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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆
理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念
定义
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类
(1)按旋转方向分为正角、负角和零角；
(2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角
把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α 的相反
角记为-α
终边相
同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或
{ β | β = α +2
k π ，
k ∈
Z }
2.弧度制的定义及公式
定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记作1 rad
弧度数公式
|α|= l
r (弧长用l 表示，半径用r 表示)
角度与弧度的换算
1°= π
180 rad；1 rad=(
180
π )°≈57.3°
弧长公式
弧长l=| α | r
扇形面积公式
S=1
2lr=1
2| α | r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α 是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x 轴的非负半轴，建立直
角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y=sin α，x=cosα，y
x =tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α= y
r ，cosα= x
r ，
tan α= y
x (x≠0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( × )
(2)第四象限的角一定是负角.( × )
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( √ )
(4)角α 的三角函数值与其终边上点P 的位置有关.( × )
2.角-863°的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 C
解析 -863°=-2×360°-143°，则-863°和-143°的终边相同，故角-863°的终边在第三象限.
3.一钟表的秒针长12 cm，经过25 s，秒针的端点所走的路线长为( )
A.20 cm
B.14 cm
C.10π cm
D.8π cm
答案 C
解析 秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为25
60×2π=5 π
6 ，因此，秒针的端点所走的路线长
为5 π
6 ×12=10π(cm).
4.已知角α 的终边上有一点P(1，-2)，则sin α-cosα 的值为 .
答案 -3√5
5
解析 因为sin α=-2
√1+ 4 =-2√5
5
，
cosα=
1
√1+ 4 =√5
5 ，
所以sin α-cosα=-2√5
5
-√5
5 =-3√5
5
.
1.熟记以下常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
2.谨防三个易误点
(1)角度与弧度换算的关键是π rad=180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；
(2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2025·宁波模拟)若α 是第二象限角，则( )
A.-α 是第一象限角
B.α
2 是第三象限角
C.3 π
2 +α 是第二象限角
D.2α 是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上
答案 D
解析 因为α 是第二象限角，可得π
2 +2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，对于A，可得-π-2kπ<-α<-π
2 -2kπ，k∈Z，此时-
α 的终边在第三象限，所以-α 是第三象限角，A 错误；对于B，可得π
4 +kπ<α
2 <π
2 +kπ，k∈Z，当k 为偶数时，
α
2 的终边在第一象限；当k 为奇数时，α
2 的终边在第三象限，所以α
2 是第一或第三象限角，B 错误；对于
C，可得2π+2kπ<3 π
2 +α<5 π
2 +2kπ，k∈Z，即2(k+1)π<3 π
2 +α<π
2 +2(k+1)π，k∈Z，所以3 π
2 +α 的终边在第一
象限，所以3 π
2 +α 是第一象限角，C 错误；对于D，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ，k∈Z，所以2α 是第三或第四
象限角或终边在y 轴非正半轴上，D 正确.
θ
2终边所在位置
若θ 分别为第一、二、三、四象限角，则θ
2的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示.
典例 已知θ 为第三象限角，且|sin θ
2|=-sin θ
2，则角θ
2的终边在( )
A.第一或第三象限
B.第二或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 D
解析 ∵θ 为第三象限角，∴θ
2为第二或第四象限角，又|sin θ
2|=-sin θ
2，∴sin θ
2≤0，∴角θ
2的终边在第四象限.
(2)如图所示，终边落在阴影部分的角β 的取值集合为 .
答案 {β|
π
4 + k π ≤β < 3 π
4 +k π ，k ∈Z}
解析 由于终边在直线y=x 上的角的集合为{α|α =k π + π
4 ，k ∈Z}，终边在直线y=-x 上的角的集合为
{θ|θ =k π + 3 π
4 ，k ∈Z}，由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为
{β|
π
4 + k π ≤β < 3 π
4 +k π ，k ∈Z}.
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所
有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，α
k (k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα 或α
k 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα 或α
k 的终
边所在的位置.
跟踪训练1 (1)(多选)下列四个命题中正确的是( )
A.-3 π
4 是第二象限角
B.4 π
3 是第三象限角
C.-400°是第四象限角
D.-315°是第一象限角
答案 BCD
解析 -3 π
4 是第三象限角，故A 错误；4 π
3 =π+π
3 ，所以4 π
3 是第三象限角，故B 正确；-400°=-360°-40°，
所以-400°是第四象限角，故C 正确；-315°=-360°+45°，所以-315°是第一象限角，故D 正确.
(2)若角α 的终边在直线y=-√3x 上，则角α 的取值集合为( )
A.{α|α=k·360°-60°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+120°，k∈Z}
C.{α|α=k·180°-120°，k∈Z}
D.{α|α=k·180°-60°，k∈Z}
答案 D
解析 终边在x 轴上的角的集合为{θ|θ=k·180°，k∈Z}，
直线y=-√3x 可以看成把x 轴顺时针旋转60°得到，
故终边在直线y=-√3x 上的角α 的集合为{α|α=k·180°-60°，k∈Z}.
题型二 弧度制及其应用
例2 (1)(2024·青岛模拟)2024 年2 月4 日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东曲
阜孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙
勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕
饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，
AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈3
5，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)的面积近似为( )
A.6.8 cm2
B.9.8 cm2
C.14.8 cm2
D.22.4 cm2
答案 C
解析 显然△AOB 为等腰三角形，OA=OB=5，AB=8，
则cos∠OAB=
1
2 AB
OA
=4
5 ，sin∠OAB=3
5，
即∠OAB≈37°，于是∠AOB≈106°=53 π
90 ，
所以璜身的面积近似为1
2∠AOB·(OA2-OD2)≈1
2×53 π
90 ×(52-32)≈14.8(cm2).
(2)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
①若α=π
3 ，R=10 cm，则扇形的弧长l= cm.
②若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α= 弧度时，扇形的面积最大.
答案 ①10 π
3
②2
解析 ①因为α=π
3 ，R=10 cm，
所以l=|α|R=π
3 ×10=10 π
3
(cm).
②由已知，得l+2R=20，
所以S=1
2lR=1
2(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25.
所以当R=5 cm 时，S 取得最大值，
此时l=10 cm，α= l
R =2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
跟踪训练2 (1)(2024·深圳模拟)若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
答案 C
解析 设扇形的半径为r，圆心角为α，
则弧长l=αr=2r，所以α=2，
扇形的面积S=1
2αr2=r2=1，
解得r=1 或r=-1(舍去)，
所以l=αr=2，
则该扇形的周长为2r+l=4.
(2)(2025·襄阳模拟)“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.现有一个“圆材
埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD 为
矩形，且劣弧´AB的长等于半径OA 长的2 倍，则圆柱材料埋在墙壁内部的截面(阴影部分)面积是(
)
A.9-9
2sin 2
B.9
2sin 2
C.2-1
2sin 2
D.9
答案 A
解析 由题意得OA=3，劣弧´AB=2OA=6，
故扇形AOB 的面积为1
2×3×6=9，
设扇形AOB 的圆心角为θ，则θ=6
3=2，
故S△AOB=1
2OA·OBsin θ=9
2sin 2，
故圆材埋在墙壁内部的截面(阴影部分)面积为9-9
2sin 2.
题型三 三角函数的概念
例3 (1)已知角α 的终边过点P(-8m，-6sin 30°)，且cosα=-4
5 ，则m 的值为( )
A.-1
2
B.-√3
2
C.1
2
D.√3
2
答案 C
解析 由题意得点P(-8m，-3)，r=√64 m
2+9，
所以cosα=-8m
√64 m
2+9=-4
5 ，
所以m>0，解得m=1
2.
(2)若角α 满足sin α·cosα<0，cosα-sin α<0，则α 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案 B
解析 因为sin α·cosα<0，所以α 是第二或第四象限角；
当α 是第二象限角时，cosα<0，sin α>0，满足cosα-sin α<0；
当α 是第四象限角时，cosα>0，sin α<0，则cosα-sin α>0，不符合题意，
综上所述，α 是第二象限角.
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标，可以求出α 的三角函数值；已知角α
的三角函数值，也可以求出其终边与单位圆交点P 的坐标.
(2)已知一角的三角函数值(sin α，cosα，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，
二者的交集即为该角的终边位置.
跟踪训练3 (1)已知角α 的终边与单位圆的交点为P(- 1
2 ，y)，则sin α·tan α 等于( )
A.-√3
3
B.±√3
3
C.-3
2
D.±3
2
答案 C
解析 由|OP|2=1
4 +y2=1，得y2=3
4 ，y=±√3
2 .
当y=√3
2 时，sin α=√3
2 ，tan α=-√3，
此时sin α·tan α=-3
2；
当y=-√3
2 时，sin α=-√3
2 ，tan α=√3，
此时sin α·tan α=-3
2.
综上，sin α·tan α=-3
2.
(2)角α 的终边在直线y=2x 上，则sin α+cosα= .
答案 ±3√5
5
解析 ①若角α 的终边在第一象限，取α 终边上一点P(1，2)，
则|OP|=√5，∴sin α= 2
√5=2√5
5
，cosα= 1
√5=√5
5 ，
∴sin α+cosα=3√5
5
；
②若角α 的终边在第三象限，取α 终边上一点Q(-1，-2)，
∴|OQ|=√5，∴sin α=-2√5
5
，cosα=-√5
5 ，
∴sin α+cosα=-3√5
5
，
综上，sin α+cosα=±3√5
5
.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.3 π
4 -6π
B.7 π
4 -6π
C.3 π
4 -8π
D.7 π
4 -8π
答案 D
解析 -1 125°=-1 440°+315°=-8π+7 π
4 .
2.集合{α|k π + π
4 ≤α ≤k π + π
2 ，k ∈Z}所表示的角的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k=2n(n∈Z)时，2nπ+π
4 ≤α≤2nπ+π
2 ，n∈Z，此时α 表示的范围与π
4 ≤α≤π
2 表示的范围一样；
当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+π+π
4 ≤α≤2nπ+π+π
2 ，n∈Z，此时α 表示的范围与π
4 +π≤α≤π
2 +π 表示的范围一
样.
3.(2024·北京模拟)“sin 2θ>0”是“θ 为第一或第三象限角”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ∵sin 2θ=2sin θ·cosθ>0⇔sinθ
cosθ >0⇔tan θ>0，∴θ 为第一或第三象限角.
4.已知相互啮合的两个齿轮，大齿轮有45 齿，小齿轮有30 齿.如果大齿轮的转速为180 r/min(即每分钟旋转
180 圈)，小齿轮的半径为10 cm，那么小齿轮圆周上一点每1 s 转过的弧长是( )
A.5 400π cm
B.90π cm
C.180π cm
D.40π cm
答案 B
解析 大齿轮有45 齿，小齿轮有30 齿，当大齿轮转动一周时，小齿轮转动45
30 =3
2(周)，
大齿轮的转速为180 r/min，则小齿轮转速为3
2×180=270(r/min)，
故小齿轮圆周上一点每1 s 转过的弧度数为270×2π÷60=9π.
又小齿轮的半径为10 cm，所以小齿轮圆周上一点每1 s 转过的弧长为9π×10=90π(cm).
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下面说法正确的有( )
A.角π
3 与角-5 π
3 的终边相同
B.经过30 分钟，钟表的分针转过π 弧度
C.若角α 的终边在直线y=-3x 上，则cosα 的取值为√10
10
D.67°30'化成弧度是3 π
8 rad
答案 AD
解析 角π
3 与角-5 π
3 相差2π，终边相同，故A 正确；
经过30 分钟，钟表的分针顺时针转动半圈，即-π 弧度，故B 错误；
若角α 的终边在直线y=-3x 上，则cosα 的取值为±√10
10 ，故C 错误；67°30'化成弧度是3 π
8 rad，故D 正确.
6.已知角θ 的终边经过点(-2，-√3)，且θ 与α 的终边关于x 轴对称，则( )
A.sin θ=-√21
7
B.α 为钝角
C.cosα=-2√7
7
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
答案 ACD
解析 因为角θ 的终边经过点(-2，-√3)，
所以sin θ=-√21
7 ，A 正确；
由θ 与α 的终边关于x 轴对称，得α 的终边经过点(-2，√3)，α 为第二象限角，不一定为钝角，cosα=-2√7
7
，B 错误，C 正确；
因为tan θ=√3
2 >0，tan α=-√3
2 <0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.-600°是第 象限角，与-600°角终边相同的最小正角为 弧度.
答案 二 2π
3
解析 因为-600°=120°-2×360°，且120°为第二象限角，故-600°是第二象限角，与-600°角终边相同的最小
正角为120°，其弧度为2π
3 .
8.设α 是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cosα=1
3x，则tan α= .
答案 -√2
4
解析 由题设cosα=
x
√x
2+1=1
3x<0，
则
1
x
2+1=1
9且x<0，可得x=-2√2，
所以tan α=1
x =-√2
4 .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知α=π
3 .
(1)写出与角α 终边相同的角的集合，并求出在(-4π，-π)内与角α 终边相同的角；(6 分)
(2)若角β 与角α 的终边相同，判断角β
2 是第几象限角.(7 分)
解 (1)与角α 终边相同的角的集合为{θ|θ =2k π + π
3 ，k ∈Z}，
令-4π<2kπ+π
3 <-π，
得-13
6 <k<-2
3，
又k∈Z，所以k=-2，-1，
所以在(-4π，-π)内与角α 终边相同的角是-11π
3 ，-5 π
3 .
(2)由(1)知，β=2kπ+π
3 (k∈Z)，
则β
2 =kπ+π
6 (k∈Z)，
则当k 为偶数时，角β
2 是第一象限角；当k 为奇数时，角β
2 是第三象限角，
所以角β
2 是第一或第三象限角.
10.(15 分)某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由
扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知OA=2 米，OB=x 米(0<x<2)，线段BA，线段CD 与´BC ，´AD的长
度之和为6 米，圆心角为θ 弧度.
(1)求θ 关于x 的函数解析式；(7 分)
(2)记该宣传牌的面积为y，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.(8 分)
解 (1)根据题意，´BC的长度为xθ 米，´AD的长度为2θ 米，
所以2(2-x)+xθ+2θ=6，所以θ=2 x +2
x +2 (0<x<2).
(2)依据题意，可知
y=S扇形OAD－S扇形OBC=1
2θ×22-1
2θx2
=-x2+x+2=-(x - 1
2)
2
+9
4 ，0<x<2.
所以当x=1
2时，y 的值最大，最大值为9
4 .
每小题5 分，共10 分
11.(2024·晋中模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，第二象限角α 的终边与单位圆O 交于点P(- 3
5 ，y1)，将角
α 的终边绕原点顺时针旋转π
4 ，交圆O 于点Q(x2，y2)，则x2等于( )
A.√2
10
B.-√2
10
C.7√2
10
D.-7√2
10
答案 A
解析 由三角函数的定义可知cosα=-3
5，
从而y1=sin α=4
5 ，
于是x2=cos(α - π
4)=√2
2 (cosα+sin α)=√2
2 ×1
5=√2
10 .
12.(2024·兰山模拟)如图，在Rt△PBO 中，∠PBO=90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于点A.若圆
弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB=α，则
α
tan α = .
答案 1
2
解析 设扇形的半径为r，则扇形的面积为1
2αr2，
在Rt△POB 中，PB=rtan α，
则△POB 的面积为1
2r2tan α，
由题意得1
2r2tan α=2×1
2αr2，
即tan α=2α，所以
α
tan α =1
2.
