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5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、
平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
5-3 空间点、直线、平面之间的位置关系............................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：平面.............................................................2
考点2：“三个”推论.....................................................2
考点3：空间中直线与直线的位置关系.......................................2
考点4：空间中直线与平面的位置关系.......................................2
考点5：空间中平面与平面的位置关系.......................................2
考点6：等角定理.........................................................2
考点7：异面直线所成的角.................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 基本事实应用......................................................4
题型二 空间线面位置关系..................................................5
命题点1 空间位置关系的判断..........................................5
命题点2 异面直线所成角..............................................5
题型三 空间几何体的切割(截面)问题........................................6
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................7
1
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一、主干知识
考点1：平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
考点2：“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
考点3：空间中直线与直线的位置关系
考点4：空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
考点5：空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
考点6：等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点7：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成
的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
(2)范围：
．
2
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二、分类题型
3
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题型一 基本事实应用
【例题精析1】
（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别是AB，AD 的中点，
G，H 分别在BC，CD 上，且
．设EG 与FH 交于点P，求证：P，A，C 三点共线．
【解答】因为
，所以
．由已知可得，
平面ABC，
平面
ABC，所以
平面ABC，所以
平面ABC．
同理
，
平面ADC，
平面ADC．所以
为平面ABC 与平面ADC 的一个公共点．又平面
平面
，所以
，所以P，A，C 三点共线．
【例题精析2】
（2023 春·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台
中，E，F，G，H 分
别为棱
，
，AB，BC 的中点．
(1)证明E，F，G，H 四点共面；
(2)证明GE，FH，
相交于一点．
【解答】（1）证明：连接AC，
，如图所示，
4
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因为
为正四棱台，所以
，又E，F，G，H 分别为棱
，
，AB，BC 的中点，
所以
，
，则
，所以E，F，G，H 四点共面．
（2）因为
，所以
，所以EFHG 为梯形，则EG 与FH 必相交．
设
，因为
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，又平面
平面
，所以
，则
GE，FH，
交于一点．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【对点精练1】
如图所示，在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H 分别在BC，CD 上，
且
.求证：
5
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(1)E､F､G､H 四点共面；
(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.
【解答】（1）∵
，∴
.∵E，F 分别为AB，AD 的中点，∴
，且
，∴
，∴E，F，G，H 四点共面.
（2）∵G，H 不是BC，CD 的中点，∴
，∴
，
由（1）知
，故EFHG 为梯形.∴EG 与FH 必相交，设交点为M，
∴
平面ABC，
平面ACD，∴
平面ABC，且
平面ACD，
∴
，即GE 与HF 的交点在直线AC 上.
【对点精练2】
在四面体
中，
，
分别是
，
的中点，
，
分别是边
，
上的点，且
．求证：
6
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(1)
，
，
，
四点共面；
(2)直线
，
，
相交于一点．
【解答】
（1）
连接
，
，在三角形
中，
，所以
，
∵
，
分别是边
，
的中点，∴
，
∴
，
，
，
，
四点共面.
（2）∵
，
为
中点，∴
与
不平行，
∵
平面
，∴
与
相交，设
，
∵
，
平面
，∴
平面
，同理
平面
，
∵平面
平面
，∴
，
∴直线
，
，
相交于一点.
7
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题型二 空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
【例题精析3】
下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C 不共线⇒α，β 重合
【解答】对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3 可知M∈l，A 对；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B 对；
对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C 错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β 中，故α，β 重合，D 对．
【对点精练3】
已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，
则下列说法正确的是( )
A．直线MN 与直线A1B 是异面直线 B．直线MN 与直线DD1相交
C．直线MN 与直线AC1是异面直线 D．直线MN 与直线A1C 平行
【解答】如图，因为M，N 分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N 分别是A1C1，BC1
的中点，所以直线MN 与直线A1B 平行，所以A 错误；
因为直线MN 经过平面BB1D1D 内一点M，且点M 不在直线DD1上，所以直线MN 与直线DD1是异面直线，
所以B 错误；因为直线MN 经过平面ABC1内一点N，且点N 不在直线AC1上，所以直线MN 与直线AC1是
异面直线，所以C 正确；因为直线MN 经过平面A1CC1内一点M，且点M 不在直线A1C 上，所以直线MN
与直线A1C 是异面直线，所以D 错误．
8
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命题点2 异面直线所成角
【例题精析4】
（2021·全国·统考高考真题）在正方体
中，P 为
的中点，则直线
与
所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】如图，连接
，因为
∥
，所以
或其补角为直线
与
所成的角，因
为
平面
，所以
，又
，
，
所以
平面
，所以
，设正方体棱长为2，则
，
，所以
.故选：D
【例题精析5】
如图，正方体
中，E，F 分别是
，DB 的中点，则异面直线EF 与
所
成角的正切值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【解答】如图所示，连接直线
，因为
分别为直线
和直线
的中点，
所以
为
的中位线，所以
，则异面直线EF 与
所成角的正切值即为直线
与
所
成角的正切值，因为
,所以
平面
,
平面
,所以
,所以
为
直角三角形，所以
.故选：B.
【例题精析6】
（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
，
，则直线
与
所成角的余弦值等于（ ）
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A．
B．
C．
D．0
【解答】连接
，
因为
，所以直线
与BC 所成的角即为
，
设
，易得
，
，
，则由余弦定理知，
，故选：C．
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助
正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
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【对点精练4】
如图，在正方体
中，
是
的中点，则异面直线
和
所成角的大小
为 ．
【解答】如下图所示，连接
、
、
，设正方体
的棱长为
，
因为
且
，则四边形
为平行四边形，故
，
所以，异面直线
和
所成角为
或其补角，
因为
，同理可得
，
，
由勾股定理可得
，
由余弦定理可得
，
所以，
，故异面直线
和
所成角的大小为
.故答案为：
.
【对点精练5】
（2023·高一单元测试）在正三棱柱
中，D 为棱AB 的中点，
与
交于点
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E，若
，则CD 与
所成角的余弦值为 ．
【解答】连接
，取
中点F，连接
，EF，则
，
所以
为CD 与
所成的角（或其补角）．
因为在正三棱柱
中，D 为棱AB 的中点，
所以
⊥
，
⊥平面
，
因为
平面
，所以
⊥
，
因为
，
平面
，
所以CD⊥平面
，
可得EF⊥平面
，又
平面
，
所以
．
不妨设
，则
，
，所以
，
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又
，
所以
，
所以
，
所以
＝
．
故答案为：
题型三 空间几何体的切割(截面)问题
【例题精析7】
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N 分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那
么正方体中过M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【解答】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．
如图，设直线C1M，CD 相交于点P，直线C1N，CB 相交于点Q，连接PQ 交直线AD 于点E，交直线AB
于点F，则五边形C1MEFN 为所求截面图形．
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出
它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
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(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【对点精练6】
如图，正方体A1C 的棱长为1，点M 在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M 的平面α 与平面A1BC1
平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
【解答】在平面A1D1DA 中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，
因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，
设正方体的棱长为3a，
则ME＝2a，MI＝a，
IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，
所以截面MIHGFE 的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，
又因为正方体A1C 的棱长为1，即3a＝1，
故截面多边形的周长为3．
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•河南模拟）如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点，则过线
段
且垂直于平面
的截面图形为
A．等腰梯形
B．三角形
C．正方形
D．矩形
【分析】建立空间直角坐标系，取
，
的中点
，
，利用向量可证明
平面
，再由平行
公理及正方体性质确定为等腰梯形．
【解答】解；以
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱
长为2，
分别取
，
的中点
，
．连接
，
，
，
，
则
，0，
，
，1，
，
，0，
，
，2，
，
，2，
，
所以
，1，
，
，2，
，
，2，
，
所以
，
，
即
，
，而
，
，
平面
，
16
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所以
平面
，
由
，
的中点
，
，则
，又
，所以
，
即四边形
为平面四边形，在正方体中易知
，
所以四边形
为等腰梯形，
又
平面
，所以平面
平面
，
故满足题意的截面为等腰梯形
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了空间向量的数量积的性质在截面图形形状判断中的应用，属于中档题．
2．（2023•河南模拟）在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，过
，
，
三点的平面截正方体
所得的截面形状为
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【分析】延长
交
的延长线于点
，延长
交
的延长线于点
，连接
，由此得出过
，
，
三点的平面截正方体所得截面形状．
【解答】解：连接
并延长，交
的延长线于点
，
连接
，交
于点
，延长
，交
的延长线于点
，
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连接
，交
于点
，
连接
、
，则五边形
，如图所示：
所以过
，
，
三点的平面截正方体
所得的截面形状为五边形．
故选：
．
【点评】本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．
3．（2023•洛阳模拟）已知正四棱锥
的底面边长为2，侧棱长为
，
的中点为
，过点
做与
垂直的平面
，则平面
截正四棱锥
所得的截面面积为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意垂直关系可得平面
截正四棱锥
所得的截面面为四边形
，根据相似求
长度，进而根据面积公式即可求解．
【解答】解：连接
，
，
18
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由题意可得：
，即
为等边三角形，
且
为
的中点，可得
，
，
故
平面
，
连接
，设
，连接
，
可得
，
平面
，
且
平面
，则
，
，
，
平面
，所以
平面
，
平面
，则
，
在直线
取一点
，连接
，
，使得
，
在
中，
，
因为
，可得
，
故
，
同理在棱
取一点
，使得
，连接
，
，
，则
，
故平面
截正四棱锥
所得的截面面为四边形
，
因为
，则
，
，
由
，可得
，
19
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所以四边形
的面积
．
故选：
．
【点评】本题考查截面面积的计算，是中档题．
4．（2023•新乡三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
是棱
的中点，过
，
，
三点的截面把正方体
分成两部分，则该截面的周长为
A．
B．
C．
D．
【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可．
【解答】解：如图，取
的中点
，连接
，
，
，
、
分别为棱
、
的中点，则
，正方体中
，则有
，所以平面
为所求截面，
因为正方体
的棱长为2，所以
，
，
，所以四
边形
的周长为
．
故选：
．
20
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【点评】本题考查平面基本性质及推论，属于基础题．
5．（2023•新疆模拟）已知在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点，
，
，
，
，如图所示，若过
、
、
三点的平面作该直三棱柱
的截面，
则所得截面面积为
A．
B．
C．
D．
【分析】
、
、
三点的平面在直三棱柱
的截面为四边形
，结合三角形相似，对应
边成比例可得截面面积．
【解答】解：延长
，
，且
与
相交于
，连接
，并与
相交于
，连接
，则四边
形
为所求的截面，
21
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在
中，由
，
，得
，
在
△
中，由
，
，得
，
因为
为
的中点，所以由平面几何知识可知，△
△
，
所以
，
，即
为
的中点，所以
，
又由
，可得△
△
，
又
，
，所以
，
在
中，由
，
，得
，所以
，
所以在
中，有
，
，
，即
，
所以
，
在
中，
为斜边中点，
为直角边
的三等分点，
，
四边形
的面积为
，
故选：
．
【点评】本题考查空间几何体的截面问题，属于中档题．
6．（2023•金凤区校级三模）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
为长方形，
，
，
为
上一点，且
，则异面直线
与
所成的角的余弦值为
22
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A．
B．
C．
D．
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出
后可求线线角的余弦值．
【解答】解：因为
平面
，
，
平面
，故
，
，
底面
为长方形，故
，所以
，
，
两两互相垂直，
以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
，
，
，0，
，
，
，
，2，
，
，
所以
，
，
设异面直线
与
所成的角为
，则
，
所以异面直线
与
所成的角的余弦值为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查异面直线及所成的角，考查转化能力，属于基础题．
7．（2023•柯桥区模拟）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形
的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，
面
，
，底面
扇环所对的圆心角为
，
的长度是
长度的2 倍，
，则异面直线
与
所成角的正弦值
为
23
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A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，连接
、
，设
与
延长后交于点
，设弧
所在圆的半径为
，弧
所在圆的半径为
，由弧长公式分析可得
，可得
、
是边
和
的中点，由此可得
，
分析可得异面直线
与
所成角就是
，利用勾股定理求出
的长，求出
的值，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，连接
、
，设
与
延长后交于点
，
设弧
所在圆的半径为
，弧
所在圆的半径为
，
由于
的长度是
长度的2 倍，则
，则
、
是边
和
的中点，
则有
，又由
，则有
，
又由
面
，则
面
，则有
，
为直角三角形，
故异面直线
与
所成角就是
，
又由
，则
，故
，
，则
，
则
．
故选：
．
24
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【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及组合体的几何结构，属于基础题．
8．（2023•河南三模）已知三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】取
的中点
，则
，
或其补角即为异面直线
与
所成的角，求出所需边
长，利用余弦定理求
即可．
【解答】解：如图所示，取
的中点
，连接
，
，
则
，
或其补角即为异面直线
与
所成的角．
由
，
，
，则有
，所以
，
为
的中点，则
，
平面
，
中，
，
中，
，
，
在
中，根据余弦定理可得
．
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故选：
．
25
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【点评】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．
9．（2023•甘肃模拟）在直三棱柱
中，
，点
，
分别是
，
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示，取
的中点
，连接
，
则根据题意易得四边形
为平行四边形，
，
直线
与
所成角为
，
又根据题意易知
平面
，且
平面
，
，又
，
，
，
故选：
．
26
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【点评】本题考查异面直线所成角问题，化归转化思想，属基础题．
10．（2023•定远县校级一模）如图，在长方体
中，已知
，
，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解．
【解答】解：取
的中点
，连接
，
，
，
根据题意易知
，
为异面直线
与
所成的角或其补角，
又
，
，
由余弦定理得
．
故选：
．
【点评】本题考查异面直线所成角的求解，余弦定理的应用，属基础题．
27
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11．（2023•安康一模）在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的
余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】平移
到
，再连接
，再解三角形即可求出答案．
【解答】解：平移
到
，再连接
，则
或其补角为异面直线
与
所成的角，
设正方体的棱长为2，易得
，
由余弦定理得
，
故选：
．
【点评】本题考查了异面直线所成角的求解，属于基础题．
12．（2023•台州二模）已知菱形
的边长为3，对角线
长为5，将
沿着对角线
翻折至△
，使得线段
长为3，则异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
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【分析】由题知
，
，
，先计算出
，
，再利用公式
，算出两向量的夹角的余弦值，从而得出异面直线
与
所成角的余弦值．
【解答】解：如图，因为
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
所以
，
即
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故选：
．
【点评】本题考查立体几何中翻折问题，向量法求解异面直线所成角问题，化归转化思想，属中档题．属
中档题．
13．（2023•新余二模）在长方体
中，
，
，点
、
分别是棱
、
的中点，
、
、
平面
，直线
平面
，则直线
与直线
所成角的余弦值为
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A．
B．
C．
D．
【分析】由题意画出图形，利用平行定理对直线进行平移、从而实现在三角形内求解角度．
【解答】解：如图，
连接
并延长，交线段
的延长线于点
，连接
交
于点
，
知
，连接
，由正方体的结构特征知
，
异面直线
与
所成的角为
，
在
中，由已知得
，
，
，
则
．
故选：
．
【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系及异面直线所成的角，考察逻辑推理能力、空间想象
能力和运算求解能力，是中档题．
14．（2023•陕西模拟）在正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中点，则异
面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】连接
，
，
可得
即为异面直线
与
所成角，设正方体的棱长为2，由余弦
定理可得答案．
30
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【解答】解：连接
，
，
，则
，
则
即为异面直线
与
所成角，
设正方体的棱长为2，则
，
，
则
，
即异面直线
与
所成角的余弦值为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题．
15．（2023•梅河口市校级一模）直三棱柱
如图所示，
，
，
，
为棱
的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为
，则异面直线
和
所成的角的余
弦值为
A．
B．
C．
D．
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【分析】由三棱柱的外接球的表面积求出外接球的半径，进而求出
的长，以点
为坐标原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算求出
异面直线
和
所成的角的余弦值即可．
【解答】解：
，
，
，
，
，
则
的外接圆的圆心为
的中点
，
同理，△
的外接圆的圆心为
的中点
，
连接
，则三棱柱外接球的球心
为
的中点，连接
，
设外接球的半径为
，则
，
，
，
，
，
以点
为坐标原点，分别以
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图
所示，
则
，0，
，
，0，
，
，0，
，
，3，
，
，0，
，
，3，
，
，
，
即异面直线
和
所成的角的余弦值为
．
故选：
．
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【点评】本题主要考查直三棱柱的外接球问题，考查了利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题．
16．（2023•贵州模拟）如图，圆柱的底面直径
与母线
相等，
是弧
的中点，则
与
所成
的角为
A．
B．
C．
D．
【分析】作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角．
【解答】解：取
的中点
，连接
，
，
，则
，且
，
故四边形
为平行四边形，所以
，
所以
或其补角为
与
所成角，
设
，则
，由勾股定理得：
，
，
，
由余弦定理得
，
故
，
所以
与
所成角为
．
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故选：
．
【点评】本题考查异面直线所成角问题，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
17．（2023•河南模拟）在正三棱柱
中，
，
为
的中点，
为
的中点，则
异面直线
与
所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【分析】本题建立适当坐标系，求出
与
的坐标，再利用空间向量求异面直线夹角余弦值的公式即
可求出答案．
【解答】解：
如图，
，设正三棱柱的棱长为
，建立如图所示坐标系，
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，0，
，
，0，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，0，
，
设异面直线
与
所成角为
，
．
故选：
．
【点评】本题考查异面直线夹角问题，属于中档题．
二．多选题（共1 小题）
18．（2023•合肥三模）下列命题正确的有
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面
，
，则存在直线
，
，使得
，
为异面直线
C．过平面
外一定点
，有且只有一个平面
与
平行
D．已知空间中有两个角
，
，若直线
直线
，直线
直线
，则
或
【分析】利用平面性质判断选项
；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项
；利用线面垂直的性
质判断选项
；举反例否定选项
．
【解答】解：选项
：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面．判断错误；
选项
：已知不重合的两个平面
，
，则
，或
，
相交，
两种情况均存在直线
，
，使得
，
为异面直线．判断正确；
选项
：过平面
外一定点
，有且只有一条直线
与平面
垂直，
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过点
有且只有一个平面
与直线
垂直，则
．
则过平面
外一定点
，有且只有一个平面
与
平行．判断正确；
选项
：在如图正方体中，直线
直线
，直线
直线
，
由
，可得
，
且
．判断错误．
故选：
．
【点评】本题考查平面的基本性质及推论，属于中档题．
19．（2023•咸宁模拟）已知正方体
的棱长为2，点
为
的中点，
平面
，平
面
过点
，则平面
截正方体所得截面图形的面积为
．
【分析】利用线面垂直的判定和性质可分别证得
，
，由此可得
平面
，由此
可知平面
平面
；过
可作出平面
的平行平面
，即为平面
，可知截面为
；根
据长度关系，利用梯形面积公式可求得截面面积．
【解答】解：分别取
，
中点
，
，
四边形
为正方形，
，
平面
，
平面
，
，
，
，
平面
，
平面
，
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又
平面
，
，又
，
；
，
，
又
，
，即
，
平面
，
平面
，
，
，
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
；
，
，
平面
，
平面
；
又
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
；
延长
至点
，使得
，取
中点
，连接
，交
于点
，
，
四边形
为平行四边形，
；
平面
，
平面
，
平面
；
，
平面
，
平面
，
平面
；
，
，
平面
，
平面
平面
，
则平面
即为平面
，
四边形
即为平面
截正方体所得截面，
平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
；
又
为
中点，
为
中点，
，又
，
，
则梯形
的高
，
四边形
的面积
，即截面图形的面积为
．故答案为：
．
【点评】本题考查平面的基本性质，属于中档题．
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