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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1. 设全集
,集合
，
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设
，则
（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
3. 执行下面的程序框图，输出的
（ ）
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
4
已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，则
（ ）
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A.
B.
C. 15
D. 40
6. 某地
中学生中有
的同学爱好滑冰，
的同学爱好滑雪，
的同学爱好滑冰或爱好滑雪.
在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A. 0.8
B. 0.6
C. 0.5
D. 0.4
7. 设甲：
，乙：
，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙
充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与圆
交
于A，B 两点，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5 人中安排2 人参加
公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A. 120
B. 60
C. 30
D. 20
10. 函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图
象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积
为（ ）
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A.
B.
C.
D.
12. 设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点 P 在C 上，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13. 若
为偶函数，则
________．
14. 若x，y 满足约束条件
，设
的最大值为____________．
15. 在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体
的棱共有____________个公共点．
16. 在
中，
，
的角平分线交BC 于D，则
_________．
三、解答题
17. 设
为数列
的前n 项和，已知
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和
．
18. 如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距
离为1．
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（1）证明：
；
（2）已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40 只小白鼠，随机地将其中20 只分配到实验组，另外
20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间
后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
（1）设
表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求
的分布列和数学期望；
（2）实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40 只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照组
实验组
（ii）根据（i）中
列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的
增加量有差异．
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附：
0.100
0.050
0.010
2
706
3.841
6.635
20. 已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
（1）求
；
（2）设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
21. 已知函数
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求a 的取值范围．
四、选做题
22. 已知点
，直线
（t 为参数），
为的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分
别交于A，B 两点，且
．
（1）求
；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
23. 设
，函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）若曲线
与
轴所围成的图形的面积为2，求
．
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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
【1 题答案】
【答案】A
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】B
【4 题答案】
【答案】D
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】A
【7 题答案】
【答案】B
【8 题答案】
【答案】D
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】C
【11 题答案】
【答案】C
【12 题答案】
【答案】B
二、填空题
【13 题答案】
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【答案】2
【14 题答案】
【答案】15
【15 题答案】
【答案】12
【16 题答案】
【答案】
三、解答题
【17 题答案】
【答案】（1）
（2）
【18 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19 题答案】
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i）
；列联表见解析，（ii）能
【20 题答案】
【答案】（1）
（2）
【21 题答案】
【答案】（1）答案见解析.
（2）
四、选做题
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【22 题答案】
【答案】（1）
（2）
【23 题答案】
【答案】（1）
（2）2
