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§6.7 子数列问题
(分值：55 分)
1.(12 分)(2024·佳木斯模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6=24.
(1)求数列{an}的通项公式；(6 分)
(2)设bn={
an,n 为奇数,
1
anan+2
,n 为偶数,求数列{bn}的前20 项和T20.(6 分)
2.(13 分)(2024·北京首都师范大学附属中学模拟)已知等差数列{an}满足a3=5，且a5-2a2=3.又数列{bn}中，
b1=3 且3bn-bn+1=0(n=1，2，3，4，…).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(3 分)
(2)若ai=bj，则称ai(或bj)是{an}，{bn}的公共项.
①直接写出数列{an}，{bn}的前4 个公共项；(4 分)
②从数列{an}的前100 项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，求剩下所有项的和.(6 分)
3.(15 分)(2025·马鞍山模拟)已知数列{an}的前n 项和Sn=2an-n(n∈N*).
(1)求证：数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；(7 分)
(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k 个数构成一个新数列{bn}：a1，2，a2，4，6，a3，8，10，12，a4，…，插入
的所有数依次构成首项为2，公差为2 的等差数列，求{bn}的前50 项和T50.(8 分)
4.(15 分)已知正项数列{an}的前n 项和为Sn，且4Sn=an
2+2an-3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；(7 分)
(2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前100 项和.(8
分)
答案精析
1.解 (1)因为数列{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5，
所以a2+a8＝2×5＝2a5，
解得a5＝5，
因为a4a6＝24，
所以(5－d)(5+d)＝24，
解得d＝±1，
因为d>0，所以d＝1，
所以an＝a5+(n－5)d
＝5+(n－5)＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由题知bn＝
{
n,n 为奇数,
1
n(n+2) ,n 为偶数,
即bn＝{
n,n 为奇数,
1
2(
1
n -
1
n+2),n 为偶数,
所以T20＝b1+b2+b3+b4+…+b19+b20
＝1+1
2×(
1
2 - 1
4)+3+1
2×(
1
4 - 1
6)+…+19+1
2×(
1
20 - 1
22)
＝(1+19)×10
2
+ 1
2×(
1
2 - 1
22)＝100+ 5
22 ＝2 205
22
，
故数列{bn}的前20 项和T20为2 205
22
.
2.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则有{
a1+2d ＝5,
(a1+ 4 d)-2(a1+d)＝3,
解得{
a1＝1,
d ＝2,
因此an＝1+2(n－1)＝2n－1.
由3bn－bn+1＝0，
得bn+1＝3bn，
而b1＝3，
则数列{bn}是以b1＝3 为首项，
3 为公比的等比数列，bn＝3×3n－1＝3n，
所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n.
(2)①由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，
则a2＝b1＝3，a5＝b2＝9，a14＝b3＝27，a41＝b4＝81，
所以数列{an}，{bn}的前4 个公共项依次为3，9，27，81.
②a100＝199，而b5＝243>a100，
因此数列{an}的前100 项中是数列{an}与{bn}公共项的只有3，9，27，81 这4 项，
所以剩下所有项的和为1+199
2
×100－(3+9+27+81)＝10 000－120＝9 880.
3.解 (1)因为Sn＝2an－n，
①
所以当n＝1 时，a1＝1；
当n≥2 时，
Sn－1＝2an－1－(n－1)，②
①－②得an＝2an－1+1，
所以an+1＝2(an－1+1)，
又a1+1＝2，
所以数列{an+1}是以2 为首项，2 为公比的等比数列，则an+1＝2n，即an＝2n－1.
(2)由题意得，在新数列{bn}中，从a1到ak，共插入了1+2+…+(k－1)＝k(k -1)
2
(个)数，
共有k+k(k -1)
2
项.
当k＝9 时，9+9×(9-1)
2
＝45<50；当k＝10 时，10+10×(10-1)
2
＝55>50，
所以在新数列{bn}的前50 项中，有{an}的前9 项，有新插入的等差数列{2n}的前41 项，
所以T50＝(21－1)+(22－1)+…+(29－1)+(2+4+…+82)＝2×(1-2
9)
1-2
－9+41×(2+82)
2
＝2 735.
4.解 (1)依题意，an>0，当n＝1 时，得a1＝3，
4Sn＝an
2+2an－3，
当n≥2 时，
有4Sn－1＝an-1
2
+2an－1－3，
作差得4an
＝an
2－an-1
2
+2an－2an－1，
∴(an+an－1)(an－an－1－2)
＝0(n≥2)，
∵an+an－1>0，
∴an－an－1＝2(n≥2)，
∴数列{an}是首项为3，公差为2 的等差数列，
∴an＝2n+1，n∈N*.
(2)由(1)得a100＝201，
又27<201<28，同时a93＝187>27，
∴b100＝a93，
∴b1+b2+…+b100＝(a1+a2+…+a93)+(21+22+…+27)
＝93×(3+187)
2
+ 2×(1-2
7)
1-2
＝9 089.
∴{bn}的前100 项和为 9 089.
