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4.4 构造函数常见方法（精讲）
常见的构造模型
一．只含
→加变乘，减变除
1.对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)
2.对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)
3.对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx 或F(x)＝f(x)－kx＋b；
4.对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)
5.对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数
(g(x)≠0)．
二．含
1.对于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝exf(x)
2.对于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数g(x)＝enx·f(x)
3.对于f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数
4.对于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数
三．含xf′(x)±f(x)
1.对于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xf(x)．
2.对于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，则构造函数g(x)＝xnf(x)；
1
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3.对于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，则构造函数
．
4.对于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，则构造函数
．
四．f(x)±f′(x)tan x
1.对于f′(x)tan x＋f(x)>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
2.对于f′(x)tan x－f(x)>0(或<0)，构造函数
；
3.对于f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cos x；
4.对于f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数
5.对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)sin x；
6.对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，构造函数
；
7.对于f′(x)cosx－f(x)sin x>0(或<0)，构造函数h(x)＝f(x)cos x；
8.对于f′(x)cosx＋f(x)sin x>0(或<0)，构造函数
考法一 常见构造函数模型
【例1-1】（2023 春·四川凉山）已知函数
满足
，且
的导函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，因为
，所以
，即函数
在
上单调递减，
则
，即
，即
，
2
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所以
，即
的解集为
.
故选：D
【例1-2】（2023·青海海东·统考模拟预测）已知
是奇函数
的导函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，则由
，得
；
当
时，
，则由
，得
．
令
，则
，
故g（x）在
上单调递增，在
上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以
是偶函数，
故
，即
，
，
即
．
与
和
的大小关系不确定．
故选：A．
【一隅三反】
3
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1．（2023 春·江苏盐城）已知函数
的定义域为R，
为
的导函数，且
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造函数
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，又
，即
，
所以
，即
，解得
.故选：D.
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知
是函数
的导函数，对于任意的
都有
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令
，则
满足题目条件，把
代
入
得
解得
，
故选：
.
法二：构造辅助函数.令
，则
，
所以
在
上单调递增，
0
g
x
xf
x
f
x
g x
2
2
2
2
x
f
x
x f
x
2
2
g x
g x
2
2
x
x
2
2
0
x
x
1
2
x
4
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又因为
，所以
，所以
，
故选：D.
3．（2023 秋·陕西西安）已知函数
的定义域为
，其导函数是
. 有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，
因为
，则
，由
可得
，
即
，所以，
，解得
，
因此，不等式
的解集为
.
故选：A.
4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
f x
π π
,
2 2
f
x
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
x
π
2
cos
3
f x
f
x
π π
,
3 2
π π
,
6 2
π
π
,
6
3
π
π
,
2
6
cos
f x
g x
x
π π
,
2 2
x
2
cos
sin
0
cos
f
x
x
f x
x
g
x
x
g x
π π
,
2 2
π π
,
2 2
x
cos
0
x
π
2
cos
3
f x
f
x
π
3
π
cos
cos 3
f
f x
x
π
3
g x
g
π
3
π
π
2
2
x
x
π
π
3
2
x
π
2
cos
3
f x
f
x
π π
,
3 2
R
f x
f
x
2
0
f
x
f x
0
1
f
2e
1
1
f
2
1
e
f
5
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C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，
，故A 不正确；
所以
，即
，即
，故B 不正确；
，即
，即
，故C 正确；
，即
，即
，故D 不正确；故选：C.
考法二 结构同构
【例2-1】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
令函数
，可得
，
当
，可得
，
单调递增；
1
e
2
f
1
1
e
2
f
f
2e x
f x
g x
2
2
2
2
2
e
2
e
2
e
e
x
x
x
x
f
x
f x
f
x
f x
g
x
2
0
f
x
f x
R
0
g
x
R
g x
R
1
0
g
g
2
2
0
1
0
e
1
1
e
e
f
f
f
1
0
g
g
2
0
1
0
e
e
f
f
2
2
1
e
0
e
f
f
1
0
2
g
g
1
0
1
0
2
1
e
e
f
f
1
e
2
f
1
1
2
g
g
1
2
1
1
2
e
e
f
f
1
1
e
2
f
f
2
1
ln3
6
ln27
,
,
e
3
e
p
q
r
p
q
r
p
r
q
r
p
q
r
q
p
2
1
ln e
ln3
6
ln27
,
,
e
e
3
e
p
q
r
lnx
f x
x
2
1 lnx
f
x
x
(0,e)
x
( )
0
f
x
>
f x
6
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当
，可得
，
单调递减，
所以当
，函数
取得极大值，即为最大值
，
函数
的图形，如图所示，
对于函数
，当
且
时，
.
设
且
，
则
，可得
，所以
，所以
,
所以
.
故选：A.
【例2-2】（2023 春·安徽）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
，
对
两边取对数，可得
，
，
，
令
，其中
，
可得
，
令
，可得
，所以
为单调递增函数，
当
时，可得
，所以
,
所以
，
在
单调递增，
(e,
)
x
0
f
x
f x
e
x
f x
e
1
f x
y
f x
lnx
f x
x
1
2
f x
f x
1
2
x
x
2
1
2
e
x x
2
0
e
3
f
f x
2
0
e
3
x
2
2
0
e
e
3
x
0
3
x
0
3
f x
f
2
2
e
6
ln27
3
(
)
3
e
f
f
p
q
r
2ln3
2
a
3ln 2
3
b
ln6
5
c
a
b
c
b
a
c
a
c
b
b<c<a
2ln3
2
a
3ln 2
3
b
ln6
5
c
, ,
a b c
ln
ln 2ln9
a
ln
ln3ln8
b
ln
ln5ln 6
c
ln ln(11
)
f x
x
x
2
5
x
ln(11
)
ln
(11
)ln(11
)
ln
11
(11
)
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
ln ,
1
g x
x
x x
ln
1
0
g
x
x
g x
2
5
x
11
x
x
(11
)ln(11
)
ln
0
x
x
x
x
( )
0
f
x
>
f x
2,5
7
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所以
，即
，
所以
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·新疆乌鲁木齐）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
又
，
，
，
又
，
所以
.
故选：A.
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
所以
在
上单调递增.
又
，所以
，
又
，
，
，
2
3
4
5
f
f
f
f
ln 2ln9
ln3ln8
ln 4ln 7
ln5ln 6
a
b
c
a
b
c
a
c
b
c<a<b
b<c<a
ln x
f x
x
2
1 ln x
f
x
x
2
1 ln
0
x
f
x
x
e
x
0,e
x
0
f
x
f x
e,
x
0
f
x
f x
2
2
2
e
e
a
f
4
ln 2
ln 4
2
4
b
f
ln3
3
3
c
f
2
4
3
e
f
f
f
a
b
c
1 e
4
a
ln3
b
5
2ln
1
2
c
c
b
a
a
b
c
c
a
b
b
a
c
3
ln
,(
0)
1
x
f x
x
x
x
2
2
2
1
4
(
1)
0
(
1)
(
1)
x
f
x
x
x
x x
=
f x
0,
e
3
4
e
3
4
f
f
f
3
e
4
e
ln e
e 1
e 1
f
3
ln3
f
4
ln
1
5
4
f
8
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所以c＞b＞a.
故选:A.
3．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以令
，由
，
知当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因为
所以
，即
.
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
故设
，
则
，
求导得，
，
令
，则
，
2
2
e
,
,
2 e
ln 2
4
ln 4
a
b
c
a
b
c
c
b
a
a
c
b
c
a
b
2
2
2
e
2
4
e
e
2
,
,
2 e
e
ln 2
ln 4
4
ln 4
ln
e
ln 2
a
b
c
( )
ln
x
f x
x
2
ln
1
( )
(ln )
x
f
x
x
0,e
x
( )
0
f
x
( )
f x
e,
x
( )
0
f
x
( )
f x
2e
(2)
(4),
(
),
( e)
2
a
f
f
b
f
c
f
2e
(2)
( e)
,
(4)
(
)
2
a
f
f
c a
f
f
b
c
a
b
2022
ln 2021
a
2023
ln 2022
b
2021
ln 2020
c
c
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
c
ln 2021
ln 2021
2022
2021 1
a
ln 2022
ln 2022
2023
2022 1
b
ln 2020
ln 2020
2021
2020 1
c
2
ln
e
1
x
f x
x
x
2021 ,
2022 ,
2020
a
f
b
f
c
f
2
2
1
ln
e
1
x
x
x
f
x
x
x x
2
1
ln
e
g x
x
x
x x
ln
0
g
x
x
9
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所以函数
在
单调递减，
所以
，
所以
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，
故选：B.
考法三 结构异构
【例3-1】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，则
恒成立，故函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，则
，于是
，即
；
当
时，
，则
，所以
，
而
，于是
，即
；
综上：
.
故选：C
【例3-2】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，所以
，
g x
2e ,
2
2
2
2
e
e
1
2e
1 e
0
g x
g
0
f
x
2e ,
f x
2e ,
2020
2021
2022
2020
2021
2022
f
f
f
c
a
b
sin0.9,
0.9,
cos0.9
a
b
c
, ,
a b c
a
b
c
b
c
a
b
a
c
c
b
a
sin ,
0
f x
x
x x
1 cos
0
f
x
x
( )
g x
(0,
)
0
x
0
0
f x
f
0.9
0.9
sin 0.9
0
f
0.9
sin 0.9
b
a
π π
,
4 2
x
π
π
0,
4
4
x
π
sin
cos
2 sin
0
4
y
x
x
x
sin
cos
x
x
π
π
0.9
4
2
sin 0.9
cos0.9
a
c
b
a
c
98
99
1
98
,
e
,
ln
99
99
a
b
c
, ,
a b c
a
b
c
a
c
b
c<a<b
b
a
c
ln
1
f x
x
x
0,
x
1
1
1
x
f
x
x
x
10
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，所以
单调递增，
则
，
所以
，则
；
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，故
，故
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·陕西商洛·统考三模）若
，
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
．
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
故
，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
从而
．
因为
，所以
，故
．
( )
0
f
x
>
f x
98
98
98
98
1
ln
1
ln
1
0
99
99
99
99
99
f
f
98
1
ln 99
99
c
a
e
1
x
g x
x
e
1
x
g
x
0,
x
0
g
x
g x
0,
98
98
99
99
98
98
1
e
1
e
0
0
99
99
99
g
g
98
99
1
e
99
b
a
c<a<b
0.2
e
a
1.2
b
ln3.2
c
a
b
c
a
c
b
c
a
b
b
a
c
e
1
x
f
x
x
e
1
x
f
x
,0
x
0
f
x
f x
0,
x
( )
0
f
x
>
f x
min
0
0
f x
f
e
1
x
x
0
x
0.2
e
1.2
1 2
0 2
e
e e
e 1 0 2
3 24
3 2
.
.
.
.
.
1 2
ln3 2
.
.
a
b
c
11
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故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：构造法
设
，因为
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，故
，
设
，则
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
．
方法二：比较法
解：
，
，
①
，令
，
，
ln 0.7
a
0.3
0.3e
b
3
7
c
a
b
c
b
a
c
c<a<b
a
c
b
ln 1
1
f x
x
x x
1
1
1
1
x
f
x
x
x
1,0
x
( )
0
f
x
>
0,
x
0
f
x
ln 1
f x
x
x
0,
1,0
3
0
0
7
f
f
10
3
ln
0
7
7
3
10
ln
ln 0.7
7
7
c
a
3
0
0
10
f
f
7
3
ln
0
10
10
3
10
7
e
10
3
10
3
3
e
10
7
b
c
e
ln 1
0
1
x
g x
x
x
x
2
1 e
1
1
1 e
1
1
x
x
x
g
x
x
x
x
2
e
1
1
x
h x
x
2
e
2
1
x
h x
x
x
0
2
1
x
0
h x
2
e
1
1
x
h x
x
2
1
1
x
0
h x
2
e
1
1
x
h x
x
0
0
h
0
2
1
x
0
h x
0
2
1
x
0
g
x
e
ln 1
x
g x
x
x
0.3
0
0
g
g
0.3
0.3e
ln 0.7
b
a
ln 1 0.3
a
0.3
0.3e
b
0.3
1 0.3
c
ln
ln
0.3
ln 1 0.3
b
c
ln 1
f x
x
x
0,0.3
x
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则
，故
在
上单调递减，可得
，即
，所
以
；
②
，令
，
，
则
令
，所以
所以
在
上单调递增，可得
，即
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
．
故
．
故选：A．
3．（2022·陕西·虢镇中学高三阶段练习（理））已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，
因为
，
，
要比较
、
的大小关系只需比较
与
的大小关系，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
，当
时，
，
又
在
上单调递增，所以
，
即
，所以
.
1
1
0
1
1
x
f
x
x
x
f x
0,0.3
0.3
0
0
f
f
ln
ln
0
b
c
b
c
0.3
0.3e
ln 1 0.3
b
a
e
ln 1
x
g x
x
x
0,0.3
x
1
1
e
1
1
e
e
1
1
x
x
x
x
x
g
x
x
x
x
1
1
e
1
x
k x
x
x
2
1
2
e
0
x
k
x
x
x
k x
0,0.3
0
0
k x
k
0
g
x
g x
0,0.3
0.3
0
0
g
g
0
b
a
b
a
a
b
c
0.02
2
e
,
1.01 ,
ln2.59
a
b
c
a
b
c
b
a
c
c
b
a
c<a<b
0
ln1
ln2.59
lne
1
0
1
c
2
1
0.02
100
e
e
1
a
2
2
101
1.01
1
1
00
b
a
b
1
100
e
101
1
1
100
100
e
1
x
f
x
x
0,1
x
e
1
0
x
f
x
f x
0,1
0
0
f x
f
e
1
x
x
1
100
x
1
100
101
1
e
100
2
y
x
=
0,
2
1
100
2
1
e
01
100
1
a
b
a
b
c
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故选：C
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