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专题 02 19 题新结构定义题（函数与导数部分）(典型题型归类训练)
1．（2024·广东茂名·统考一模）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“ 类函数”.
(1)若 ，判断 是否为 上的“3类函数”；
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， .
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计
算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力
计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用
计算器得出函数 的零点 的近似值，为了实际应用，本题中取 的值为-0.57．
哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线 ，
其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为 ，其在 处的切线为 ，
现计划再建一条总干线 ，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出 的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线 上的点不在直线 的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线 ，计划将仓库中直线 与 之间的部分设为隔离区，两条运
货总干线 、 分别在各自的区域内，即曲线 上的点不能越过直线 ，求实数m的取值范围．3．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）若 在 上的值域是 的子集，则
称函数 在 上是封闭的.
(1)若 在 上是封闭的，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上是封闭的，求实数 的最大值.
4．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈
德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在 上，
．
(1)请用描述法写出满足方程 的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式 ；
(3)探究是否存在非零实数 ，使得 为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，
请说明理由．5．（2023上·贵州贵阳·高二统考期中）阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而
在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根
究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一
个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻 有相同的位置，就
说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概
念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函
数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不
出变化的.设函数 在实数集 上有定义.为了研究 的变化规律，需要考虑它在 中两点处的函
数值的差.定义（差分和差商）称 为函数 从 到 的差分，这里若无特别说明，均假定
.通常记 叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值 叫做 在 和
的差商.显然，当 和 位置交换时，差分变号，差商不变.随着 所描述的对象不同，差商可以是平均
速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当 时，它是 在区间 上
的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间 上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦
然；某区间 上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.
回答问题：
(1)计算一次函数 的差商.
(2)请通过计算差商研究函数 的增减性.6．（2023下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、
概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函
数 ，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且 ，就称函数
为倒函数．
(1)已知 , ,判断 和 是不是倒函数，并说明理由；
(2)若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是严格增函数．记 ，证
明： 是 的充要条件．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为 的函数，如果存在区间 ，同时满足下列
两个条件：
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
(1)区间 是函数 的黄金区间，求 ， 的值
(2)如果 是函数 的一个“黄金区间”，求 的最大值8．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链
线. 年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为 ，其中 为参数.当 时，该方程就是
双曲余弦函数 ，类似的我们有双曲正弦函数 .
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数 的最小值；
① ；
② ；
③ .
(2)求证：，.
