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第 08 讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：两点分布................................................................................................................................2
题型二：n次独立重复试验.................................................................................................................4
题型三：二项分布................................................................................................................................5
题型四：超几何分布............................................................................................................................8
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用..................................................................................11
题型六：正态密度函数......................................................................................................................14
题型七：正态曲线的性质..................................................................................................................17
题型八：正态曲线概率的计算..........................................................................................................19
题型九：根据正态曲线的对称性求参数..........................................................................................20
题型十：正态分布的实际应用..........................................................................................................21
题型十一：标准正态分布的应用......................................................................................................24
02 重难创新练....................................................................................................................................28
03 真题实战练....................................................................................................................................45题型一：两点分布
1．（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量 满足 ， ，且 ， ．
若 ，则（ ）．
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【答案】B
【解析】由题知变量 ， 的分布列均为两点分布．变量 ， 的分布列如下：
0 1 0 1
则 ， ， ， ，
由 ，因为 ， ，
函数 在 上单调递增，所以 .
故选:B．
2．（2024·安徽·二模）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 ，现工厂为提高产品声誉，
要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 件该产品，且每 件
产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：
将产品每 个 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不
合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验
次或 次．设该工厂生产 件该产品，记每件产品的平均检验次 数为 ．
（1）求 的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 时，求使该方案最合理时 的值及 件该产品的平均检验次数．
【解析】（1） 由题， 的可能取值为 和，故 的分布列为
由 记 ，因为 ，
所以 在 上单调递增 ，
故 越小， 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
记
当 且取最小值时，该方案最合理，
因为 ， ，
所以 时平均检验次数最少，约为 次．
3．现有 人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案 ：先将这
人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这 人
未患该疾病的概率均为 ，是否患有该疾病相互独立．
(1)按照方案 化验，求这 人的总化验次数 的分布列；
(2)化验方案 ：先将这 人随机分成两组，每组 人，将每组的 人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，
则还需要对这 人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且 ，问方
案 和 中哪个化验总费用的数学期望更小？
【解析】（1）按照方案 化验，这10人的总化验次数 的可能取值为1,11.
， ，
的分布列为：
1 11
（2）设按照方案 化验，这10人的总化验次数为 ， 的可能取值为 ，
， ， ，
，由（1）知， ，
，
因为当 时， ，所以 .
所以方案 的化验总费用的数学期望更小.
题型二：n次独立重复试验
4．（2024·高三·河北·开学考试）某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命
中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 ．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手
得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为 ．
【答案】
【解析】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为
.
故答案为： .
5．某人通过某语言测试的概率为 ，若他连续测试3次（各次测试互不影响），则其中恰有1次通过的概
率为 ．
【答案】
【解析】用X某人通过语言测试的次数，则 ，
所以 ．
故答案为：
6．重复抛掷一枚质地均匀、点数为1到6的骰子，若抛掷5次恰好出现3次1点的概率为 ，则
．
【答案】250
【解析】依题意，每次出现1点的概率为 ，
则抛掷5次恰好出现3次1点的概率为 ，所以 .
故答案为：250
题型三：二项分布
7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互
错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小
球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．记格子从左到右
的编号分别为 ，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ，则 .
【答案】5
【解析】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子号码服从二项分
布，
且落入格子的号码即向右次数，即 ～ ，
所以 ，
由二项式系数的对称性可知当 时， 最大，即 最大，所以 ．
故答案为：5.
8．设随机变量 ，且 ，则 ；若 ，则 的方差为 ．
【答案】 /
【解析】(1) ,则 ，
则 ，解得
(2) ，由(1)得 ，则 ．
，则故答案为： ； ．
9．（2024·黑龙江大庆·一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定
并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就
提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和
饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用含糖饮料不低于500
毫升，这些学生的肥胖率为 ；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记 表示这三名学生中肥胖的人数，求 的分布列和数学期
望.
【解析】（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则 ，
设“学生的肥胖”为事件B，则 ，
由全概率公式可得 ，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为 .
（2）由题意可知： ，且 的可能取值为0，1，2，3，则有：
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
的期望 .
10．某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行
问卷调查，问卷调查的成绩 近似服从正态分布 ，且 .
(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；
(2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市
民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．【解析】（1）由问卷调查的成绩 近似服从正态分布 ，且 ，
则 ，于是 ，
所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人.
（2）由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为 ，
的可能取值为 ， ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望为 .
11．（2024·高三·陕西·开学考试）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运
动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为 ．
(1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为 ，求 的最大值及最大值点 ；
(2)若 ，记质点从原点0运动到n的位置的概率为 ．
（i）求 ；
（ii）证明： 是等比数列，并求 ．
【解析】（1）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，
，
，
令 得 ，令 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，此时 ．（2）（i） ，
则 ．
（ii）证明：由题意， ，
，
是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，
．
题型四：超几何分布
12．设随机变量X服从正态分布 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /0.125
【解析】由题意可知，正态曲线关于 对称，所以 ，
所以 ，
因为 ，得 ，
得 ，等号成立时， ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
13．口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 .
【答案】 /
【解析】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则 ，
，
，
所以随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2
P
所以数学期望 .
故答案为： .
14．（2024·高三·陕西安康·开学考试）某农场收获的苹果按 三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱
数非常多，且 三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这
10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望．
【解析】（1）设事件 “至少选到2箱 级苹果”，
由题意知选到1箱 级苹果的概率为 ，选到1箱非 级苹果的概率为 ，
所以 ，
故至少选到2箱A级苹果的概率为 .
（2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱， 级苹果共有4箱，
随机变量 的所有可能取值为 ,
则 ，，
，
所以X的分布列为
0 1 2 3
.
15．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解
人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，
如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的
概率为 .
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以
表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为 ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为 ，求 的值．
【解析】（1）由题可知 的所有取值为2，3，4，且 服从超几何分布，
， ， ，
故 的分布列为：
2 3 4
则 ．
（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采
纳”为事件 ，
由已知得， ， ， ， ， ，
所以由全概率公式得 ，
解得 ．16．（2024·高三·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培
训的次数统计如下表所示：
培训次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简
分数表示）；
(2)从这40名学生中任选2名，用 表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量 的期望（结果
用最简分数表示）．
【解析】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率 ；
（2）由题意知 可能取值为0、1、2，
，
，
，
则随机变量 的分布为 ，
所以 的期望 ．
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
17．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生
产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的
列联表：
不合
产品 合格 合计
格
调试
45 15 60
前调试
35 5 40
后
合计 80 20 100
(1)根据表中数据，依据 的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产
品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为
，求使事件“ ”的概率最大时 的取值.
参考公式及数据： ，其中 .
0.025 0.01 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）零假设为 ：假设依据 的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则 ，
故依据 的独立性检验，没有充分证据说明零假设 不成立，
因此可认为 成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有 件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数 的可能值有 .
则 .
故 的分布列为：
1 2 3
则 ；
（3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为 ，故 ，
则由 ，
故由 可解得 ，
因 ，故当 时， 单调递增；
由 可解得 ，即当 时， 单调递减.
故当事件“ ”的概率最大时， .
18．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广
州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、
无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、
重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随
机变量X的分布列和期望；
(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E
（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【解析】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为 .
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，
X所有可能的取值为： .
； ；
； .
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（3）
理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量 ， ，所以 .
19．在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小､形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次
从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量 为小张摸出白球的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求 和 ；
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求 的分布列.
【解析】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量 ，
所以 ， .
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量 服从超几何分布，
则 ，
可得 ，
所以 的分布列为
2 3 4
题型六：正态密度函数
20．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件 ，且 服从标准正态分布．设函数
，则 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 或 ，因为 ，
所以 或 ，即 或 ，
或 或
因为 服从标准正态分布，所以根据对称性可知 ，所以函数 关于 对称，故排除
AC；
当 时， ， ，所以 或 ,
因为 ，其中 ， ， ，根据 原则可知，
，所以排除B；
故选：D
21．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分
析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布， ．X和Y的
分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A中，随机变量 服从正态分布，且 ，
可得随机变量 的方差为 ，即 ，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量 ，
所以 ，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得 时，随机变量 对应的曲线与 围成的面积小于
时随机变量 对应的曲线与 围成的面积，
所以 ，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得 ， ，
即 ，所以D错误.
故选：C.
22．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 ， ，其相应的分布密度曲
线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为 ， ）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】A
【解析】由题图可知甲图象关于直线 对称，乙图象关于直线 对称，
所以 ， ， ，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”， 越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为 ，即 ，所以 ，故D错误．
故选：A．
23．已知三个正态密度函数 （ ， ）的图像如图所示，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，【答案】C
【解析】由题图中 的对称轴知： ，
与 (一样)瘦高，而 胖矮，
所以 .
故选：C
24．设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，两曲线分别关于 对称，
所以由图可知， ，所以A错误，
因为 的分布曲线“高瘦”， 的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以 ， ，
所以C错误，D正确，
故选：D
题型七：正态曲线的性质
25．一个正态分布的概率密度函数图像与x轴所夹部分的面积为 ．
【答案】1
【解析】一个正态分布的概率密度函数图像与x轴所夹部分的面积为1．
故答案为：1
26．某批零件的尺寸 服从正态分布 ，且满足 ，零件的尺寸与8的误差不超过2即
合格，从这批产品中抽取 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.8，则 的最小值为
.
【答案】4【解析】因 服从正态分布 ，且 ，则
，即每个零件合格的概率为 ，
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为
，
依题意， ，即 ，
令 ，则有 ，即 单调递减，
而 ，因此不等式 的解集为 ，
所以 的最小值为4.
故答案为：4
27．甲乙两名射击运动员进行射击训练．已知两名运动员射击的弹落点相对于靶心的左右偏差 ， 都
近似服从正态分布， ， ．如图为 ， 的密度曲线，则甲乙二人中，成绩更
稳定的是 ．
【答案】乙
【解析】由图知： ，所以乙的成绩更稳定．
故答案为：乙
28．（2024·全国·模拟预测）设随机变量 ，向量 与向量 的夹角为锐角的概率是
0.5，则 的值是 ．
【答案】2
【解析】已知向量 与向量 的夹角为锐角，
则 ，解得 ，
且向量 不能同向共线，
当 时，可得 ，解得 ，
所以 ，不是同向共线，即 ，又向量 与向量 的夹角为锐角的概率是 ，
则 ，则 ，
故答案为：2.
题型八：正态曲线概率的计算
29．某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指
标 服从正态分布 ，其中 的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可
用产品”的概率约为 ．
参考数据：若 ，则 ， ，
．
【答案】0.84/
【解析】由题意知，该产品服从 ，则 ，
所以
，
又 ，
，
所以 ，
所以 ，
即 .
所以抽到“可用产品”的概率为 .
故答案为：0.84.
30．在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ．若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】由题知 ，所以 .
故答案为： .
31．二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若
随机变量 ，当 充分大时， 可以用服从正态分布的随机变量 近似代替，其中 的期望值和方差相同，一般情况下当 时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯
极限定理.如果随机抛一枚硬币 次，设正面向上的概率为 ，则“正面向上的次数大于50、小于60”的
概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若 ，则 ，
，
【答案】
【解析】由题意得随机抛一枚硬币 次，设正面向上的概率为 ，
同时设正面向上的次数为 ，则 ，
所以 ， ，
此时符合 ，故有 ，
且 ， ，设所求概率为 ，
因为 ，
所以由正态分布对称性得 .
故答案为：
题型九：根据正态曲线的对称性求参数
32．已知 ，若 ，则 ．
【答案】1
【解析】因为 ，且 ，所以 ．
故答案为：
33．（2024·上海青浦·二模）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则实数
．
【答案】
【解析】由正态分布的对称性，得 ，所以 .
故答案为：
34．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知随机变量 ，若 ，则 的取值范
围是 .
【答案】【解析】因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
35．（2024·高三·河南·开学考试）已知随机变量 ，若 ，则实数
的值为 ．
【答案】1
【解析】由正态分布的性质可知 ，解得 ．
故答案为：1.
题型十：正态分布的实际应用
36．（2024·山东日照·三模）电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对
受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅
速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防电
信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.
(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数 近似服从正态分布 ，若某同学成绩满足 ，
则该同学被评为“反诈标兵”；若 ，则该同学被评为“反诈达人”.
（i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
（ii）若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数（四舍五入后取
整）.
(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样
本估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为 ，求 的
分布列及数学期望 .
参考数据：若 ，则 ， ，
【解析】（1）（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数 近似服从正态分布
可得 ， ，因为 ，则该同学能被评为“反诈标兵”.
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为 ，“反诈达人”的概率为：
则 ，解得 ，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为 人.（2）由题意知，男生了解“反诈”知识的概率为 ，女生了解“反诈”知识的概率为 ，
随机变量 的所有可能取值为 ，
可得
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以，期望为 .
37．（2024·福建福州·模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差 服从正态分布 ，规定
的零件为优等品， 的零件为合格品．
(1)从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；
(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个
作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优
等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零
件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）．
（附：若随机变量 ，则 ， ，
）
【解析】（1）依题意得， ， ，
所以零件为合格品的概率为 ，
零件为优等品的概率为 ，所以零件为合格品但非优等品的概率为 ，
所以从该生产线上随机抽取100个零件，
估计抽到合格品但非优等品的个数为 ．
（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件 ，恰有1个优等品，1个为合格
品但非优等品为事件 ，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件 ，这批产品通过检测为事件 ，
则 ，且 与 互斥，
所以
，
所以这批零件通过检测时，
检测了2个零件的概率为 ．
答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．
38．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，
才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频
率分布直方图，如图所示.
(1)若所有考生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ，试利
用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0
分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为
，后两题每题能答对的概率均为 ，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20
分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大?
附：若随机变量X服从正态分布 ，则： ，
.
【解析】（1）由题意得，样本平均数的估计值为
，
因为学生初试成绩 服从正态分布 ，其中 则 ，所以 ，
所以估计初试成绩不低于85分的人数为 人.
（2）记该考生的复试成绩为 ，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分，
，
，
，
所以该考生进入面试的概率为 .
题型十一：标准正态分布的应用
39．（2024·四川成都·三模）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月
份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了
解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，
并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组数据区间的
中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数
， 近似为样本方差 .一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
，令 ，则 ，且 ．(i)利用直方图得到的正态分布，求 ；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求
(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据： ， ， ， ， .若
，则 ， ， .
【解析】（1） ，
．
（2）(i)由题意并结合(1)可知， ， ，
∴ ，∴ ．
(ii)由(ⅰ)可知， ，
∴ ，
∴ ， ．
40．（2024·安徽合肥·二模）为了解 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并
随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 ；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩 近似服从正态分布 （ ， 约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 ，据此估计本次检测成绩达到
升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知 市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多
少名？
（说明： 表示 的概率， 用来将非标准正态分布化为标准正态分布，
即 ，从而利用标准正态分布表 ，求 时的概率 ，这里 ,相应于 的值 是指总体取值小于 的概率，即 .参考数据： ， ，
）.
【解析】（1）用每一个小矩形的中点值代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．
（2）①设理科数学成绩约为 ，由题意得 ，根据参考数据可得
，故 ，解得 即为所求．
②先求得 ，故可得估计名次为 名．
试题解析：
（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 ，
根据题意， ，
即 .
由 ，得
解得 ，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
② ，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在 名．
41．（2024·河南平顶山·二模）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7
月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了
了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小
时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据用该组区间的中
间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 服从正态分布 ，其中 近似为样本平
均数 ， 近似为样本方差 ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
，令 ，则 ，且 ．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 ；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求
（结果精确到0.001）以及 的数学期望．
参考数据： ， ．若 ，则 ．
【解析】（1） ．
．
（2）（ⅰ）由题知 ， ，所以 ， ．
所以 ．
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，可得 ．
．
故 的数学期望 ．1．（2024·高三·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但
相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，
小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到
右分别编号为 用 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 “向右下落”，则 “向左下落”， ，
因为小球最后落入格子的号码 等于事件 发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以 ，
对于A： ，故A正确；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C正确；
对于D： ，故D正确；
故选：B．
2．在“最强大脑”的双英对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲挑战成功的概率 ，乙挑战成功的概是 ，甲、乙均未
挑战成功的概率 ，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记甲挑战成功为事件A，乙挑战成功为事件B，
则 ， ， ，
由概率加法公式知 ，
可得 ，
则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为 ．
故选：B．
3．巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量 ，且 .记一天中旅客人数不少于26万
人的概率为 ，则 的值约为（ ）
（参考数据：若 ，有 ， ，
）
A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ， ，
，
根据正态曲线的对称性可得，
.
故选：A.
4．若随机变量 ，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】对于A选项，变量 ，这里 ，所以 ，A选项正确.
对于B选项，因为正态分布图象关于 对称， .
根据正态分布的对称性， ，B选项正确.
对于C选项，若 ，则 .对于 ，
根据期望的性质 .所以 ，C选项正确.
对于D选项，若 ，则 ，对于 ，
根据方差的性质 .所以 ， D选项错误.
故选：D.
5．（2024·高三·湖北·开学考试）已知随机变量 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】根据正态分布的知识得 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时取等.
故选：D
6．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽
中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现
自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
【解析】设中奖的概率为 ，30天中奖的天数为 ，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为 ，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
7．（2024·四川成都·模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同样大小的白球，
编号为 ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】B
【解析】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码
不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；
对于②，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何
分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为 ，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为 ，故④正确．
故选：B
8．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量 服从二项分布
C．随机变量 服从超几何分布 D．
【答案】C
【解析】由题意知随机变量 服从超几何分布，故B错误，C正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则 ， ，
， ， ，
，
故A，D错误．
故选：C．
9．（多选题）设 为离散型随机变量，下列说法正确的是（ ）
A．若 等可能取 ，且 ，则
B．若 的概率分布为 ，则
C．若 服从两点分布，且 ，则成功概率
D． 的方差可以用期望表示为 .
【答案】CD
【解析】对于选项A，法1，由古典概率公式得 ，得到 ，法2，由已知得： 的分布列为
，
得到 ，则 ，所以选项A错误；
对于选项B，因为 ，所以 ，所以选项B错误；
对于选项 ，根据题意可得 ，又因为 ，联立即可解得
，
所以选项C正确；
对于选项D，设 的分布列为则 ，
，
所以选项D正确.
10．（多选题）（2024·高三·四川绵阳·开学考试）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为 、 、
，现采用分层抽样的方法从中抽取 人，进行某项兴趣调查．已知抽出的 人中有 人对此感兴趣，有
人不感兴趣，现从这 人中随机抽取 人做进一步的深入访谈，用 表示抽取的 人中感兴趣的学生人数，
则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 人、 人、 人
B．随机变量
C．随机变量 的数学期望为
D．若事件 “抽取的3人都感兴趣”，则
【答案】ACD
【解析】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取 人，则
，
所以 ， ， ，
所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为 人、 人、 人，A正确；
随机变量 的取值有 ， ， ，
， ， ，
所以随机变量 的分布列为
所以B错误；
由期望公式可得随机变量 的数学期望 ，C正确；
因为 ，所以D正确.
故选：ACD.11．（多选题）已知 ，且 ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，得 ，则 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，则 ，B错误；
对于C，由 ，得 ，故
，C错误；
对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.
故选：BC
12．（2024·广东汕头·三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、
历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考
生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，
13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化
学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分
布 ．若 ，令 ，则 ．请解决下列问题：若以此次高一学生化学
学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为 分（结果保留1
位小数）
附：若 ， ．
【答案】59.9
【解析】因为 ，由 可得 ，又 ，
根据正态分布的对称性可知 ，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
13．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为 ， ， ，现要求三人各射击一次，假设每人射击相互独立，
则至少有一人命中的概率为 ；记三人命中总次数为 ，则 ．3
【答案】 /1.5
2
【解析】由题意得，至少有一人命中的概率 ，
由题意得的可能取值为
，
，
，
，
．
故答案为： ； ．
14．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率
为 ，若记取出3个球中黑球的个数为 ，则 ．
【答案】 /0.36
【解析】设黑球的个数为 ，由 得 ，
记取出3个球中黑球的个数为 ， 的取值可以为1，2，3；
， ， ，
则 分布列如下：
1 2 3
所以 ，
则 ．
故答案为： .
15．一个口袋里装有大小相同的 个小球，其中红色 个，其余 个颜色各不相同，现从中任意取出 个小球，设变量 为取出的 个小球中红球的个数，则 的数学期望 .
【答案】
【解析】由题意知： 所有可能的取值为 ，
则 ， ， ，
.
故答案为： .
16．（2024·山东泰安·模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按 个蓝莓果重量 （克）分为 级： 的为
级， 的为 级， 的为 级， 的为 级， 的为废果．将 级与 级果称
为优等果．已知蓝莓果重量 服从正态分布 ．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出 个蓝
莓果．记每次抽到优等果的概率为 （可精确到 ）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽
出优等果，但抽查次数最多不超过 次，若抽查次数 的期望值不超过 ， 的最大值为 ．
附： ， ，
【答案】4
【解析】因为蓝莓果重量 服从正态分布 其中 ，
，
设第 次抽到优等果的概率 （ ），
恰好抽取 次的概率 ，所以 ，
设 ，则 ，
两式相减得： ，
所以 ，
由 ，即 ， 的最大值为 ．
故答案为： ．
17．（2024·辽宁大连·一模）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)设随机变量 服从二项分布 ，记 则当 时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间 的概率不低于 ，求该同学至少要投多少次.
附: 若 ，则 ， .
【解析】（1）该同学投篮了四次，设 分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”.
则有 .
（2）随机变量 代表 次投篮后命中的次数，则 服从二项分布 ，
然后令随机变量 ，并近似视为其服从正态分布 .
题目条件即为 ，即 的概率至少为 .
由于我们有 ，
故命题等价于 ，解得 .
综上，该同学至少要投 次.
18．（2024·山东潍坊·模拟预测）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12
个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球 已知这种球的质量指标 （单位：
g）服从正态分布 ，其中 ， .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比
赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球
队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名
分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排
球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为 .
(1)令 ，则 ，且 ，求 ，并证明： ；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为 ，求出 的最大值点 ，并以 作为 的值，
解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后
一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据： ，则 ， ，
.
【解析】（1） ，又 ，所以 .
因为 ，根据正态曲线对称性， ，
又因为 ，所以 .
（2） ，
.
令 ，得 .
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
所以 的最大值点 ，从而 .
（ⅰ） 的可能取值为3，2，1，0.
， ，
， ，
所以 的分布列为
3 2 1 0
（ⅱ）若 ，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分， ，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为 .
19．（2024·广西·模拟预测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给
定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为 ．已知某系统由一个电源和并联的A，
B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，
电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布 ，且X的积累分布函数为F(x)，求 ；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表
示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为 ．设 ，证
明： ；
附：若随机变量Y服从正态分布 ，则 ， ，
．
【解析】（1）由题设得 ，
所以
.
（2）由题设得：
，
所以 ．
20．（2024·广东佛山·模拟预测）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别
放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把
四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1
分．
(1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8
分的概率均为 （ ），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值；
(2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数
学期望．
【解析】（1）设连续三次测试结果为良好的概率为 ，依题意得 ， ，
，令 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取最大值为 ；
（2）某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，
卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，
对应的 的所有可能取值为8，2， ， ．
则 ， ，
， ，
（或 ，
所以 的分布列为：
8 2
数学期望为 ．
21．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0
出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动 次后质点位于位置 ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．
【解析】（1）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为 ，则 ，
所以 ．
（2）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为 ，则 ，且 ，
而 ，
所以 .
（3）设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为 ，则 ，
所以 ，
若n为偶数， 中间的一项 取得最大值，即 概率最大，此时 ，
所以质点最有可能位于位置0，
若n为奇数， 中间的两项 ， 取得最大值，即 或 概率最大，
此时 或 ，所以质点最有可能位于位置1或 ．
22．第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是
历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.
为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会
知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，
决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛.
(1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即
终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为 ，且回答
各题的结果相互独立；
（i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率；
（ii）设甲在初赛中答题的道数为 ，求 的分布列和数学期望.
(2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学
生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为 ，3道题全答对的概率为 ，且
回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为 ，求 的最小值.
【解析】（1）（i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为 ，
甲回答了5道题进入决赛的概率为 ，
所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为 .（ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7，
则 ，
，
，
，
所以X的分布列为
X 4 5 6 7
P
则 .
（2）设乙答对第3道题的概率为y，则 ，
所以
， ，
则
，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
23．（2024·江西南昌·模拟预测）南昌二中一直有个优秀的传统“毕业学习经验分享会”：每届高考结束
后，各班推荐优秀学生代表与下一届学生进行学习经验分享.2024届高三年级班号依次为0，1，2，…，
27，高三0班推荐2名男生和2名女生，其余各班均推荐1名男生和1名女生参加分享会；第一场分享会
的4名学生嘉宾是从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同形成，第
二场分享会的4名学生嘉宾是从上一场4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同形成，
…，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会.(1)求在第一场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(2)求在第二场分享会学生嘉宾中有2名男生的概率；
(3)记在第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数为 ，求 的分布列和期望.
【解析】（1）设第 场分享会学生嘉宾中有1名男生为事件 ，有2名男生为事件 ，有3
名男生为事件 ，则 ；
（2）
；
（3）当 时，
，
，
，
由 ，
故
，
即有 ，又 ，则 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 ，即 ，
结合对称性可知，每次分享会学生嘉宾中有1名男生的概率与3名男生的概率相同，
故 ，又 ，故有 ，
第二十七场分享会学生嘉宾中男生人数 的可能取值为 、 、 ，
，
，
，
则其分布列为：
则 .
24．（2024·四川成都·模拟预测）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出 条鱼，
在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数
目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数 ．已知 ，设第二次捞出的 条鱼中身上有标记的鱼的数目为
随机变量 ．
(1)若已知 ， ．
①求 的均值；
②是否有 的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于 ）？
(2)若 ，其中身上有标记的鱼有 条，估计池塘中鱼的总数（将使 最大的 作为估计值）．
参考数据： ， ， ， ．
【解析】（1）①由题意可知 服从超几何分布，
则 ．
②由于 ，而 ，
从而 ，
因此 ， ，所以没有 的把握认为能捞出身上有标记的鱼．
（2）由题意， 且 ．只需求使得 最大的 ．
由于 ， ，
从而
因此，当 时， ，当 时， ．
所以，当 时， 最大．
综上所述， 的估计值为 ．
1．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，
则 ．
【答案】 / ．
【解析】因为 ，所以 ，因此
．
故答案为： ．
2．（2021年天津高考数学试题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，
则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、
乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，
甲至少获胜2次的概率为 ．
【答案】【解析】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .
故答案为： ； .
3．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷Ⅱ））从装有3个红球，2个白球的袋中随机
取出2个球，设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布为： ．
0 1 2
【答案】见解析
【解析】根据题意由等可能事件的概率计算公式可知：
，
故答案为：
0 1 2
4．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学
生的竞赛成绩近似服从正态分布 ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．
(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
【解析】（1）设参赛学生的分数为 ，
，
由条件知
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体复赛人数的 .
参赛总人数约为 人.
（2）假定设奖的分数线为 分，则
，
查表得 ，
解得： ，
故设奖的分数线约为83.1 .
5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））为了监控某种零件的一条
生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期
生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ，其中xi为抽取的第i个零件
的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，
一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
6．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件 发生的概率.
【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
7．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））厂家在产品出厂前，需对产品做检验，
厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概
率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2
件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求
该商家拒收这些产品的概率．
【解析】（1）记“厂家任取 件产品检验，其中至少有 件事合格品”为事件A
用A的对立事件来算，有 ；
（2）设商家检验出不合格产品的件数为 ，则 的可能取值为0,1,2，
，
，
，
所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为 、 ；
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件 ，
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为 .
8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））在心理学研究中，常采用对比
试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受
甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理
暗示的作用，现有6名男志愿者A，A，A，A，A，A 和4名女志愿者B，B，B，B，从中随机抽取5
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含 的概率．
1
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【解析】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，计算即得
(II)由题意知X可取的值为： .利用超几何分布概率计算公式
得X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含 的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为： .则
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是
=
