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第02讲 两条直线的位置关系
一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
若l∥l(斜率均存在)，则l 与l 的倾斜角α 与α 相等，由α＝α，可得tan α＝tan α，即k＝k，
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因此，若l∥l，则k＝k.
1 2 1 2
2．两条直线垂直
设两条直线l，l 的斜率分别为k，k，则直线l，l 的方向向量分别是a＝(1，k)，b＝(1，k)，
1 2 1 2 1 2 1 2
于是l⊥l a⊥b a·b＝0 1×1＋kk＝0，即kk＝－1，也就是说，l⊥l kk＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0相交，
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则交点P的坐标是方程组的解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P(x，y)，P(x，y)．
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(2)结论：|PP|＝.
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(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
2．点到直线的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l：Ax＋By＋C ＝0与l：Ax＋By＋C ＝0之间的距离d＝.
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一．两条直线的平行与垂直
例1．（1）直线 和直线 的位置关系是（ ）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合
（2）已知直线 ： ， ： ，则条件“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
（3）（多选）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 ，斜率分别为 ，则下列命题
正确的是（ ）
A．若斜率 ，则 B．若 ，则
C．若倾斜角 ，则 D．若 ，则
【复习指导】：(1)判断两条不重合的直线是否平行的方法
(2)判断两条直线是否垂直：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴
垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
（4）（多选）若直线 不能构成三角形，则 的取值为（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一
般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．若直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B 不同时为0；A，B 不同时为0)，
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则l∥l AB＝AB，且BC ≠BC (或AC ≠AC )；l⊥l AA＋BB＝0.
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
⇔ ⇔
（5）已知 、 ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
（6）若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
二．两直线的交点与距离问题
例2．（1）光线从点 射到 轴上，经反射以后经过点 ，则光线从 到 经过的路程为
（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P(x，y)和P(x，y)，则|PP|＝.
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(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
（2）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
（3）三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________．（4）若直线 经过直线 和 的交点，则 ___________.
【复习指导】：求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
（5）设 ，已知直线l： ，过点 作直线l，且l∥l，则直线l 与l 之间距离
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的最大值是 __________．
（6）若直线 ： 与直线 ： 平行，则直线 与 之间的距离为______．
【复习指导】：求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则两条平行直线间的距离d＝.
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（7）若两条直线l：y＝kx＋2k＋1和l：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
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（8）求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
【复习指导】：点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，
也可以直接写成d＝|x－a|或d＝|y－b|.
0 0
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．三．对称问题
命题点1 中心对称
例3．（1） 关于原点对称的直线是（ ）
A． B． C． D．
（2）与直线 关于点 对称的直线的方程为______.
（3）过点P(0,1)作直线l，使它被直线l ：2x＋y－8＝0和l ：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直
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线l的方程为________________．
命题点2 轴对称
例4．（1）设直线 与 关于直线 对称，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）直线 恒过定点 ，则点 关于直线 对称的点N坐标为_________．
（3）光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光
线所在直线的方程．
【复习指导】：(1)点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点的坐标为(2a－x,2b－y)．
0 0 0 0
(2)点P(x，y)，Q(x，y)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，则P，Q的坐标满足以下关系式：
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(3)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(4)几个常用结论
①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
四．直线系方程的应用
命题点1 平行直线系、垂直直线系
例5．（1）经过点 ，且与直线 平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）过点 ，且与直线 垂直的直线方程为___________.
命题点2 过两直线交点的直线系
例6．（1）过两直线 的交点，且与直线 平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知两条直线l：x－2y＋4＝0和l：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l：3x－4y＋5＝0垂
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直的直线l的方程．
（3）求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
【复习指导】：几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l ：Ax＋By＋C ＝0与l ：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程为Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋
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C )＝0(λ∈R)，但不包括l.
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1．直线 的斜率是方程 的两根，则 与 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
2．已知过 两点的直线与直线 平行，则 的值为（ ）
A．－10 B．17 C．5 D．2
3．如果直线 ： 与直线 ： 平行，那么实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．已知点 ， ， ， 是 的垂心．则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线 ： 与 ： 互相垂直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 ， ，且 ，点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．7．已知直线 过定点 ，直线 过定点 ， 与 相交于点 ，则
（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
8．若曲线 在 处的切线垂直于直线 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
9．若平面内两条平行线 ： ， ： 间的距离为 ，则实数 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
10．已知 ， ，直线 与直线 垂直，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．6
11．已知点 、 ，若线段 的垂直平分线的方程是 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．以 为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知定点 和直线 ，则点 到直线 的距离的最大值为
（ ）A． B． C． D．
14．已知直线 与直线 平行，且 在 轴上的截距为 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
15．已知点 ， ，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
16．点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
17．从点 射出的光线沿与向量 平行的直线射到 轴上，则反射光线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．点 关于直线 的对称点Q的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
19．已知过两点A(-3，m),B(m,5)的直线与直线3x+y-1=0平行，则m的值是（ ）
A．3 B．7 C．-7 D．-9
20．过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）A． B． C． D．
21．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的最大值是（ ）
A．4 B．10 C．5 D．
22．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0
23．当点 到直线 的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
24．已知直线 过定点 ，则点 关于 对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．已知直线l： 在x轴上的截距的取值范围是（ ，3），则其斜率的取值范围
是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
26．若直线 与 平行，则 与 间的距离为（ ）A．2 B． C． D．
27．设 ，则直线 与直线 垂直的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． 或1 D． 或
28．已知集合 ， .若 ，则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或1
29．（多选）如果 ， ，那么直线 经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
30．（多选）已知两条直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．若 ，则 或
C．当 时， 与 相交于点 D．直线 过定点
31．（多选）已知直线 ： 和直线 ： ，则（ ）
A．若 ，则 或
B．若 在 轴和 轴上的截距相等，则C．若 ，则 或2
D．若 ，则 与 间的距离为
32．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．过 ， 两点的所有直线的方程为
D．方程 与方程 表示同一条直线
33．（多选）瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外
心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉
线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC的外心为(－1，1)
B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)
C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0)
D．△ABC的重心坐标可能为
34．（多选）已知直线 ，则（ ）
A． 恒过点
B．若 ，则C．若 ，则
D．当 时， 不经过第三象限
35．已知 三点，则△ABC为__________ 三角形.
36．经过点 引 ， ， 三条直线，使它们的倾斜角的比依次为1:2:4，已知 的方程为 ，
则 的方程为________________， 的方程为________________．
37．直线 关于直线 对称的直线方程为_____________________．
38．已知在 中，其中 的平分线所在的直线方程为 ，则 点坐标为
__________.
39．直线 关于点 的对称直线方程是______．
40．已知入射光线经过点 ，被直线 ： 反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在直
线的方程为____________.
41．若直线 ：y＝kx－k＋1与直线 关于点（3，3）对称，则直线 恒过定点______.42．已知直线l被两条直线 和 截得的线段的中点为 ，则直线l的一
般式方程为______．
43．已知直线 （ ）与直线 互相平行，且它们之间的距离是 ，则
______.
44．一张坐标纸对折一次后，点 与点 重叠，若点 与点 重叠，则
_________．
45．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之
为三角形的欧拉线．已知 的顶点 ，则其欧拉线方程为_______________．
46．已知直线 ： 与直线 ： .
(1)若 与 垂直，求实数m的值；
(2)若 与 平行，求实数m的值.47．已知直线 ， .
(1)若直线l与直线 垂直，求实数 的值
(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.
48．已知点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，求：
(1)点 关于直线 的对称点 的坐标；
(2)直线 关于点 的对称直线 的方程．
49．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.50．已知直线 ．
(1) 为何值时，点 到直线 的距离最大?并求出最大值；
(2)若直线 分别与 轴， 轴的负半轴交于A，B两点，求 （ 为坐标原点）面积的最小值及此时直
线 的方程．
