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进阶3 与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
题型一 与角度、斜率有关的范围(最值)问题
例1 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2.
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足⃗PQ＝9⃗QF，求直线OQ 斜率的最大值.
解 (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(
p
2 ，0)，准线方程为x＝－p
2 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为
p
2 －(- p
2)＝p＝2，
∴抛物线C 的方程为y2＝4x.
(2)方法一 设Q(x0，y0)，
则⃗PQ＝9⃗QF＝(9－9x0，－9y0)，
∴P(10x0－9，10y0)，
由P 在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，
即x0＝25 y0
2＋9
10
>0，
∴直线OQ 的斜率kOQ＝
y0
x0
＝
y0
25 y0
2＋9
10
＝
10 y0
25 y0
2＋9，
当y0＝0 时，kOQ＝0；
当y0≠0 时，kOQ＝
10
25 y0＋9
y0
，
当y0>0 时，∵25y0＋9
y0
≥2√
25 y0· 9
y0
＝30，
此时0<kOQ≤1
3，当且仅当25y0＝9
y0
，即y0＝3
5时，等号成立；
当y0<0 时，kOQ<0，
综上，直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程为y2＝2
5x－9
25.
设直线OQ 的方程为y＝kx，则当直线OQ 与抛物线y2＝2
5x－9
25相切时，其斜率k 取到最值，
联立{
y ＝kx ,
y
2＝2
5 x - 9
25 ,得k2x2－2
5x＋9
25＝0，
则Δ＝(- 2
5)
2
－4k2× 9
25＝0，
解得k＝±1
3，
∴直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法三 (轨迹方程＋换元求最值法)
同方法一得点Q 的轨迹方程为y2＝2
5x－9
25.
设直线OQ 的斜率为k，Q(x，y)，
则k2＝(
y
x)
2
＝2
5 x －
9
25 x
2.
令1
x ＝t(0<t ≤10
9 )，
则k2＝－9
25t2＋2
5t 的对称轴为t＝5
9，
∴0≤k2≤1
9，－1
3≤k≤1
3.
故直线OQ 斜率的最大值为1
3.
方法四 由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，⃗PQ＝9⃗QF，
∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)，
于是{
x - 4 t
2＝9(1- x),
y - 4 t ＝-9 y ,
∴{
10 x＝4t
2＋9,
10 y ＝4t ,
则直线OQ 的斜率为k＝y
x ＝
4t
4t
2＋9，
当t＝0 时，k＝0；
当t>0 时，k＝
4
4 t ＋9
t
≤
4
2√4 t· 9
t
＝1
3，
当且仅当4t＝9
t ，即t＝3
2时等号成立，
综上，直线OQ 斜率的最大值为1
3.
思维升华 求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或
者函数求解有关的问题.
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
离心率为2，P 是E 的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E 的方程；
(2)若E 的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l 与E 的右支交于M，N 两点，直线AM 和BN 的斜率
分别为kAM和kBN，求k AM
2 ＋2
3kBN的最小值.
解 (1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵S△P F1 F2＝1
2|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由题可知|PF1|－|PF2|＝2a，
|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
即4c2－12＝4a2，∴b2＝3.又c
a＝2，∴a2＝1.
故E 的方程为x2－y
2
3 ＝1.
(2)如图，由题可知F2(2，0)，
A(－1，0)，B(1，0)，且直线MN 的斜率不为0，
设直线MN 的方程为x＝ty＋2(- √3
3 <t < √3
3 )，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立{
x＝ty ＋2,
x
2- y
2
3 ＝1,
得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－12t
3t
2-1，y1y2＝
9
3t
2-1.
∵kAM＝
y1
x1＋1，kBN＝
y2
x2-1，
∴
k AM
k BN
＝y1( x2-1)
y2( x1＋1) ＝y1(t y2＋1)
y2(t y1＋3)
＝
t y1 y2＋y1
t y1 y2＋3 y2
＝
-3t
3t
2-1
- y2
9t
3t
2-1
＋3 y2
＝－1
3，
∴kBN＝－3kAM，
∴k AM
2 ＋2
3kBN＝(kAM－1)2－1，
∵直线AM 与E 的右支有交点，
∴－√3<kAM<√3，
∴当kAM＝1，kBN＝－3 时，k AM
2 ＋2
3kBN取得最小值，且最小值为－1.
题型二 与参数、向量有关的范围(最值)问题
例2 已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的离心率为√2
2 ，以坐标原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径
的圆与直线x－y＋√2＝0 相切.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C 相交于A，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足⃗OA ＋⃗OB＝t⃗OP
(t∈R)，当|⃗PA －⃗PB|<2√5
3 时，求实数t 的取值范围.
解 (1)由题意可知，短半轴长b＝|0-0＋√2|
√1
2＋(-1)
2 ＝1，
因为e＝c
a ＝√2
2 ，则e2＝c
2
a
2 ＝a
2-b
2
a
2
＝1
2，
即a2＝2b2＝2，
所以椭圆C 的方程为x
2
2 ＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，
设直线AB 为y＝k(x－2)，
联立方程{
y ＝k( x -2),
x
2
2 ＋y
2＝1,
消去y 得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得k2<1
2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1＋x2＝
8k
2
1＋2k
2，x1x2＝8k
2-2
1＋2k
2，
因为⃗OA ＋⃗OB＝t⃗OP，
则(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0，
可得x＝
x1＋x2
t
＝
8k
2
t(1＋2k
2)，
y＝y1＋y2
t
＝1
t [k(x1＋x2)－4k]＝- 4 k
t(1＋2k
2)，
且点P 在椭圆上，
则
(8k
2)
2
t
2(1＋2k
2)
2 ＋
2(- 4 k )
2
t
2(1＋2k
2)
2＝2，
整理得16k2＝t2(1＋2k2)，
又因为|⃗PA －⃗PB|＝|⃗BA|<2√5
3 ，
则√1＋k
2|x1－x2|<2√5
3
，
可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<20
9 ，
即(1＋k2)[
64 k
4
(1＋2k
2)
2 - 4× 8k
2-2
1＋2k
2]<20
9 ，
整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>1
4 ，
所以1
4 <k2<1
2，
且16k2＝t2(1＋2k2)，
可得t2＝16 k
2
1＋2k
2＝8－
8
1＋2k
2∈(
8
3 ，4)，
解得－2<t<－2√6
3
或2√6
3
<t<2，
所以实数t 的取值范围为(-2，- 2√6
3 )∪(
2√6
3
，2).
思维升华 含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、
函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关
量的范围(最值).
跟踪训练2 在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2，焦距为2，且与双曲线x
2
2 －y2＝1 共顶点.P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若⃗F1 P＝λ⃗Q F1，且λ∈[
1
2 ，2]，求⃗OP·⃗OQ的最大值.
解 (1)双曲线x
2
2 －y2＝1 的顶点坐标为(±√2，0)，故a2＝2，
由题意得c＝1，故b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故椭圆C 的方程为x
2
2 ＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则⃗F1 P＝(x1＋1，y1)，⃗Q F1＝(－1－x2，－y2)，
因为⃗F1 P＝λ⃗Q F1，λ∈[
1
2 ，2]，
所以{
x1＋1＝λ(-1- x2),
y1＝- λ y2,
即{
x1＝- λ - λ x2-1,
y1＝- λ y2,
所以{
(- λ - λ x2-1)
2
2
＋λ
2 y2
2＝1,
x2
2
2 ＋y2
2＝1,
解得x2＝1-3 λ
2 λ
，
所以⃗OP·⃗OQ＝x1x2＋y1y2
＝(－λx2－λ－1)x2－λy2
2＝－λ
2 x2
2－(1＋λ)x2－λ
＝－λ
2(
1-3 λ
2 λ )
2
－(1＋λ)·1-3 λ
2 λ
－λ
＝7
4 －5
8(λ＋1
λ)，
因为λ∈[
1
2 ，2]，
所以λ＋1
λ ≥2，当且仅当λ＝1
λ ，
即λ＝1 时，取等号，
故⃗OP·⃗OQ的最大值为1
2.
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)已知椭圆C：x
2
4 ＋y2＝1.
(1)若椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，P 为C 的上顶点，求△PF1F2的周长；(6 分)
(2)设过定点M(0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A，B，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直
线l 的斜率k 的取值范围.(11 分)
解 (1)由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝√a
2-b
2＝√3，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2√3.
(2)显然当直线l 的斜率k 不存在时，直线x＝0 不满足题意，设直线l 的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由{
y ＝kx ＋2,
x
2
4 ＋y
2＝1,得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>3
4 ，
则x1＋x2＝－
16 k
4 k
2＋1，x1x2＝
12
4 k
2＋1，
y1y2＝(k x1＋2)(k x2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
因为∠AOB 为锐角，A，O，B 不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以⃗OA·⃗OB>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k
2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝12(k
2＋1)
4 k
2＋1
－16k·2k
4 k
2＋1
＋4
＝4(4 -k
2)
4 k
2＋1
>0，
解得0<k2<4，因为k2>3
4 ，
解得－2<k<－√3
2 或√3
2 <k<2，
所以实数k 的取值范围为(-2，- √3
2 )∪(
√3
2 ，2).
2.(17 分)双曲线C：y
2
a
2 －x
2
b
2＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂
直于y 轴的直线l 交双曲线于点P(P 在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的
周长为n，|m－n|＝4.
(1)若C 的一条渐近线方程为y＝√2x，求C 的标准方程；(6 分)
(2)已知动直线l'与C 相切于点T，过点T 且与l'垂直的直线分别交x 轴、y 轴于M，N 两点，Q 为线段MN
上一点，⃗MQ＝λ⃗MN，λ∈(0，1).若||QF2|－|QF1||为定值，求λb 的最大值.(11 分)
解 (1)如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
图1
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝√2x，
则a
b ＝√2，即b＝√2，
所以双曲线C 的标准方程为y
2
4 －x
2
2 ＝1.
(2)由(1)知a＝2，则双曲线C 的方程为y
2
4 －x
2
b
2＝1，如图2，
图2
设T(x0，y0)，过T 的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由{
b
2 y
2- 4 x
2＝4 b
2,
y ＝kx ＋m
消去y 得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋x0
2)k2－2x0y0k＋y0
2－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝
x0 y0
b
2＋x0
2，
而y0
2
4 －x0
2
b
2＝1，于是k＝
4 x0
b
2 y0
，
过点T 且与l'垂直的直线的斜率为－b
2 y0
4 x0
，
方程为y－y0＝－b
2 y0
4 x0
(x－x0)，
令y＝0，得x＝(b
2＋4)x0
b
2
，
即M(
(b
2＋4)x0
b
2
，0)，
令x＝0，得y＝(b
2＋4) y0
4
，
即N(0，(b
2＋4) y0
4
)，
设Q(x，y)，由⃗MQ＝λ⃗MN，λ∈(0，1)，
得{
x＝(1- λ)(b
2＋4)
b
2
x0,
y ＝λ(b
2＋4)
4
y0,
即{
x0＝
b
2
(1- λ)(b
2＋4)
x ,
y0＝
4
λ(b
2＋4)
y ,
代入y0
2
4 －x0
2
b
2＝1，
得
y
2
λ
2(b
2＋4)
2
4
－
x
2
(1- λ)
2(b
2＋4)
2
b
2
＝1，
依题意，该双曲线与双曲线y
2
4 －x
2
b
2＝1 共焦点，
则λ
2(b
2＋4)
2
4
＋(1- λ)
2(b
2＋4)
2
b
2
＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝
4
b
2＋4 ∈(0，1)，
λb＝
4 b
b
2＋4 ≤
4 b
2√b
2·4
＝1，
当且仅当b＝2，λ＝1
2时取等号，
所以λb 的最大值为1.
