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专题02 复数
目录一览
2023 真题展现
考向一 复数的运算
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
真题考查解读
近年真题对比
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
考向二．复数的运算
考向三．共轭复数
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 复数的运算
1．（2023•新高考Ⅰ•第2 题）已知z= 1−i
2+2i，则z−z =（ ）
A．﹣i
B．i
C．0
D．1
【答案】A
解：z= 1−i
2+2i = 1
2 ⋅1−i
1+i = 1
2 ⋅
(1−i)
2
(1+i)(1−i) =−1
2 i，
则z = 1
2 i，
故z−z =−i．
故选：A．
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
2．（2023•新高考Ⅱ•第1 题）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
1
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则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），
位于第一象限．
故选：A．
【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力．
【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念
与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数
的几何意义；④复数的模．
【得分要点】
1．复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2．复数的几何意义
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系
在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
1．（2021•新高考Ⅱ）复数
在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A．
解：∵
＝
＝
，
∴在复平面内，复数
对应的点的坐标为（
，
），位于第一象限．
考向二．复数的运算
2．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（ ）
A．﹣2+4i
B．﹣2﹣4i
C．6+2i
D．6﹣2i
【答案】D．
解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
考向三．共轭复数
2
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3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+ ＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【答案】D．
解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝
，
∴z＝1+i，则
，
∴
．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）
A．6﹣2i
B．4﹣2i
C．6+2i
D．4+2i
【答案】C．
解：∵z＝2﹣i，
∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其
几何意义、复数的模。预计2024 年还是主要体现在这四个考点上出题。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县模拟预测）已知复数
，若的共轭复数为
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．10
【答案】B
解：
.
2．（2023·安徽合肥·二模）设i 是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
解：由题意得
，所以在复平面内表示复数
的点为
在第二象限．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）在复平面内，复数
（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3
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解：
，在复平面内对应的点在第一象限.
4．（2023·江苏徐州模拟预测）已知复数
，其中i 是虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解：设
，
，则
，
故
，
，
，
5．（2023·全国·校联考三模）已知复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
解：因为
，所以
，所以
，所以
的最大值为
．
6．（2023·河南开封·统考三模）在复平面内，复数对应的点的坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解：因为复数对应的点的坐标为
，
所以
，
所以
.
7．（2023·宁夏银川·统考一模）已知复数在复平面内对应的点是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：复数在复平面内对应的点为
，则
，
所以
.
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知
，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解：因为
，所以
，
所以复数在复平面内所对应的点为
，位于第一象限；
4
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9．（2023·湖南常德市模拟预测）已知复数
与
在复平面内对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解：由
对应点为
，则
对应点为
，故
，
所以
.
10．（2023·河北沧州·统考三模）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知
，则下列数是z 的同部复数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：由于
，其实部和虚部均为
，
而
与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以
是的同部复数.
11．（2023·海南海口模拟预测）设
，其中
，
为实数，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
解：
，
∴
，
，
.
12．（2023·吉林长春模拟预测）复数
的平方根是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】A
解：设
的平方根为
，则
，即
，
从而
解得
或
所以复数
的平方根是
或
，
13．（2023·陕西安康中学模拟预测）设复数
的实部与虚部互为相反数，则
（ ）
5
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A．
B．
C．2
D．3
【答案】D
解：
，
由已知得
，解得
，
14．（2023 海南华侨中学一模）设i 为虚数单位，复数满足
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
解：∵
，∴
.
15．（2023·广西模拟预测）已知复数满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解：设
，
依题意得，
，
.
解得
，
，所以
.
16．（2023·江西南昌十中模拟预测）如图，在复平面内，复数对应的点为
，则复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解：由图可知，点
的坐标为
，故
，
则
.
17．（2023·河南郑州模拟预测）已知i 为虚数单位，复数z 满足
，则
的虚部为（ ）
A．2
B．3
C．2i
D．3i
【答案】B
解：由题可得
，
6
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故
，其虚部为3，
18．（2023·河南南阳中学三模）已知为虚数单位，
，则复数
在复平面上所对应的点
在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
解：因为
，
则
，
所以
在复平面上所对应的点为
位于第二象限.
19．（2023 江苏省镇江中学三模）已知复数
（为虚数单位），
在复平面上对应的点
分别为
.若四边形
为平行四边形（
为复平面的坐标原点），则复数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：因为复数
､
为虚数单位)､
在复平面上对应的点分别为
，
所以
，
设
，因为
为平行四边形(
为复平面的坐标原点)，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
20．（2023·河南郑州模拟预测）已知
（a，
，i 为虚数单位），则复数
（ ）
A．2
B．
C．
D．6
【答案】B
解：∵
，
∴
，
∴
，解得
，
7
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所以
．
21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数
，其中
为实数，且满足
，
则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
解：依题意，
，而
为实数，
则
，解得
，所以复数
的虚部为2.
22．（2023·河南模拟预测）已知
，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
解：∵
，
∴复数z 所对应的点为
，位于第四象限.
23．（2023·云南曲靖模拟预测）已知复数
（是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解：
.
24．（2023·河北沧州模拟预测）已知复数满足
，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一，四象限
D．第二、三象限
【答案】D
解：设
，所以
，
所以
，解得
，所以
，
25．（2023·安徽·合肥一中模拟预测）若复数满足
，则的共轭复数的虚部
是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】A
解：因为
，
所以
，
所以
，
所以
的虚部是
，
26．（2023·湖南益阳安化县第二中学三模）已知复数满足
，则复数的虚部为（ ）
A．
B．5
C．
D．2
【答案】A
解：因为
，所以
，
故复数的虚部为
.
27．（2023·江苏·金陵中学三模）已知复数z 满足
，则复数z 在复平面内所对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
解：因为
，
所以点
位于第四象限.
28．（2023·湖南长沙·周南中学二模）若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】D
解：因为
，所以
所以
，
所以
.
29．（2023·福建泉州·五中模拟预测）已知复数满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
解：设
，
9
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因为
，
所以
，
因为
，
所以
相当于圆
上的点到点
距离，
所以
的最大值为圆心
到点
距离与圆的半径的和，即
.
30．（2023·云南模拟预测）已知
，
是方程
的两个复根，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】B
解：已知
，
是方程
的两个复根，所以
，
则设
，
，所以
，
31．（2023·全国·模拟预测）设是复数且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
解：根据复数模的几何意义可知，
表示复平面内以
为圆心，1 为半径的圆，而
表示复
数到原点的距离，
由图可知，
.
32．（2023·新疆喀什模拟预测）已知
，
则在复平面内的坐标是（ ）
A．
B．
10
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C．
或
D．
或
【答案】C
解：设
，由
，
得
，
，解得
，
，或
，
，
所以
，或
，则在复平面内的坐标是
或
.
二、多选题
33．（2023·重庆·统考二模）已知复数
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
或
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】BCD
解：对于A，若
，例如：
，则
，故A 错误；
对于B，若
，则
，所以
或
至少有一个成立，即
或
，故B 正
确；
对于C，由
，则
，∵
，∴
，故C 正确；
对于D：若
，则
，故D 正确.
34．（2023·重庆一中模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数
，
，
，
，
，
．若
或（
且
）,称
．若
且
,称
．共余情形均为
．
复数u，v，w 分别满足：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
解：设复数
，若
，因为
，则
无解，
所以
，将
代入
，可得，
，即
，
所以
，解得
，所以
，
又因为
，
11
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设
，所以
，
所以
，
所以复数
对应的点在以
为圆心，为半径的圆上，
所以
，从而最大，故B 错误；
若
，
，则
，
所以当
，
或
，
时
，则
，C 正确；
若
，此时
，则
，A 正确；
若
，此时
，则
，D 正确；
35．（2023·全国·模拟预测）已知是复数，且
为纯虚数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上
D．
的最大值为
【答案】ABC
解：由题意设
，则
．因为
为纯虚数，
所以
，且
，因此
，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C 正确；
，所以B 正确；
表示圆
上的点到点
的距离，且最大距离为
，所以D 不正确．
36．（2023·河北石家庄三模）已知复数
，复数满足
，则（ ）
A．
B．
C．复数
在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为
，则
【答案】AD
解：由已知
，其对应点坐标为
，C 错；
12
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，A 正确；
由
知对应的点在以
对应点为圆心，2 为半径的圆上，
，
因此
，B 错误；
对应点坐标为
，因此D 正确．
37．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数
，
，则（ ）
A．任意
，均有
B．任意
，均有
C．存在
，使得
D．存在
，使得
【答案】AD
解：根据复数的概念可知
不能与实数比大小，故B 错误；
由复数的模长公式可得
，
易知
，且不能同时取得等号，故
，即A 正确；
即动点E
到动点F
的距离，显然E 在抛物线
上，F 在单位圆
上，如图所示，
当
时，
，故D 正确；
若存在
，使得
，则
，
由上知
，即上述方程组无解，故C 错误；
三、填空题
38．（2023 福州第一中学三模）已知复数
，
满足
，
，则
的最大值为_____________.
【答案】4
解：设
，
13
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则
，
所以
，即
，
，
，
当
时，则
取得最大值，最大值为
.
39．（2023·上海华师大二附中模拟预测）复数满足
，则
________.
【答案】
解：设
，则
，
所以
则
，
所以
，解得：
，所以
，
故
.
40．（2023·福州第一中学二模）已知复数
，若
在复平面内对应的点位于第四象限，
写出一个满足条件的
__________.
【答案】
中的一个均可
解：复数
，可得
，
当
时，可得
，
此时复数
对于点点位于第四象限，
当
时，
符合题意.
41．（2023·广东佛山模拟预测）已知
是关于
的方程
的一个根，其中
，
为实数，
则
______.
【答案】
解：因为
是关于
的方程
的一个根，
所以
也是关于
的方程
的一个根，
所以
且
，
所以
，
，
，
所以
.
14
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42．（2023·安徽蚌埠三模）已知
，为虚数单位，若复数
，
，则
______．
【答案】
解：因为
由
，得
，得
．
43．（2023·上海华师大二附中三模）在复平面内，复数z 所对应的点为
，则
___________．
【答案】2
解：由题意可知
，所以
，
44．（2023·上海复旦附中模拟预测）已知复数在复平面内对应的点是A， 其共轭复数
在复平面内对应
的点是
是坐标原点， 若A 在第一象限， 且
， 则
________.
【答案】
解：设
，则由共轭复数的概念可得：
，
由
得：
，
因为
，所以
，故
，
故
.
45．（2023 福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点为
，则
__________.
【答案】
解：由已知可得，
，所以
，
所以，
.
46．（2023·天津和平·耀华中学二模）i 是虚数单位，若复数
为纯虚数，则
______．
【答案】
解：
,
所以
，所以
.
15
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三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di 列方程时，注意a，b，c，d∈R 的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就
不能推出z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
16
