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2.复数、平面向量(分值:73 分)
学生用书
P209
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·新高考Ⅱ,1)已知z=-1-i,则|z|=( )
A.0
B.1
C.√2
D.2
答案C
解析若z=-1-i,则|z|=√(-1)
2+(-1)
2=√2.
2.(2024·宁夏银川二模)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则(e2-2e1)·e2=( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
答案A
解析由题意可知|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1|·|e2|cos 60°=1
2
,所以(e2-2e1)·e2=e2
2-2e1·e2=0.
3.(2024·新高考Ⅰ,2)若z
z -1
=1+i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
答案C
解析因为z
z -1 = z -1+1
z -1
=1+ 1
z -1
=1+i,所以z=1+1
i
=1-i.
4.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案D
解析因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2.
5.(2024·四川绵阳模拟)已知z=|√3i-1|+i
2 024
1+i
,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案A
解析因为z=|√3i-1|+i
2 024
1+i
=2+ 1
1+i
=2+
1-i
(1+i)(1-i) = 5
2 - 1
2
i,所以z = 5
2 + 1
2
i,故复数z在复平面中
对应的点为(5
2 , 1
2
),位于第一象限.
6.(2024·广东汕头模拟)已知平行四边形ABCD 中,E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点,
设⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗EF=( )
A.-1
4
a-1
2
b
B.-3
4
a-1
2
b
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C.-1
2
a-1
4
b
D.-1
2
a-3
4
b
答案C
解析如图所示,由题意可得⃗AC =⃗AB+⃗AD=a+b,而⃗EF =⃗EA +⃗AF = 1
2⃗CA + 1
4⃗AD=-1
2
(a+b)+1
4
b=-
1
2
a-1
4
b.
7.(2024·湖南长沙二模)关于x 的方程x2+x+1=0 在复数范围内的两个根为z1,z2,则下列选项正确的是(
)
A.z1+z2=1
B.z1z2=-1
C. 1
z1
+ 1
z2
=1
D.| z1
z2
|=1
答案D
解析由题设方程,不妨取z1=-1
2 + √3
2
i,z2=-1
2 - √3
2
i,根据根与系数的关系知z1+z2=-1,z1z2=1,故A,B 错
误; 1
z1
+ 1
z2
= z1+ z2
z1 z2
=-1,故C 错误;| z1
z2
|=| z1
2
z1 z2
|=|z1
2|=|-1
2 + √3
2
i|=1,故D 正确.
8.(2024·山东威海二模)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,且对∀λ∈R,|b+λa|≥|b-a|,则a·b=
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案C
解析因为|b+λa|≥|b-a|,所以|b+λa|2≥|b-a|2,所以|a|2λ2+2a·bλ+2a·b-|a|2≥0 对∀λ∈R 恒成立,所以
Δ=(2a·b)2-4|a|2(2a·b-|a|2)≤0,所以|2a·b|2-4(2a·b-1)≤0,所以a·b=1.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·河南郑州模拟)在复平面内,设O 为坐标原点,复数z2,z对应的点分别为A,B,若⃗OA ⊥⃗OB,则z
可能是( )
A.2i
B.1-√3i
C.√3+i
D.√3-i
答案ACD
解析设z=a+bi,a,b∈R,则z2=a2-b2+2abi,z=a-bi,可知A(a2-b2,2ab),B(a,-b),即⃗OA=(a2-b2,2ab),⃗OB=(a,-
b).若⃗OA ⊥⃗OB,则a(a2-b2)+2ab(-b)=a(a2-3b2)=0,整理得a=0 或a2=3b2,对比选项可知ACD 正确,B 错
误.故选ACD.
10.(2024·山东青岛一模)已知复数z,下列说法正确的是( )
A.若z-z=0,则z 为实数
B.若z2+z
2=0,则z=z=0
C.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
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D.若|z-i|=|z|+1,则z 为纯虚数
答案AC
解析设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,若z-z=0,即(a+bi)-(a-bi)=2bi=0,即b=0,则z 为实数,故A 正确;若z2+
z
2=0,即(a+bi)2+(a-bi)2=0,化简可得a2-b2+2abi+a2-b2-2abi=0,即a2=b2,即a=±b.当a=b 时,z=a+ai,z=a-
ai,此时不一定满足z=z=0,当a=-b 时,z=a-ai,z=a+ai,此时不一定满足z=z=0,故B 错误;若|z-i|=1,即|z-
i|=1=|a+(b-1)i|=√a
2+(b-1)
2=1,所以a2+(b-1)2=1,即z 表示以(0,1)为圆心,以1 为半径的圆上的点,
且|z|表示圆上的点到原点的距离,所以|z|的最大值为2,故C 正确;若|z-i|=|z|+1,即|z-i|=|a+(b-1)i|=
√a
2+(b-1)
2,|z|+1=√a
2+b
2+1,即√a
2+(b-1)
2=√a
2+b
2+1,化简可得b=-√a
2+b
2,则a=0 且
b≤0,此时z 可能为实数也可能为纯虚数,故D 错误.故选AC.
11.(2024·山西省适应性考试)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物,如图是一个蜂巢的正六边形
开口ABCDEF,它的边长为1,点P 是△DEF 内部(包括边界)的动点,则下列选项正确的有( )
A.⃗DE =⃗AF - 1
2⃗AD
B.⃗AC ·⃗BD = 3
4
C.若P 为EF 的中点,则⃗CP在⃗EC上的投影向量为-√3⃗EC
D.|⃗FE +⃗FP|的最大值为√7
答案AD
解析取正六边形ABCDEF 的中心为O,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则⃗DE =⃗OE -⃗OD =⃗AF - 1
2⃗AD,
故A 正确;由题意可知CE⊥EF,若P 为EF 的中点,则⃗CP在⃗EC上的投影向量为-⃗EC,故C 错误;
如图,建立平面直角坐标系,则A(-1
2
,-√3
2
),B(1
2
,-√3
2
),C(1,0),D(1
2 , √3
2
),E(-1
2 , √3
2
),F(-1,0),可得⃗AC=(
3
2 , √3
2
),⃗BD=(0,√3),所以⃗AC ·⃗BD = 3
2
,故B 错误;设P(x,y),可知-1≤x≤1
2
,0≤y≤√3
2
,则⃗FE=(1
2 , √3
2
),⃗
FP=(x+1,y),可得⃗FE +⃗FP=(x+3
2
,y+√3
2
),则|⃗FE +⃗FP|=√( x + 3
2 )
2+( y + √3
2 )
2,可知当x=1
2
,y=√3
2
时,
即点P 与点D 重合时,|⃗FE +⃗FP|的最大值为√7,故D 正确.故选AD.
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三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·江苏南通二模)设m∈R,i 为虚数单位.若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A⊆B,则m=
.
答案1
解析集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A⊆B,则有2m+(m-1)i=-2i 或2m+(m-1)i=2,解得m=1.
13.(2024·湖南长沙一模)已知平面向量a,b 满足|a|=1,b=(1,2),a⊥(a-2b),则向量a,b 夹角的余弦值为
.
答案√5
10
解析因为b=(1,2),所以|b|=√5.由a⊥(a-2b),有a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos<a,b>=1-2√5
cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=√5
10 .
14.(2023·浙江温州模拟)设a,b 是平面内的两条互相垂直的直线,线段AB,CD 的长度分别为2,10,点
A,C 在a 上,点B,D 在b 上,若M 是AB 的中点,则⃗MC ·⃗MD的取值范围是 .
答案[-9,11]
解析设直线a 与直线b 的交点为O,
因为M 是AB 的中点,AB=2,所以|MO|=1,
故点M 在以O 为圆心,半径为1 的圆上.
设线段CD 的中点为N,CD=10,所以NO=5,故点N 在以O 为圆心,半径为5 的圆上,
因为⃗MC ·⃗MD=(⃗MN +⃗NC)·(⃗MN +⃗ND)=(⃗MN +⃗NC)·(⃗MN -⃗NC),|⃗NC|=5,
所以⃗MC ·⃗MD =⃗MN
2-⃗NC
2=⃗MN
2-25.
又4≤|⃗MN|≤6,所以-9≤⃗MC ·⃗MD≤11,
所以⃗MC ·⃗MD的取值范围是[-9,11].
