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专题01 集合与常用逻辑用语、
复数与平面向量（十五大题型）
1
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一、交集
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由
，得
，所以
，
故选：D.
2．（2025·湖南邵阳·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可.
【详解】因为集合
，集合
，
则
.
故选：B.
3．（2025·湖南·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得集合
，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：A.
4．（2025·湖南常德·一模）已知集合
，
，则
（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，再由交集运算求解可得.
【详解】因为集合
，
，
所以
，
即
.
故选：A
5．（2025·湖南·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解对数不等式得集合
，然后由交集定义计算．
【详解】由已知
，所以
．
故选：C．
6．（2025·湖南·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据解绝对值不等式得到集合
，由真数为正得到集合
，从而得到
.
【详解】由
，
或
，
所以
.
故选：D.
7．（2025·湖南·一模）已知集合
，则
（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合
，利用集合交集的概念可得结果.
【详解】集合
.
由
得
，等价于
，故
，
由
得
.
故选：B.
二、补集
8．（2025·湖南长沙·一模）已知集合
，则
．
【答案】
【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知集合
，则
，
故答案为：
9．（2025·湖南长沙·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出各个集合，再由集合的补集和交集的定义求解即可
【详解】解不等式
，则其解为
.
又因为
，所以
.
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求解集合
：解不等式
，则
，得
，所以
. 那么
或
.
所以
.
故选：B.
三、集合的基本关系
10．（2025·湖南·一模）设集合
，则集合
与集合
的关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求函数
的值域和函数
的定义域，即得集合
，从而可确定选项.
【详解】由
，
，可得
，则
，故
，
又由
有意义，可得
，即得
，故
，
则显然有
.
故选：C.
四、充分条件与必要条件
11．（2024·湖南郴州·模拟预测）设
，向量
，
，则
是
的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.
【详解】当
时，向量
，
，
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此时有
，所以
，故是充分条件；
当
时，
，解得
，故不是必要条件；
所以
是
的充分不必要条件，
故选：B.
12．（2025·湖南邵阳·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可.
【详解】绘制出
的图像，
当
时，
，当
时，
.
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
13．（2025·湖南长沙·一模）设数列
的前n 项和为
，若命题
“数列
为等差数列”，命题
“对任意的
，
成等差数列”，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】运用等差数列定义性质证明充分性，构造满足
但不满足
的数列，说明不是必要条件.
【详解】若数列
为等差数列，设其首项为
，公差为
.
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则
；
；
所以
，
故对任意的
，
成等差数列，
即
，所以p 是q 的充分条件；
构造数列
：
即数列的通项
，
该数列不是等差数列.
下面证明此数列
满足对任意的
，
成等差数列.
当
时，
即
，也即
成等差数列，满足题意；
当
，对任意
时，
，
故当
，对任意
时，
成等差数列；
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当
时，对任意
时，
，
，
，
由上可知
则
，故
，
故当
时，
成等差数列；
当
，对任意
时，
，
，
，
由
，
则
，故
，
当
，对任意
时，
成等差数列；
综上所述，对任意正整数
，
8
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数列
满足
成等差数列，但不是等差数列.
故
，所以p 不是q 的必要条件，
综上可知，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是利用题意条件构造特殊数列，进而判断不必要性.
五、复数的四则运算
14．（2025·湖南·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用复数乘法求复数.
【详解】由
．
故选：C
15．（2025·湖南衡阳·一模）若复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可.
【详解】
，
所以
的虚部为
.
故选：D.
六、复数的模长
16．（2025·湖南邵阳·一模）已知复数
满足：
（
，i 为虚数单位），则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】化简
，再利用复数的除法求得复数
，从而求出其模长.
【详解】∵
，
∴
，∴
，
∴
.
故选：C.
七、共轭复数
17．（2025·湖南·一模）若
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出，再求出
，最后计算
的值.
【详解】已知
，则
.
化简得到
，轭复数
.
可得：
故选：C.
八、复数的几何意义
18．（2025·湖南·一模）（多选）已知复数
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几
何意义及坐标表示即可判断CD.
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【详解】对于A，设
，显然
，
但
，故A 错；
对于B，设
，
则
，
，
，
所以
，故B 对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数
在复平面内对应向量
，
复数
对应向量
，复数加减法对应向量加减法，
故
和
分别为
和
为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以
，
，故C 对，D 对.
故选：BCD.
九、复数的三角表示
19．（2025·湖南·一模）若复数z 在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则
的对应点均在
（ ）
A．一条直线上
B．一个圆上
C．一条抛物线上
D．一支双曲线上
【答案】B
【分析】根据已知条件设出
，化简
，由此确定正确答案.
【详解】依题意，复数z 在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，
设圆的半径为，则可设
，
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则
，
的对应点均在半径为
的圆上.
故选：B
十、平面向量平行与垂直
20．（2025·湖南·一模）设向量
．若
，则实数
.
【答案】
【分析】由向量的垂直关系列方程求解即可.
【详解】由
得
，即
，
由向量的坐标，得
，解得
.
故答案为：
.
21．（2025·湖南岳阳·一模）已知向量
.若
，则
.
【答案】
【分析】用向量平行的坐标表示计算即可；
【详解】
，
，
因为
，所以
，即
.
故答案为：
.
22．（2025·湖南·一模）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
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【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
十一、平面向量的模长
23．（2025·湖南·一模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】利用给定条件结得到
，再结合向量数量积的定义求解即可.
【详解】由题意得
，两边平方得
，
整理得
，由向量数量积的公式得
，
而
，故
，
因为
，所以
，即
，故B 正确.
故选：B
24．（2025·湖南常德·一模）已知平面向量
均为单位向量，且夹角为
，若向量与
共面，且满足
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，然后由
解方程组求出
，再利用模长的定义求出即可.
【详解】设
，
因为
，
又
，即
，
解得
，
所以
，所以
，
故选：B.
十二、平面向量的基本定理
25．（2025·湖南·一模）如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分别交
直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，结合平面向量的减法可得出
，结合
，
，
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可得出
，利用
、
、
三点共线，可求出
的值.
【详解】连接
，因为点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
，
即
，所以，
，
又因为
，
，则
，
因为
、
、
三点共线，设
，则
，
所以，
，且
、
不共线，
所以，
，
，故
，因此，
.
故选：C.
26．（2025·湖南·一模）在
中，
．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
为
的中点得到
，再由
，即可求解；
【详解】因为
，所以
为
的中点，所以
．
又
，所以
，所以
，
所以
，
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所以
，所以
．
故选：C
十三、投影向量
27．（2025·湖南长沙·一模）已知平面向量
，
满足
，
，且
在
上的投影向量为
，则
为 .
【答案】
【分析】表示出投影向量，即可求得
，进而利用
求得结果.
【详解】由题知，
在
上的投影向量为
，
即
，则
，
，
所以
.
故答案为：
十四、平面向量的其他综合
28．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据向量数量积公式求出
，再利用三角函数诱导公式求出结果.
【详解】根据向量数量积公式
.
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先求
，
.
再求
.
.
所以
.
根据三角函数诱导公式
，所以
.
故选：C.
29．（2025·湖南·一模）（多选）已知点
在线段
上，
是
的角平分线，
为
上一点，且
满足
，
设
，下列说法正确的是（ ）
A．
点的轨迹是双曲线
B．
是三角形
的内心
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的
定义进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由
，可设
，
，
所以点
的轨迹是以
为焦点，实轴长为
的双曲线的右支（不含右顶点），故A 错误；
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因为
是
的角平分线，且
，
所以
，又
表示
方向上的单位向量，
表示
方向上的单位向量，
则
在
的角平分线上，所以
也为
的角平分线，
为
的内心，故B 正确；
如图，设
，
则
，
，
则由双曲线与内切圆的性质可得，
，故C 正确；
又
，所以
，
在
上的投影长为
，
所以
在
上的投影向量为
，故D 正确.
故选：BCD
十五、平面向量中的最值问题
30．（2025·湖南永州·一模）在
中，
，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
为坐标原点，
所在直线为x 轴，过
垂直BC 的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标
系，求得点
的轨迹方程，取
的中点为
，求得
的轨迹方程，数形结合可求
.
【详解】由题意，以
为坐标原点，
所在直线为x 轴，过
垂直
的直线为
轴建立如图所示的平面
直角坐标系，
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则
，
，由
，可得
是以
为直径的圆，
所以
的轨迹方程为
，
取
的中点为
，设
，
可得
，所以
，所以
，
所以点
的轨迹方程为
，圆心为
，半径为，
由
，所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
31．（2025·湖南邵阳·一模）已知
分别为
三个内角
的对边，且
，则
；若
，
，
，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
/
/
【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算
数量积，从而求出取值范围.
【详解】由
及正弦定理，得
，由余弦定理可知
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，
又
，
．
，
，
由余弦定理得
，
，
与
的夹角的余弦值为
．
又
，
，
且
，
，
，
，
故答案为：
，
32．（2025·湖南·一模）已知等边
的外接圆
的面积为
，动点
在圆
上，若
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长
，取线段
的中点
，取
线段
的中点
，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得
，且
再由三角形三边关系列不等式得结论.
【详解】依题意，设
的外接圆的半径为
，则
，故
，
在等边
中由正弦定理得
，则
；
取线段
的中点
，连接
，则
，
所以
；
20
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取线段
的中点
，连接
，则
在线段
上，且
，所以
，
则
又
，
故
，则
．
故答案为：.
21
