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进阶5 解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线
斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一
个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤
数量积为定值；⑥系数和为定值.
题型一 与斜率、角度有关的定值问题
例1 已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点.
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)已知点T(t，0)，若E 上存在一点P，使得⃗PO·⃗PT=-1，求t 的取值范围；
(3)过M(-4，0)的直线交E 于A，B 两点，过N(-4，4√3)的直线交E 于A，C 两点，B，C 位于x 轴的同侧，
证明：∠BOC 为定值.
思维升华 解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
跟踪训练1 (2025·邯郸模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(-2，0)，B(2，
0)，离心率为√7
2 .过点(4，0)的直线l 与C 的右支交于M，N 两点，设直线AM，BM，BN 的斜率分别为
k1，k2，k3.
(1)若k1=1
2，求k3；
(2)证明：k2(k1+k3)为定值.
题型二 与距离、面积、系数和有关的定值问题
例2 已知椭圆C 的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1 且过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆
于A，B 两点，⃗OA+⃗OB与a=(3，-1)共线.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设M 为椭圆C 上任意一点，且⃗OM=λ⃗OA+μ⃗OB(λ，μ∈R)，证明：λ2+μ2为定值.
思维升华 解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，
就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，
就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优
化解法.
跟踪训练2 已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴
长为半径的圆与直线y=√2x+3 相切，点P 在椭圆C 上，|PF1|=2，∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m 与椭圆C 相交于A，B 两点，且kOA·kOB=-b
2
a
2，试判断△AOB 的面积是否为定值.若
是，求出定值；若不是，请说明理由.
答案精析
例1 (1)解 由题意可知，焦点F 到准线的距离为p=2，
所以抛物线E 的标准方程为y2=4x.
(2)解 设P(x，y)，
可知y2=4x，x≥0，
则⃗PO=(-x，-y)，⃗PT=(t-x，-y)，
可得⃗PO·⃗PT=-x(t-x)+y2=x2-tx+4x=x2+(4-t)x=-1，
显然x=0 不满足上式，
则x>0，可得t-4=x+1
x ，
又因为x+1
x ≥2√x· 1
x =2，当且仅当x=1
x ，
即x=1 时，等号成立，
则t-4≥2，即t≥6，
所以t 的取值范围为[6，+∞).
(3)证明 设A(
y1
2
4 ，y1)，B(
y2
2
4 ，y2)，
C(
y3
2
4 ，y3)，
则直线AB 的斜率
kAB=
y1- y2
y1
2
4 - y2
2
4
=
4
y1+ y2
，
可得直线AB 的方程为y-y1=
4
y1+ y2(x - y1
2
4 )，
整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0，
同理可得，直线AC 的方程为4x-(y1+y3)y+y1y3=0，
由题意可得
{
-16+ y1 y2=0,
-16- 4√3( y1+ y3)+ y1 y3=0,
整理得4(y3-y2)=√3(y2y3+16)，
又因为直线OB，OC 的斜率分别为kOB=
y2
y2
2
4
= 4
y2
，
kOC=
y3
y3
2
4
= 4
y3
，
显然∠BOC 为锐角，则tan∠BOC=|
kOB-kOC
1+ kOB·kOC|=|
4
y2
- 4
y3
1+ 4
y2
· 4
y3|
=|
4( y3- y2)
y2 y3+16|=|
√3( y2 y3+16)
y2 y3+16 |=√3，
所以∠BOC 为定值π
3 .
跟踪训练1 (1)解 设双曲线C 的焦距为2c，
由题意得，a=2，c
a=√7
2 ，
所以c=√7.
因为c2=a2+b2，
所以b=√3，所以双曲线C 的标准方程为x
2
4 - y
2
3 =1.
直线AM 的方程为y=1
2(x+2)，
由{
x
2
4 - y
2
3 =1,
y = 1
2 ( x +2),
消去y 化简并整理得x2-2x-8=0，
解得x=4 或x=-2，
又因为A 点坐标为(-2，0)，所以M 点的坐标为(4，3).
又直线MN 过点(4，0)，所以直线MN 的方程为x=4，所以N(4，-3)，k3=-3-0
4 -2 =-3
2.
(2)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1=
y1
x1+2 ，k2=
y1
x1-2 ，
k3=
y2
x2-2.
因为点M，N 在双曲线C：x
2
4 - y
2
3 =1 上，
所以k1k2=
y1
x1+2·
y1
x1-2=
y1
2
x1
2- 4
=
3
4 ( x1
2- 4)
x1
2- 4
=3
4 .
设直线MN 的方程为x=my+4，由{
x
2
4 - y
2
3 =1,
x =my + 4 ,
消去x 化简并整理得(3m2-4)y2+24my+36=0.
则{
3m
2- 4≠0,
Δ=144(m
2+ 4)>0,
y1+ y2=-24 m
3m
2- 4
,
y1 y2=
36
3m
2- 4
,
故k2k3=
y1
x1-2·
y2
x2-2
=
y1 y2
(m y1+2)(m y2+2)
=
y1 y2
m
2 y1 y2+2m( y1+ y2)+ 4
=
36
3m
2- 4
m
2·
36
3m
2- 4
+2m·-24 m
3m
2- 4
+ 4
=-9
4 .
所以k2(k1+k3)=k1k2+k2k3=3
4 +(- 9
4)=-3
2 ，为定值.
例2 (1)解 设椭圆C 的方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，F(c，0)，
则直线AB 的方程为y=x-c，
联立{
y = x -c ,
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,
消去y 并整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1+x2= 2a
2c
a
2+b
2 ，
x1x2=a
2(c
2-b
2)
a
2+b
2
，
由⃗OA+⃗OB=(x1+x2，y1+y2)，a=(3，-1)，
且⃗OA+⃗OB与a 共线，
得3(y1+y2)+(x1+x2)=0，
又y1=x1-c，y2=x2-c，
则3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，
∴x1+x2=3c
2 ，即2a
2c
a
2+b
2=3c
2 ，
可得a2=3b2=3(a2-c2)，∴c
2
a
2=2
3 ，
∴椭圆C 的离心率为e=c
a=√
2
3=√6
3 .
(2)证明 由(1)知a2=3b2，
所以椭圆C 的方程x
2
a
2+ y
2
b
2 =1 可化为x2+3y2=3b2，
设⃗OM=(x，y)，由⃗OM=λ⃗OA+μ⃗OB得(x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)，
∴{
x = λ x1+ μ x2,
y = λ y1+ μ y2,
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，
∴λ2(x1
2+3y1
2)+μ2(x2
2+3y2
2)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2，
①
由(1)知，x1+x2=3c
2 ，a2=3
2c2，
b2=1
2c2，
x1x2=a
2c
2-a
2b
2
a
2+b
2
=3
8c2，
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2
=3
2c2-9
2c2+3c2=0，
又x1
2+3y1
2=3b2，x2
2+3y2
2=3b2，
代入①得，λ2+μ2=1，
故λ2+μ2为定值1.
跟踪训练2 解 (1)依题意有b=
3
√2+1=√3，∴b2=3，
由|PF1|=2 及椭圆的定义得|PF2|=2a-2，
由余弦定理得|P F1|
2+|P F2|
2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=| F1 F2|
2，
即a2-3a+3=c2，
又a2-c2=b2=3，∴a=2，
故椭圆C 的标准方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)易知m≠0，联立{
x
2
4 + y
2
3 =1,
y =kx +m,
可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
则Δ=48(3+4k2-m2)>0，
①
又x1+x2=- 8km
3+ 4 k
2 ，
x1x2=4(m
2-3)
3+ 4 k
2 ，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=3(m
2- 4 k
2)
3+ 4 k
2
，
由kOA·kOB=-b
2
a
2 ，
可得
y1 y2
x1 x2
=-3
4 ，
∴y1y2=-3
4 x1x2，
即3(m
2- 4 k
2)
3+ 4 k
2
=-3
4 ·4(m
2-3)
3+ 4 k
2 ，
解得2m2-4k2=3，满足①，
∵|AB|=√(1+k
2)[( x1+ x2)
2- 4 x1 x2]
=√
(1+ k
2)[(- 8km
3+ 4 k
2)
2
- 4× 4 m
2-12
3+ 4 k
2 ]
=2√3·√1+k
2
|m|
，
设原点到直线l 的距离为d，
d= |m|
√1+k
2 ，
∴S△AOB=1
2·d·|AB|
=1
2 × |m|
√1+k
2 × 2√3·√1+k
2
|m|
=√3，
故S△AOB为定值，定值为√3.
