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重难点培优04 三次函数的图像与性质
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 三次函数的零点（★★★）............................................................................................................5
题型二 三次函数的单调性、极（最）值（★★★★★）........................................................................6
题型三 三次函数的对称性（★★★★）....................................................................................................7
题型四 三次函数的切线（★★★）............................................................................................................8
题型五 三次函数综合问题（★★★★★）................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................11
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................11
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................14
1、三次函数的概念
形如
的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，a，b，c，d 是常数
其导函数为二次函数
，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
2、三次方程
的实根个数
，判别式为：△=
，设
的两根为
、
(1) 若
，则
恰有一个实根；
(2) 若
,且
，则
恰有一个实根；
(3) 若
,且
，则
有两个不相等的实根；
(4) 若
,且
，则
有三个不相等的实根.
注：①f ( x)=0 含有一个实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴只相交一次，
即f ( x)在
上为单调函数（或两极值同号），所以b2−3ac≤0 （或b2−3ac >0 ，且
f ( x1)⋅f ( x2)>0 ）.
②f ( x)=0 有两个相异实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以b2−3ac >0 ，且f ( x1)⋅f ( x2)=0 .
③f ( x)=0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴有三个公共点，即
f ( x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故b2−3ac >0 且f ( x1)⋅f ( x2)<0 .
④三次方程韦达定理
若一元三次方程
存在三个实数根，则：
3、三次函数的单调性
三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0),
（1）若b2−3ac≤0 ，则f ( x)在(−∞,+∞)上为增函数；
（2）若b2−3ac >0 ，则f ( x)在(−∞, x1)和( x2,+∞)上为增函数，f ( x)在( x1, x2)上为减函数，其中
x1=−b−√b2−3ac
3a
, x2=−b+√b2−3ac
3a
.
证明：f '( x)=3ax 2+2bx +c ,
=
△4b2−12ac=4(b2−3ac )，
①当Δ≤0 即b2−3ac≤0 时，f '( x)≥0 在 R 上恒成立， 即f ( x)在(−∞,+∞)为增函数.
②当Δ>0 即b2−3ac >0 时，解方程f '( x)=0 ，得
x1=−b−√b2−3ac
3a
, x2=−b+√b2−3ac
3a
f '( x)>0 ⇒x<x1或x>x2 ⇒f ( x)在(−∞, x1)和( x2,+∞)上为增函数.
f '( x)<0⇒x1<x<x2⇒f ( x)在( x1, x2)上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0),
(1) 若b2−3ac≤0 ，则f ( x)在R 上无极值；
(2) 若b2−3ac >0 ，则f ( x)在R 上有两个极值；且f ( x)在x=x1处取得极大值，在x=x2 处取得极小
值.
4、三次函数的对称性
三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0)的图象关于点
(−b
3a ,f (−b
3a ))
对称，并且f '( x)在
x=−b
3a
处取得最小值，其图象关于直线
x=−b
3a 对称.
证明1：
f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d=a( x+ b
3a )3+(c−b2
3a )( x+ b
3a )+f (−b
3a )
易知
g( x)=ax 3+(c−b2
3a )x
是奇函数，图象关于原点对称，则f ( x)关于点
(−b
3a ,f (−b
3a ))
对称.
f '( x)=3ax 2+2bx +c ，∵a>0 ∴当
x=−b
3a 时，f '( x)取得最小值，显然y=f '( x)图象关于
x=−b
3a 对称.
证明2：设y=f ( x)的图象关于点(m,n)对称，任取 y=f ( x)图象上点A(x , y)，则A 关于(m,n)的对
称点A '(2m−x ,2n−y)也在y=f ( x)图象上2n−y=a(2m−x)3+b(2m−x)2+c(2m−x)+d ,
∴y=ax 3−(6 ma+b)x2+(12m2a+4 mb +c)x−(8m3a+4 m2b+2mc+d−2m)
∴¿{b=−6ma−b¿{c=12m
2a+4mb+c¿¿¿
5、三次函数
图象的切线条数
过
（
）的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l 和函数
的图象分割
为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、
内的点作
Ⅲ
的切线，有且仅有三条；
②过区域Ⅱ、
内的点以及对称中心作
Ⅳ
的切线，有且仅有一条；
过切线
③
l 或函数
图象（除去对称中心）上的点作
的切线，有且仅有两条．
切线条数口诀：内一、上二、外三．
6、常用结论
（1）三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0)的图象关于点
(−b
3a ,f (−b
3a ))
对称
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
（3）
是可导函数，若
的图象关于点
对称，则
图象关于直线
对称.
（4）若
图象关于直线
对称，则
图象关于点
对称.
（5）已知三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，
，则
有
.
题型
一
三次函数的
点
零
【技巧通法·提分快招】
①f ( x)=0 含有一个实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴只相交一次，
即f ( x)在
上为单调函数（或两极值同号），所以b2−3ac≤0 （或b2−3ac >0 ，且
f ( x1)⋅f ( x2)>0 ）.
②f ( x)=0 有两个相异实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴有两个公共点且其中之一
为切点，所以b2−3ac >0 ，且f ( x1)⋅f ( x2)=0 .
③f ( x)=0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f ( x)与
轴有三个公共点，即
f ( x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故b2−3ac >0 且f ( x1)⋅f ( x2)<0 .
1．（2025·云南红河·三模）函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若函数
有三个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数
（
且
）在
上有唯一零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·云南昆明·一模）已知函数
，
，且
，若当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西太原·一模）已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·湖南·二模）已知函数
有三个不同的零点
.
(1)若
，求的取值范围；
(2)若
，且对任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，比较
的极大值与
的大小.
题型二 三次函数的单
性
（
）
调
、极
最
值
【技巧通法·提分快招】
三次函数的单调性
三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0),
（1）若b2−3ac≤0 ，则f ( x)在(−∞,+∞)上为增函数；
（2）若b2−3ac >0 ，则f ( x)在(−∞, x1)和( x2,+∞)上为增函数，f ( x)在( x1, x2)上为减函数，其中
x1=−b−√b2−3ac
3a
, x2=−b+√b2−3ac
3a
.
1．（24-25 高三下·上海·月考）已知函数
在区间
上有最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，若
为函数
的极小值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·福建宁德·月考）（多选题）已知函数
有两个极值点
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．对于任意
有三个零点
C．对于任意
有两个极值点
D．
时，
在
上存在最大值
5．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
可能没有零点
B．
有两个极值点
C．
，
在
有最大值
D．
，
在
单调递增
6．（2025·河北·一模）已知
均为实数，若
的解集是
且
，则函数
的极大值为 .
7．已知函数
，如果
且
，则
的取值范围为
．
题型三 三次函数的
性
对称
【技巧通法·提分快招】
三次函数f ( x)=ax 3+bx 2+cx +d(a>0)的图象关于点
(−b
3a ,f (−b
3a ))
对称，并且f '( x)在
x=−b
3a
处取得最小值，其图象关于直线
x=−b
3a 对称.
1．已知函数
，则函数
的图像对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·上海·期中）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的
导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的拐点．经研究发现所有的
“
”
三次函数
都有拐点，且该拐点也是函数
“
”
“
”
的图象的对称中心．若
函数
，则
的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
的极大值为0
C．
的图象是轴对称图形
D．
的图象关于点
对称
4．（多选题）设函数
，则（ ）
A．
是极大值点
B．
有三个零点
C．当
时，
D．
的图象关于
对称
题型四 三次函数的
切线
1．（2025·江西新余·模拟预测）过
轴上一点
可以作函数
图像的3 条切线，则
的
取值范围是：（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·广东汕头·月考）若过点
可作曲线
三条切线，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
3．（23-24 高三上·北京·月考）函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得
极值，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上是增函数
D．过点
的图象的切线有且只有1 条
4．（2024·山东·模拟预测）（多选题）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
上的最小值为
B．
的图象与
轴有3 个公共点
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象过点
的切线有3 条
5．已知函数
，且曲线
上有且仅有一个点满足：存在过该点的两条曲线
的切线，
且它们相互垂直，则
的值为 .
6．设函数
在
处取得极值
．
(1)设点
，求证：过点
的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点
可作曲线
的三条切线，求
的取值范围；
(3)设曲线
在点
、
处的切线都过点
，证明：
．
题型五 三次函数
题
综合问
1．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
可能没有零点
B．
有两个极值点
C．
，
在
有最大值
D．
，
在
单调递增
2．（24-25 高三下·江苏南通·月考）（多选题）已知函数
满足
，则
（ ）
A．
B．对于任意
有三个零点
C．对于任意
有两个极值点
D．
时，
在
上存在最大值
3．（2025·辽宁大连·三模）（多选题）已知函数
在
上是增函数，在
上
是减函数，且方程
有3 个实数根，它们分别是
.则（ ）
A．
B．若
是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
5．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）已知函数
有3 个零点和2 个极值点，则
（ ）
A．
的3 个零点之和等于
B．
的3 个零点之积等于
C．
在3 个零点处的切线的斜率之和大于零
D．
的3 个零点和2 个极值点的算术平均数相等
6．（多选题）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的拐点
“
”.某同
学经探究发现：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心
“
”
“
”
，
若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
有且仅有个零点
C．若
在
上的最大值为
，则
D．
7．（多选题）（24-25 高三上·湖北武汉·月考）设函数
，则（ ）
A．当
时，直线
是曲线
的切线
B．若
有三个不同的零点
，则
C．存在
，使得
为曲线
的对称轴
D．当
时，
在
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．（24-25 高三上·全国·月考）某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点
和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的
一部分（该三次函数在A，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成
的夹角，则A，B 两点在水平方向的距离约为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·甘肃兰州·月考）三次函数有如下性质：①设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点；②任何一个三次
“
”
函数都有拐点，且拐点就是该函数图象的对称中心．若直线
“
”
“
”
过函数
图象
的对称中心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，过点
可向曲线
引3 条切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·江苏·月考）已知三次函数
的定义域和值域都为
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
5．（23-24 高三上·辽宁·月考）已知过点
可以作函数
的三条切线，如果
，则
和
应该满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·云南·一模）已知函数
，其导函数
的图象关于直线
对称，且
.若函数
有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
.函数
在
处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个.
①
；
②对任意的
，曲线
在点
处的切线一定与曲线
有两个公共点；
若关于
③
的方程
有三个不同的根
，且这三个根构成等差数列，则
.
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（24-25 高三上·湖南·月考）已知函数
，若
的图象上存在两点
，
，使得
的图象在
，
处的切线互相垂直，且过点
只能作1 条切线与
的图象相切，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）已知函数
，则不正确的是（ ）
A．若点
可能是曲线
的对称中心，则
，
B．
一定有两个极值点
C．函数
可能在
上单调递增
D．直线
可能是曲线
的切线
10．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
处有极大值
C．若
在
上不单调，则
D．若
在区间
上有最小值，则
11．（多选题）已知函数
，则（ ）
A．点
是
图像的对称中心
B．
是
的极小值点
C．当
时，
D．当
时，
12．（24-25 高三下·江苏·开学考试）（多选题）已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数，且方程
有实数根
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为5
13．（24-25 高三上·江西·月考）（多选题）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．若
是
的极小值点，则
在
上单调递减
B．若
是
的极大值点，则
且
C．若
，且
的极小值大于0，则
的取值范围为
D．若
，且
在
上的值域为
，则
的取值范围为
14．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选题）已知
，不等式
的解集是
且
，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数
有1 个极值点
B．函数
的对称中心是
C．当
时
恒成立，则
的最小值是
D．当
恒成立，则
15．（多选题）已知函数
，若过点
可作曲线
的切线有三条，则以下有序
实数对中符合条件的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·湖北武汉·一模）（多选题）已知函数
，若函数
为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
D．
17．（2025·福建莆田·二模）（多选题）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
是
的极大值点
B．存在实数
，使得
成立
C．若
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
D．若
存在唯一的零点
，且
，则
的取值范围是
18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有两个极值
B．过点
且与曲线
相切的直线有且仅有一条
C．当
时，若
是
与的等差中项，直线
与曲线
有三个交点
，则
D．当
时，若
，则
19．（2025·陕西汉中·模拟预测）若关于
的方程
在区间
上有实数根，则
的取值范围
为 .
20．（23-24 高三上·安徽蚌埠·月考）已知所有的三次函数
的图象都有对称
中心
，
，若函数
，则
.
21．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，若
在
有唯一的极值点且为极
大值点，则a 的取值范围为 .
22．（24-25 高三上·江苏盐城·月考）已知函数
恰有两个零点
和一个极大值点
，且
成等比数列.若
的解集为
，则
.
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．（2025·山西·二模）设函数
，对任意
，
.若对任意
，都有
，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．已知函数
有两个极值点
，若
，则关于
的方程
的不同实根个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（多选题）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
是
上的增函数，则
B．当
时，函数
有两个极值
C．当
时，函数
有三个零点
D．若关于
的方程
恰有两个非零的实数根
，则
或
4．（23-24 高三下·山西晋城·月考）（多选题）函数
有三个不同极值点
，且
.则（ ）
A．
B．
C．
的最大值为3
D．
的最大值为1
5．（24-25 高三下·山东·月考）设函数
，其中
，若
，
求
的最小值 ．
6．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数
有三个极值点
，且
，则实数
的取值范围是 ．
