北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.8 函数模型及函数的综合应用
应用篇
【应用集训】
1.(2020福建永安一中、漳平一中第一次联考,8)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的
a
水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有 升,
4
则m的值为 ( )
A.5 B.8 C.9 D.10
答案 A
2.(2020江西新余四中月考,11)中国古代近似计算方法源远流长,早在8世纪,我国著名数学家张遂为编制《大
衍历》发明了一种二次不等距插值算法.若函数y=f(x)在x=x,x=x,x=x(x<x<x)处的函数值分别为
1 2 3 1 2 3
y=f(x),y=f(x),y=f(x),则在区间[x,x]上f(x)可以用二次函数来近似代替,f(x)=y+k(x-x)+k(x-x)(x-x),其中k=
1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1
y - y ,k= y - y ,k= k-k .若令x=0,x=π,x=π,请依据上述算法,估算sin π的值是 ( )
2 1 3 2 2 1 1 2 3
x -x x -x x -x 2 5
2 1 3 2 3 1
14 3 16 17
A. B. C. D.
25 5 25 25
答案 C
[教师专用题组]
【应用集训】
1.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、发展创新能力和实践能力、
促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余
数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数
y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( )
A.y=[ x ] B.y=[x+2]
10 10
C.y=[x+3] D.y=[x+4]
10 10
答案 B 采用特值法.令余数分别为7和8,将两个临界值代入选项加以判断.[ 7 ]=0,[ 8 ]=0,排除A;
10 10
[7+2]=0,[8+2]=1,B符合;
10 10
[7+3]=1,[8+3]=1,排除C;
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[7+4]=1,[8+4]=1,排除D.故选B.
10 10
2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,
k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保
鲜时间是 小时.
答案 24
解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,
48 48 1 1 1
所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),
eb 192 4 2 2
于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=(1) 3 ×192=24(小时).
2
3.(2016北京西城一模,14)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图1
反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
图1
图2
根据图1,有以下四个说法:
①在第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加;
②在整个跑道中,最长的直线路程不超过0.6 km;
③大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶;
④在图2的四条曲线(注:s为初始记录数据位置)中,曲线B最符合赛车的运动轨迹.
其中,所有正确说法的序号是 .
答案 ①④
解析 由题图1看,在2.6 km到2.8 km之间,赛车速度从100 km/h逐渐增加到140 km/h,①对;
在0.4 km到1.2 km之间,赛车应该是缓慢加速到平稳行驶,最长直线路程超过0.6 km,②错;
在1.4 km到1.8 km之间,赛车开始了最长直线路程的行驶,③错;
从题图1看,赛车先直线行驶一小段距离,然后减速拐弯,然后直线行驶一大段距离,再减速拐弯,再直线行驶一
大段距离,然后拐弯后直线行驶一小段距离,曲线B最符合赛车的运动轨迹,④对.
失分警示 利用图象还原赛车的路线要考虑实际情况,特别地,进入弯道前就需要提前减速.不考虑实际情况
会得出错误的结论.
4.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
t=0 min和t=1 min时,测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为
mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小整数t的值为 .(参考数据:lg 2≈0.3010)
答案 26.56;13
2
解析 由题意知当t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100;当t=1时,M=64,即ar+24=64,∴r= ,
5
∴M(t)=100(2) t +24,
5
将t=4代入得M(4)=26.56.
由题意得100(2) t +24<24.001,
5
即100(2) t <0.001,即(2) t <10-5,
5 5
2
两边取以10为底的对数得tlg <-5,
5
t(lg 2-lg 5)<-5,t[lg 2-(1-lg 2)]<-5,
-5
t(2lg 2-1)<-5,∴t> ,∴t =13.
2lg2-1 min
创新篇
【创新集训】
1.(2020安徽示范高中联考,7)在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥小,割之又割,
以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程.比如在
中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程 =x确定出来
√2+√2+√2+… √x+2
x=2,类比上述结论可得log(2+log(2+log(2+…)))的正值为 ( )
2 2 2
A.1 B.√2 C.2 D.4
答案 C
2.(2020重庆万州二中第一次月考,8)中华文化博大精深.我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多,比如“二八
年华”指女子16岁.乾隆曾出上联“花甲重逢,外加三七岁月”,纪晓岚对下联“古稀双庆,更多一度春秋”,
暗指一位老人的年龄.根据类比思想和文化常识,这位老人的年龄为 ( )
A.71岁 B.81岁 C.131岁 D.141岁
答案 D
3.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论.
①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线;
②f(x)是偶函数;
③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数;
④f(x)恰有2个零点.
[教师专用题组]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
【创新集训】
1.(2018北京石景山期末,8,5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑
到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教
练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
答案 D A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化而变化,与函数图象不符,故本选
项错误;
B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项
错误;
C.假设这个位置在点P,由函数图象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于t=30时教
练到小明的距离,而点P不符合这个条件,故本选项错误;
D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.故选D.
思路分析 分别假设这个位置在点M、N、P、Q,然后结合图象进行判断.
2.(多选题)(2021届华南师范大学附中模拟)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为
y=at.则下列说法正确的是 ( )
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时,浮萍面积不超过80 m2
D.若浮萍蔓延到2 m2,4 m2,8 m2所经过的时间(单位:月)分别是t,t,t,则2t=t+t
1 2 3 2 1 3
答案 AD
由图象可知,函数图象过点(1,3),∴a=3,∴函数解析式为y=3t(t≥0),∴浮萍每月的增长率为3t+1-3t
3t
=2×3t
=2,故选项A正确;
3t
∵函数y=3t是指数函数,是曲线型函数,∴浮萍每月增加的面积不相等,故选项B错误;
当t=4时,y=34=81>80,故选项C错误;
对于D选项,∵3t 1=2,3t 2=4,3t 3=8,
∴t=log2,t=log4,t=log8,
1 3 2 3 3 3
又∵2log4=log16=log2+log8,∴2t=t+t,故选项D正确.
3 3 3 3 2 1 3
故选AD.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2018北京一六一中学期中,8)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示
产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发
调解供求关系:当产品价格P 低于均衡价格P 时,需求量大于供应量,价格会上升为P;当产品价格P 高于均
1 0 2 2
衡价格P 时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P.能正
0 0
确表示上述供求关系的图象是 ( )
答案 D 因为当价格为P 时,需求量应大于供应量,由此可将B、C排除.
1
选项A、D的区别在于两条曲线的斜率变化的快慢.
当价格为P 时,供应量大于需求量,价格下降为P,此时供应量小于需求量,价格会上升为P,在价格由P 到P
2 3 4 1 4
的变化过程中,选项A和选项D的图象如图:
由图可知,选项A的价格会越来越远离P,选项D越来越靠近P.故选D.
0 0
