到点
的
“折线距离”．点
是坐标原点，点
在直线
上，点
在圆
上，
点
在抛物线
上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，根据折线距离的定义，写出
，利用绝对值放缩和绝对值不等式，可
判断对错；
对B，根据折线距离的定义，写出
，利用基本（均值）不等式可判断对错；
对C：利用圆的参数方程，结合折线距离的定义，写出
，利用绝对值放缩和绝对值
不等式，结合三角函数的最值，可判断对错；
对D：利用抛物线的参数方程，，结合折线距离的定义，写出
，利用绝对值放缩和
绝对值不等式，结合二次函数的值域，可判断对错.
【详解】对A：设
，则
（当且仅当
时取“
”）.故A 错；
对B：设
，则
.则
，故B 对；
对C：设
，
，则
（当
且仅当
，
时取“
”）.故C 对；
对D：设
，
，则
（当且仅当
时取“
”）.
故D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“折线距离”的理解，根据新定义，写出折线
距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉
绝对值的符号再求相关最值.
（23-24 高二上·福建莆田·期中）
12．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两
个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究
精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现
的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研
究，假设
、
是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足
的动
点P 的轨迹为曲线C，从而得到以下4 个结论，其中正确结论的为（ ）
A．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．动点P 的横坐标的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】设
，由题设可得曲线C 为
，将
、
、
代入即可判断
；令
，由
在
上有
解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断
；由②分析可得
，进而求范围判断
；由基本不等式、余弦定理确定
范
围，再根据三角形面积公式求最值判断
.
【详解】令
，则
，
所以
，则
，
将
、
、
代入上述方程后，均有
，
所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，
正确；
令
，则
，
对于
，对称轴为
，
所以
在
上递增，要使
在
上有解，只需
，
所以
，即
，可得
，
正确；
由
，由
中，
，
所以
，其中负值舍去，
综上，
，又
，即
，
所以
，则
，
错误；
由
，仅当
时等号成立，
的面积
，
而
，所以
，
所以
的面积的最大值为，
正确.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：
,
通过换元
，构造
，利
用根的分布求P 的横坐标、
的取值范围.
13．已知两定点
，
（
），动点
与
、
的距离比
（
且
），那么点
的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
最小值为
D．若
满足点
的轨迹方程，则
【答案】ACD
【分析】设
,由
,得
,与
对比,可得
且
,求解即可判断A，B；对于C，
，
利用三角形三边关系定理即可判断；对于D，
等价于
，根据
的判别式的符号即可判定
【详解】设
,由
(
且
),得
所以
所以
又
的轨迹方程为
,
所以
且
,
解得
(舍去)或
,
所以
,所以
,所以
,故A 正确B 错误
对于C，
连接
交圆
于
当且仅当
、
、
三点共线时取等号，故C 正确
对于D，
的判别式
因为
满足
，故设
则
（其中
为第四象限角，
）
所以
所以
在
上恒成立
故D 正确
故选:ACD
（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）
14．到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点
，
动点
满足
，设
的轨迹为曲线
，则下列命题错误的是（ ）
A．曲线
过原点
B．
的横坐标最大值是2
C．
的纵坐标最大值是
D．
【答案】BC
【分析】对于A，由题求出
的轨迹方程，令
，计算
即可判断；对于
B，求出横坐标的取值范围，即可判断；对于C，化简方程可得
，
即可判断；对于D，令
，将
化为
，结合
构造函数，利用导数判断单调性，即可判断.
【详解】由题意知动点
满足
，
，
故
，
即
，
即
，则
，
对于A，当
时，
，即曲线
过原点，A 正确；
对于B，由
，得
，
则
，解得
，即
的横坐标最大值是
，B 错误；
对于C，因为
，
当且仅当
时取等号，即
的纵坐标最大值是1，C 错误；
对于D，若
，即
，
令
，则
，即
，
设
，
，
即
在
上单调递增，故
，即
成立，
故
成立，D 正确，
故选：BC
（2024·广东广州·二模）
15．双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，右顶点
到一条渐近线
的距离为2，右支上一动点
处的切线记为，则（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的离心率为
C．当
轴时，
D．过点
作
，垂足为
【答案】ACD
【分析】由题意求出b 的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求
出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出
，
K 为
的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得
，判断D.
【详解】对于A，由双曲线
可知
，右顶点
，
其渐近线方程为
，右顶点
到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线
，则
，解得
，
故双曲线
的渐近线方程为
，A 正确；
对于B，由于
，
故双曲线
的离心率为
，B 错误；
对于C，
，当
轴时，将
代入
中，
得
，即得
，
由于P 在双曲线右支上，故
，C 正确；
对于D，连接
并延长交
的延长线于E，
由题意知，
为
的角平分线，结合
，
可知
，K 为
的中点，而O 为
的中点，
故
，D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D 的判断，解
答时要结合题中所给性质，利用角平分线性质推出K 为
的中点，即可结合双曲线定义
求得答案.
（23-24 高二上·河北邯郸·期末）
16．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心
为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，左右
､
顶点分别为
，点
是椭圆上异于
的动点，点
是该椭圆的蒙日圆上的动点，则
下列说法正确的是（ ）
A．该椭圆的蒙日圆的方程为
B．存在点
使
的面积为25
C．使
的点
有四个
D．直线
的斜率之积
【答案】ACD
【分析】利用设直线方程，联立椭圆方程，结合判别式为0，求出蒙日圆方程判断A；求
出
的面积的最大值，即可判断B；判断以
为直径的圆与椭圆的交点个数，即可
判断C；设
，求出
的表达式，结合椭圆方程化简，求出其值，判断
D.
【详解】因为椭圆方程为
，故
，
当椭圆的两条互相垂直的切线，一条斜率不存在，另一条斜率为0 时，
切线分别经过长轴端点和短轴端点，此时切线的交点为
；
当椭圆的两条互相垂直的切线斜率均存在时，
设两切线交点为
，切点为
，切线方程设为
，
联立
，整理得
，
由于直线
与椭圆相切，
故
，
即
，
由于两切线的斜率即为该方程的两个根，即
，
又因为
，则
，即
，
此时两切线交点的轨迹方程为
，而
也适合该方程，
故该椭圆的蒙日圆的方程为
，A 正确；
当Q 点位于圆
与y 轴的交点处时，
取到最大值，
最大值为
,
即不存在点
使
的面积为25，B 错误；
由于
，故以
为直径的圆的方程为
，
而椭圆的短半轴长为
，故圆
与椭圆有四个交点，
正确；
由题意知
，设
，则
，故
，
故
，D 正确.
故选：ACD.
17．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆
的方程为：
，
为坐标
原点，点
，点
为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是 .
①卵圆
关于
轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线
对称
③线段
长度的取值范围是
④
的面积最大值为
【答案】①③④
【分析】利用点
和
均满足方程，即可判断①；设
和
都在卵圆
上，再解
即可判断②；利用两点间的距离公式表示
，然后利用导
数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出
，然后利用导数研究其
最值，即可判断④.
【详解】对于①，设
是卵圆
上的任意一个点，
因为
，所以点
也在卵圆
上，
又点
和点
关于
轴对称，
所以卵圆
关于
轴对称，故①正确；
对于②，设
在卵圆
上，
关于直线
对称的点
也在卵圆
上，
则
，解得
或
，
所以卵圆上存在
两点关于直线
对称，故②错误；
对于③，由
，得
，
所以
，又
，所以
，
设点
，
则
，
令
，
则
，
令
，则
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，
又
，
且
，
所以
，即
，
所以
，故③正确；
对于④，点
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
此时
的面积取得最大值，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解
新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数
学公式、定理、性质进行解答.
18．对于曲线
，若存在非负实常数
和
，使得曲线
上任意一点
有
成立（其中
为坐标原点），则称曲线
为既有外界又有内界的曲线，简称
“有界曲线”，并将最小的外界
成为曲线
的外确界，最大的内界
成为曲线
的内
确界．
（1）曲线
与曲线
是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确
界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线
上任意一点
到定点
，
的距离之积为常数
，
求曲线
的外确界与内确界．
【答案】（1）曲线
不是“有界曲线”，理由见解析；曲线
是“有界
曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
；当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
．
【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；
（2）由题意求出曲线
的方程，进一步得到
的范围
，把
转化为含
有
的代数式，分类讨论得答案．
【详解】（1）
的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值
为
，无最大值，
∴曲线
不是“有界曲线”；
∵曲线
的轨迹为以
为圆心，以
为半径的圆，如图：
由图可知曲线
上的点到原点距离的最小值为，最大值为，则曲线
是“有界曲线”，其外确界为，内确界为；
（2）由已知得：
，
整理得：
，
∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
则
，
∵
，
∴
，
即
，
当
时，
，则
，
∴
，则曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，
，则
，
∴
，则曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，
，则
，
∴
，则曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，
，则
，
∴
，则曲线
的外确界与内确界分别为
，
．
综上，当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
；
当
时，曲线
的外确界与内确界分别为
，
．
【点睛】本题考查了对新概念的理解和求最值的方法，考查了转化化归和分类讨论的思想，
属于难题.
19．如图，已知曲线
，曲线
，
是平面上一点，若存在过点
的直线与
都有公共点，则称
为“
型点”.
（1）证明：
的左焦点是“
型点”；
（2）设直线
与
有公共点，求证：
，进而证明原点不是“
型点”；
（3）求证：
内的点都不是“
型点”.
【答案】(1)
;(2)见解析;(3)见解析.
【详解】试题分析：（1）由题意
的左焦点为
，过
的直线
与
、
交于
，即可判定，得出直线方程；
（2）联立方程组
和
，根据方程有解，即可求解
的范围，从而判
断原点不是“
型点”；
（3）以
为边界的正方形区域记为
，分点
在
的边界上，和
是区域
内的点，两种情况分类讨论，进而说明
，联立方程组，得出
，得出直线与曲
线没有公共点，从而证得结论.
试题解析：
（1）
的左焦点为
，
过
的直线
与
交于
，与
交于
，故
的左焦点为
“
型点”，且直线可以为
；
（2）直线
与
有交点，则
，
若方程组有解，则必须
；
直线
与
有交点，则
，
若方程组有解，则必须
故直线
至多与曲线
和
中的一条有交点，即原点不是“
型点”
（3）以
为边界的正方形区域记为
.
1）若点
在
的边界上，则该边所在直线与
相切，与
有公共部分，即
边界上的点
都是“
型点”；
2）设
是区域
内的点，即
，
假设
是“
型点”，则存在过点
的直线
与
都有
公共点.
ⅰ)若直线与
有公共点，直线的方程化为
，假设
，则
，
可知直线在
之间，与
无公共点，这与“直线与
有公共点”矛盾，所
以得到：与
有公共点的直线的斜率
满足
.
ⅱ)假设与
也有公共点，则方程组
有实数解.
从方程组得
，
，由
，
因为
所以，
，即直线与
没有公共点，与“直线与
有公
共点”矛盾，于是可知
不是“
型点”.
证明完毕
另解：
令
，因为
，所以|
，即
.于是可知
的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是
，因为
，
所以
在区间
上为增函数，在
上为减函数.
因为
，
，所以
对任意
，都有
，即直线与
没有公共点，与“直线
与
有公共点”矛盾，于是可知
不是“
型点”.
证明完毕.
点睛：本题考查了双曲线的简单的几何性质，考查了点到直线的距离公式，直线与圆锥曲
线的关系，直线圆锥曲线联系在一起的综合题，试题有一定的难度，属于难题，主要涉及
到位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、
分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，平时注意总结和积累！
