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高考数学 考试技巧篇
（36 类核心考试技巧背记手册）
目录
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧...............................................................................2
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................3
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧.......................................................................3
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧...............................................................................4
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧.........................................................5
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧...................................................................5
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧...................................................................6
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧...................................................................7
考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题技巧...............................................8
考试技巧10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧...............................................................9
考试技巧11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧......................................................11
考试技巧12 函数对称性的应用及解题技巧.................................................................................13
考试技巧13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧.........................................................13
考试技巧14 整数解的应用及解题技巧.........................................................................................14
考试技巧15 零点的应用及解题技巧.............................................................................................15
考试技巧16 切线与公切线的应用及解题技巧.............................................................................15
考试技巧17 端点效应（必要性探索）解题技巧.........................................................................16
考试技巧18 函数凹凸性解题技巧.................................................................................................18
考试技巧19 洛必达法则解题技巧.................................................................................................20
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧.....................................................................22
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧.....................................................................................24
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧.....................................................................................24
考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧.....................................................................25
考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧.........................................................................25
考试技巧25 “爪子定理”的应用及解题技巧...............................................................................26
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧.....................................................................26
1
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考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧.................................................................................28
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧.............................................................28
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧.............................................................................29
考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧.....................................................................................30
考试技巧31 点对称问题解题技巧.................................................................................................31
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧.........................................................................................32
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧.....................................................................32
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧.....................................................................33
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧.....................................................................34
考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧.................................................................................35
考试技巧01 权方和不等式的应用及解题技巧
权方和不等式的初级应用: 若
则
当且仅当
时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
例．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．9
D．
因为
，所以
由权方和不等式
可得
当且仅当
，即
时，等号成立．【答案】C
例．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数
，
满足
，
所以
，
2
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当且仅当
即
时取等号，故答案为：
.
例．已知
，求
的最小值为
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当
时取等号，故答案为：60
考试技巧02 普通型糖水不等式的应用及解题技巧
1. 糖水不等式定理，若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
2. 糖水不等式的倒数形式，设
, 则有:
例．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【详解】
,又
，
用排除法, 选 A 。
考试技巧03 对数型糖水不等式的应用及解题技巧
(1) 设
, 且
, 则有
(2) 设
, 则有
(3) 上式的倒数形式：设
, 则有
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 在上述推论中取
, 可得
,
且
.
所以
, 即
, 选 A.
考试技巧04 基本不等式链的应用及解题技巧
基本不等式链:
, 当且仅当
时, 等号成立.
例．（2022·全国·统考高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
由基本不等式链:
, 可得
（
R），
对于AB
由
可变形为，
，
解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B
正确；
对于C
【法一】由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取
等号，所以C 正确
【法二】由
,得
,
又因为
,所以
,即
.
4
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【法三】
,
又因为
,所以
.
【答案】：BC．
考试技巧05 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧
在定义域内，若F (x)=f (x)+ A ，其中f (x)为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有
M +m=2 A
即M +m=2倍常数
例．（2023 上·江苏·高三模拟）已知
分别是函数
+
+1 的最大值、最小值，则
M +m=2倍常数=2
例．已知函数
，
的最大值为M，最小值为m，则
.
【法一】M +m=2倍常数=14
【法二】M+m=2f (0)=14
例．函数
，
，记
的最大值为
，最小值为
，则
.
【法一】M +m=2倍常数=4
【法二】M +m=2f (0)=4
考试技巧06 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
在定义域内，若F (x)=f (x)+ A ，其中f (x)为奇函数，A 为常数，有f (a)+f (−a)=2 A
5
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即f (a)+f (−a)=2倍常数
例．（全国·高考真题）已知函数
，
，则
．
在定义域内为奇函数
所以f (a)+f (−a)=2倍常数=2，解得
【答案】－2
例．已知函数
，则
．
，
和
在定义域内为奇函数
所以
2 倍常数=-2
【答案】－2
考试技巧07 已知函数解析式判断函数图象解题技巧
特值与极限
①√2=1.414, √3=1.732, √5=2.236,√6=2.45, √7=2.646
②e=2.71828, e2=7.39, e
1
2=√e=1.65
③ln1=0, ln2=0.69, ln3=1.1, lne=1, ln√e=1
2
④sin1=0.84, cos1=0.54, sin2=0.91, cos2=−0.42
特别地：当x→0 时sin x=x
例如：sin0.1=0.099≈0.1，sin0.2=0.199≈0.2, sin0.3=0.296≈0.3
当x→0 时cos x=1
cos0.1=0.995≈1, cos(−0.2)=0.980≈1
例．函数
在区间
的图象大致为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
令
，由奇偶性定义知
为奇函数，排除BD；
【法一】特值
f (0.1)=(30.1−3−0.1)cos0.1≈(30.1−3−0.1)×0.995>0，故选：A.
【法二】极限法
当x→0+ 时cos x=1，3x→1+ ，3−x→1−
所以当x→0+ 时
，故选：A.
【法三】
当
时，
，所以
【答案】A
考试技巧08 已知函数图象判断函数解析式解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，则该函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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【法一】特值
由图知：f (2)<0 ，
对于A ，f (2)=−2
5 ，对于B ，f (2)=6
5 ，对于C ，f (2)=2×2×(−0.42)
5
<0，对于D ，
f (2)=2×0.91
5
>0
排除BD
结合函数零点位置可选A
【法二】猜测近似函数值
由图知f (1)≈1
分别计算四个函数值即可得到答案
【法三】
设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
【答案】A
考试技巧09 两类经典超越不等式比较函数值大小关系解题
技巧
ex≥x+1，ex≥ex ，
1−1
x ≤ln x≤x−1
，
ln x≤x
e
例．已知
, 则
的大小关系为 ( )
A.
B.
C.
D.
8
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【答案】
考试技巧10 泰勒不等式比较函数值大小关系解题技巧
常见函数的泰勒展开式：
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
常见函数的泰勒展开式：
结论1
．
结论2
．
结论3
（
）．
9
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结论4
．
结论5
；
；
．
结论6
；
结论7
结论8
．
结论9
．
例．（2022 年新Ⅰ卷高考真题第7 题）设
，
，
则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．a<c<b
泰勒公式法：
因为
e0.1≈1+0.1+ 0.12
2
=1.105
，所以
0.1e0.1≈0.1105< 1
9=0.11111=b
，所以a<b
因为
c=−ln0.9=ln10
9 =ln( 1
9 +1)≈1
9−
( 1
9 )2
2
+
( 1
9 )3
3 =1
9−1
162 +
1
2187 ≈1
9−0.006=0.105<a
所以c<a
综上所述：c<a<b
故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
泰勒展开
设
，则
，
，
，计算得
，故选A.
10
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考试技巧11 不等式放缩合集比较函数值大小关系解题技巧
sin x<x<tan x , x∈(0, π
2)
ln x<√x−1
√x ( x>1)
，
ln x>√x−1
√x (0<x<1)
，
ln x< 1
2 ( x−1
x )( x>1)
，
ln x> 1
2 ( x−1
x )(0<x<1)
，
ln x>−1
2 x2+2 x−3
2 ( x>1)
，
ln x<−1
2 x2+2 x−3
2 (0<x<1)
ln x> 2( x−1)
x+1
( x>1)
，
ln x< 2( x−1)
x+1
(0<x<1)
放缩程度综合
1−1
x < 1
2 ( x−1
x )<√x−1
√x <ln x< 2( x−1)
x+1
<−1
2 x2+2 x−3
2 <x−1(0<x<1)
1−1
x <−1
2 x2+2 x−3
2 < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1(1<x<2)
−1
2 x2+2 x−3
2 <1−1
x < 2( x−1)
x+1
<ln x<√x−1
√x < 1
2 ( x−1
x )<x−1( x>2)
11
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x+1<ex<
1
1−x ( x<1)
，
1
1−x <x+1<ex( x>1)
例．（2022·全国·统考高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
放缩法
因为
x+1<ex<
1
1−x ( x<1)
，
所以
1.1<e0.1<
1
1−0.1 ⇒0.11<a=0.1e0.1<0.1×
1
1−0.1=1
9=b
，即a<b
因为ln x< 1
2 ( x−1
x )( x>1)，
所以c=−ln0.9=ln10
9 < 1
2 (10
9 −9
10 )=19
180 <0.11<a，即c<a
综上所述：c<a<b ，故选：C
例．（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【法一】：不等式放缩一
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
【法二】不等式放缩二
12
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因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
考试技巧12 函数对称性的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设函数
的图像与
的图像关于直线
对称，且
，
则
A．
B．
C．
D．
反解
的解析式，可得
，即
，
因为
，所以
，解得解得
，故选C
考试技巧13 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧
例2．（全国·高考真题）设函数
,则使
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【特值法】
当x=1时，f (1)>f (1)不成立，排除D，当x=0时，则判断f (0)>f (−1)是否成立，
计算f (0)=−1，
f (−1)=ln2−1
2≈0.19
，不成立，故排除B、C,
【答案】A
13
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考试技巧14 整数解的应用及解题技巧
例．已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【猜根法，寻找临界条件】
由题知整数解不可能为1，
若整数解为2，则整数解3 不可取，代入有
ln2−16k+8k=0⇒k=ln2
8 ，
ln3−81k+27k=0⇒k=ln3
54
，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D.
考试技巧15 零点的应用及解题技巧
例4．（全国·高考真题）已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．1
通过观察发现
关于
对称，
也关于
对称，
则唯一零点为1，解得解得
.故选：C.
14
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考试技巧16 切线与公切线的应用及解题技巧
例．（2021·全国·统考高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条
切线.由此可知
.
故选：D.
例．（全国·高考真题）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
．
对函数
求导得
，对
求导得
，设直线
与曲线
相切于
点
，与曲线
相切于点
，则
，由点
在切线上
得
，由点
在切线上得
，这两条直线表示同一条
直线，所以
，解得
.
15
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考试技巧17 端点效应（必要性探索）解题技巧
端点效应的类型
1.如果函数
在区间
上,
恒成立,则
或
.
2.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
),则
或
.
3.如果函数
在区问
上,
恒成立,且
(或
,
则
或
.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【法一】端点效应一
令
，
得
，且
在
上恒成立
画出草图
根据端点效应, 需要满足
，而
则
, 令
, 得
当
时, 由于
, 只需证
即可
而
含有参数
, 故可对
进行放缩
即
令
, 其中
设
16
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则
令
则
, 故
在
上递减, 得
则
, 得
在
上单调递增, 则
即
, 满足
成立
当
时，
故存在
, 使得在
上
,
所以
在
上单调递增, 则
, 不成立
特上所述:
.
【法二】端点效应二
(2)
由于
, 且
,
注意到当
, 即
时,
使
在
成立, 故此时
单
调递减
, 不成立.
另一方面, 当
时,
, 下证它小于等于 0 .
单调递减,
. 特上所述:
.
17
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考试技巧18 函数凹凸性解题技巧
凹函数：对于某区间内
, 都有
.
凸函数：对于某区间内
, 都有
.
例．在
中, 求
的最大值.
因为函数
在区间
上是上凸函数, 则
即
, 当且仅当
时, 即
时,取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式: 在
中,
例. 丹麦数学家琴生
是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果．设函数
在
上的导函数为
，
在
上的导函数为
，
若在
上
恒成立，则称函数
在
上为“凸函数”．已知
在
上为“凸函数”，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18
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因为
，
所以
，
，
因为
在
上为“凸函数”，
所以
对于
恒成立，
可得
对于
恒成立，
令
，则
，
因为
，所以
在
单调递增，
所以
，
所以
，
【答案】C
考试技巧19 洛必达法则解题技巧
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
19
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(3)
，
那么
=
。
型
例．（全国高考）已知
恒成立, 求
的取值范围
解:
记
,
则
则
所以,
在
单调递增, 且
所以
时,
时,
即
在
上单调递减, 在
上单调递增
所以
所以
分析
上式中求
用了洛必达法则 当
时, 分子
, 分母
, 符合
不定形式, 所以
20
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例．（全国高考）
恒成立, 求
的取值范围
解:
记
,
则
记
则
所以,
在
单调递增, 所以
所以,
在
单调递增, 所以
即在
上
, 所以
在
上单调递增
所以
所以
考试技巧20 导数中的极值点偏移问题的解题技巧
例．（2022·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
（2）[方法一]：构造函数
由题知,
一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证
,即证
21
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因为
,即证
又因为
,故只需证
即证
即证
下面证明
时，
设
，
则
设
所以
,而
所以
,所以
所以
在
单调递增
即
,所以
令
所以
在
单调递减
即
,所以
；
综上,
,所以
.
[方法二]：对数平均不等式
22
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由题意得：
令
，则
，
所以
在
上单调递增，故
只有1 个解
又因为
有两个零点
，故
两边取对数得：
，即
又因为
，故
，即
下证
因为
不妨设
，则只需证
构造
，则
故
在
上单调递减
故
，即
得证
考试技巧21 半角公式的应用及解题技巧
sin ＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.
例．（2023·全国·统考高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，而
为锐角，
23
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所以
．
考试技巧22 万能公式的应用及解题技巧
例．在 △ABC 中, tan C
2 =3 tan A
2 , 则
2
sin A +
6
sinC 的最小值为
A. 4 B. 2√5 C. 4√5 D. 16
2
sin A +
6
sinC
¿
2
2tan A
2
1+ tan
2 A
2
+
6
2tan C
2
1+ tan
2 C
2
¿
=
1+ tan
2 A
2
tan A
2
+
3(1+ tan
2 C
2)
tan C
2
=
1
tan A
2
+ tan A
2 +
3
tan C
2
+3 tan C
2
=
1
tan A
2
+ tan A
2 +
3
3 tan A
2
+3⋅3 tan A
2
=10 tan A
2 +
2
tan A
2
≥2√20= 4√5.
最小值为4√5
24
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考试技巧23 正余弦平方差公式的应用及解题技巧
正弦平方差公式: sin
2 A −sin
2B =sin ( A + B)sin ( A −B)
余弦平方差公式: cos
2 A −sin
2B =cos( A + B)cos( A −B)
例．已知 sin α = 1
2 ,sin β = 1
3, 则 sin (α + β)sin (α −β)=________
由已知可得 sin (α + β)sin (α −β)=sin
2α −sin
2 β =(
1
2)
2
−(
1
3)
2
= 5
36 .
考试技巧24 三角函数异名伸缩平移的解题技巧
通常用sin x=cos(x−π
2)进行正弦化余弦，用cos x=sin(x+ π
2)进行余弦化正弦
例．若要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
我们可以对平移前
进行变换，
，
从而转化为
的变换；
我们同样也对平移后
进行变换，
，从而转化为
的变换，进而求解变换过程
【答案】D
25
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考试技巧25 “爪子定理”的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：由图可想到“爪字形图得：
，解得：
答案：A
考试技巧26 系数和（等和线）的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
=
+
，则
+
的最大值为
A．3
B．2
C．
D．2
【系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时，
最大，此时
26
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故选
.
例．边长为2 的正六边形
中，动圆
的半径为1，圆心在线段
(含短点)上运动，
是圆
上及其内部的动点，设向量
，则
的取值范围是（ ）
A .(1,2]
B.[5,6]
C .[2,5]
D.[3,5]
分析:如图，设
，由等和线结论，
.此为
的最小值；
同理，设
，由等和线结论，
.此为
的最大值.
综上可知
.
考试技巧27 极化恒等式的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）设向量
满足
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．5
27
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由极化恒等式可得：
，故选A．
例．（2023·全国·统考高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：
故选：B.
考试技巧28 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
例．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在
所在平面内，且
，且
，则点O，N，P 依次是
的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心
B．重心外心内心
C．外心重心垂心
D．外心重心内心
因为
，所以
到定点
的距离相等，所以
为
的外心，由
，
则
，取
的中点
，则
，所以
，所以
是
的重心；
由
，得
，即
，所以
，同理
，所以
点
为
的垂心，故选C.
例．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
，
，则P 的轨迹一定通过
的（ ）
28
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A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【详解】
，
令
，
则
是以
为始点，向量
与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即
在
的平分线上，
，
共线，
故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
故选：B
考试技巧29 角平分线定理的应用及解题技巧
角平分线定理
（1）在Δ ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，则有
AB
BD = AC
CD
（2）
（3）
（库斯顿定理）
（4）
例．（2023·全国·统考高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于
D，则
．
由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
则
计算即可，故答案为：
．
29
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考试技巧30 张角定理的应用及解题技巧
张角定理
sin β
AB
+sinα
AC =sin(α+β)
AD
例．如图，已知
是
中
的角平分线，交
边于点
.
（1）用正弦定理证明：
；
（2）若
，
，
，求
的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为
．
例．在
中,角
所对的边分别为
,已知点
在
边上,
,则
__________
解：如图
由张角定理得:
即
30
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考试技巧31 点对称问题解题技巧
点 (x , y) 关于直线 Ax + By +C =0 的对称点坐标(x−2 A ( Ax + By +C)
A
2+ B
2
, y −2B( Ax + By +C)
A
2+ B
2
)
例．点
关于直线
的对称点的坐标是 ．
直线
中，A=2,B=−1,C=4 ,所以
Ax +By +C
A2+B2
=17
5 ，所以x−2 A(Ax +By +C )
A2+B2
=−38
5 ，
y−2B(Ax +By +C )
A2+B2
=29
5
答案为：
.
考试技巧32 圆中的切线问题解题技巧
例．经过点
且与圆
相切的直线方程为 ．
代入
求解即可，答案为：
例．过圆
上点
的切线方程为 ．
31
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代入
求解即可，答案为：
例．过点
作圆
的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB 方程是 .
过圆外一点
作圆的两条切线,则切点弦方程为
，代入求解即
可
答案为:
考试技巧33 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
例．过双曲线
的右焦点
作倾斜角为
直线，交双曲线于
两点，求弦长
．
由双曲线
得
，又
所以
．
例．（山东·统考高考真题）斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则
=
．
【法一】先求出倾斜角，代入|AB|= 2|p|
sin
2θ
求解即可
【法二】解得
所以
【法三】
设
，则
,
过
分别作准线
的垂线，设垂足分别为
如图所示.
32
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故答案为：
考试技巧34 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
例．（全国·高考真题）已知椭圆
＋
＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A、B 两点．
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为
A．
＋
＝1
B．
＋
＝1
C．
＋
＝1
D．
＋
＝1
【法一】k AB.kOM =−b
2
a
2，解得b
2
a
2=1
2，因为c=3，所以
.
例．（重庆·高考真题）直线与圆
相交于两点
，
，弦
的中点为
，
则直线的方程为 ．
【答案】
.
【详解】设圆心
，直线的斜率为
，弦AB 的中点为
，
的斜率为
，
则
，所以
由点斜式得
．
例．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
，
两点，若
中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
A．
B．
33
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C．
D．
【答案】D
【分析】根据点差法得
，再根据焦点坐标得
，解方程组得
，
，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为
，由题意可得
，设
，
，则
的中点为
，由
且
，得
，
，即
，联立
，解得
，
，故所求双曲线的方程为
．故选D．
考试技巧35 复数的模长及最值的应用及解题技巧
例（全国高考）设
，则
=
A．2
B．
C．
D．1
∵z= 3−i
1+2i
∴|z|=| 3−i
1+2i|= |3−i|
|1+2i|=√10
√5
=√2
【答案】C
例．已知
满足
.则
的最大值是（ ）
A．3
B．10
C．20
D．16
【答案】D
【详解】
对应的点在以
为圆心，3 为半径的圆上，
.
故答案为D
34
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考试技巧36 柯西不等式的应用及解题技巧
例．函数
的最小值为 ．
【答案】
【详解】注意到，
．
则
．
例．已知x，y，z 满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
,
即
,
所以
最小值为
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
.
35
