重难点18球的切、接问题十大题型（原卷版）_11.4-2_2026-11-04

      
      
重难点18 球的切、接问题【十大题型】

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Ak10π
Bk20π
Ck25π
Dk30π
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Ak2π
Bk4π
Ck6π
Dk8π
ÁI 1-2¹2024·ÈÃÉÊ·,ÄÅÆ¿¡f|s4Ç)Ë̝<D­vm\ 2C)u\
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Ak
9𝜋
8
Bk
9π
4
Ck
9π
2
Dk9π
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Ak9π
Bk12 3π
Ck39π
Dk20π
      
      
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Ak29π
Bk28π
Ck32π
Dk30π
ÁI 2-1¹2024·ÚÛ·,ÄÅÆ¿K\D$'ÜÝÞSDß$'4"àáâ¹âãäåæ‰çS¿k¡
f $'ÜÝ4lm\ 2Cèâéêë 4 ­ÜÝ$C Ž"àáâ4lm47ì8\¹   ¿
Ak2−3
Bk2 +
3
Ck 6−2
Dk2 +
6
ÁI 2-2¹2024·?í·,ÄÅÆ¿¡f})9 ABCD †C𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷= 2,𝐴𝐷= 𝐵𝐶C~})9
ABCD 4"#$4À)u\ 7πC})9 ABCD 49u\¹    ¿
Ak1
Bk2
Ck
4
3
Dk
8
3
ÁI 2-3¹2024·}îïð·,ÄÅÆ¿”<Fhi94ñ§*4†@\ò@4.)9Có<D­6ô
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Ak8π
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Ck2π
Dk
4
3π
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Ak12π
Bk27π
Ck
64π
9
Dk
64π
3
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Ak7 3π
Bk8 3π
Ck
26π
3
Dk
28π
3
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\ 6C|s PO 4-+$À)Ą3|sÇ)u0ą\¹     ¿
Ak12(10−3 6)π       
Bk24(20−7 6)π       
Ck60(8−3 6)π       
Dk3(40−7 6)π
      
      
ÁI 3-3¹2024·}î¦Ć·€,¿¡fh}*û𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻4yz)u\ 16C•z)u\ 64CªVñ
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Ak2
Bk8
Ck8 ^ 12
Dk2 ^ 12
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Ak2π
Bk 6π
Ck 2
3 π
Dk 6
27π
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Ak2
Bk
7
4
Ck
3
4
Dk
1
4
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Ak 6π
2
Bk 6π
4
Ck 6π
8
Dk 6π
16
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Ckπ𝑚2
3
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3
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Ak
2
3
Bk
3
4
Ck
5
11
Dk
6
13
ÁI 5-3¹2024·ÚúŀŁ·€,¿~D­.)94ñ)Ć3D­$4$)/+Cłó­$<ó­.)
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])𝐴𝐵𝐶𝐷k~}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷ľxD­-+$CÞ$49u\𝑉1C }*s49u\𝑉2C
𝑉1
𝑉248\
¹    ¿
Ak 3π
6
Bk 3π
12
Ck 3π
18
Dk 3π
54
 6  .$/+%
¸ 6¹2024 €·ćĈ·þÿ¿xD­vm\ 2 4v$'ńŅBĶ-ê냭vm/ņ4ì$Có
ƒ­ì$4À)u0ą7ü\¹    ¿
Ak(96−64 2)π Bk(24−16 2)π
Ck8π
Dk16π
ÁI 6-1¹2024·ÈĂŇň·,ÄÅÆ¿ʼnàáÞSčŊ\D$'ŋŌÜÝÞSDŽh})9'ō4"à
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Ak2 + 2 6
Bk2 + 4 6
Ck.4 + 2 6
Dk4 + 4 6
ÁI 6-2¹2024·āÃŎŏ·,ÄÅÆ¿”ēģC4 ­$ƒƒ"+'¦4ab9Cł\D­“7Őő
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ĴÁkŧļŞşŠ94ļãvm\𝑟𝐴CDŽŞşŠ94ļãvm\𝑟𝐵C𝑟𝐴ą𝑟𝐵4š<¹    ¿
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Bk2𝑟𝐵=
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À)uą\¹    ¿
Ak6π
Bk9π
Ck
31π
4
Dk21π
 7  "#$01)2,
¸ 7¹2024·ĥÛƈƉ·€,¿ △𝐴𝐵𝐶3 △𝐴𝐵𝐷Ć<{j\ 2 4h€2'CĚĞ{𝐴𝐵ƊƋ¦60°41)
2C~@ ACBCCCD xņD$𝑂4$)yC$𝑂4À)u\¹    ¿
Ak
13
9 π
Bk
208π
9
Ck
52
9 π
Dk
112π
3
ÁI 7-1¹2024·ĉĊ·,ÄÅÆ¿”①Cꃭl2€2'ƌxDƍĠ‚}{'𝐴𝐵𝐶𝐷Cª
      
      
𝐴𝐶= 𝐵𝐶=
1
2𝐴𝐷= 1C𝐴𝐶⊥𝐴𝐷CKę △𝐴𝐶𝐷Ě𝐴𝐶ƊƍCŖĠ@𝐷‚Ǝ@𝑃Cª1)2𝑃−𝐴𝐶−𝐵4üì\
60°C‡#𝐵𝑃C”②C~€*s𝑃−𝐴𝐵𝐶4ē6ò@ĀxņD$)yC $4À)u\¹    ¿
  
Ak4π
Bk5π
Ck6π
Dk7π
ÁI 7-2¹2024·ĥÛƏÔ·,ÄÅÆ¿”C △𝐴𝐵𝐶<{j\ 4 4h€2'C𝐷<𝐵𝐶4†@CĚ𝐴𝐷ę △𝐴𝐵𝐶
ƊƋC'¦€*s𝐴−𝐵𝐶𝐷kƐ1)2𝐵−𝐴𝐷−𝐶\l1)2²C€*s𝐴−𝐵𝐶𝐷"#$4À)u\¹    ¿
Ak5π
Bk20π
Ck5 5π
6
Dk20 5π
3
ÁI 7-3¹2024·yÂƑƒ·1,¿€*s𝑃−𝐴𝐵𝐶ñò@Āxvm\2 24$𝑂4À)yC𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 2 2
,∠𝐵𝐴𝐶= 90。C1)2𝑃−𝐵𝐶−𝐴4üì\45。CnF•ƒ­ƓCƔƕh‘4<¹    ¿
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8
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Ak①②Ć<ƙƓ
Bk①<ƙƓC②<ƚƓ
Ck①<ƚƓC②<ƙƓ
Dk①②Ć<ƚƓ
 8  3$4+5#6478%
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2'ª©lĜz)𝐴𝐵𝐶𝐷CM \}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷-+$À)yD@C@ M ‚lo𝐶𝐷„…47ì8\¹   ¿
Ak 10−2
Bk 10−1
Ck2 3−2
Dk2 3−1
      
      
ÁI 8-1¹2024·ĥÛðƛ·,ÄÅÆ¿x}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷†Cz)}{'𝐴𝐵𝐶𝐷\hi'C}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷
"#$4À)u\16πCƐ}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷49u7ü²C𝐴𝐵= ¹    ¿
Ak 3
Bk2
Ck
8
3
Dk3
ÁI 8-2¹2024·ƜŭƝň·D,¿ƝňƞƟƠơƢĜƣƤ†ƥƦ'Iy6ƧƟ5ƨƟ5ƨƟCƩƪ
Ɵ5ƫƬƟ5ƭƮƟ5ÓƯ˜ưƟt.ŽßIkx 2024 >˜ưƱCìƲŽƳƴD­vh.)9'ō4ƞƟC
Ƶęhi9ĚěĜDò@4€§*4†@(ĝD­€*sCĞ(ĝô­€*sCĠ‚D­6ġ}­)4v
h.)9C”ēģk¡f vh.)949u\
20
3 CM \ △𝐴𝐵𝐶4†wC³ M ( vh.)94"#$
4())u\ SC S 47ü837ì80Ŀ¹    ¿
Ak
8
5
Bk
9
5
Ck3
Dk9
ÁI 8-3¹2024·ƜŭÃ]·,ÄÅÆ¿ʼnƯƶƷx+·ƸŌ²C+·JDƹ”ēģ4€*s{ŌC
ÆĠxƺ€*s𝐴−𝐵𝐶𝐷†CÇ)𝐴𝐵𝐶⊥z)𝐵𝐶𝐷Cª𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐷𝐵= 𝐷𝐶= 𝐴𝐷= 2 cmC ƯƶƷSƻęV
Ƽƽ¦Dƾ$'ƸƿCƽ¦4$'Ƹƿ4lm47ü8\¹    ¿
Ak2 6 cm
Bk2 3 cm
Ck2 2(2−3)cm
Dk 2(2−3)cm
 9  3$4+5#64()%
¸ 9¹2024·ǀÃǁǂ·,ÄÅÆ¿hi9𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1"#$49u\4 3πC𝐸5𝐹5𝐺pq\*𝐴𝐴1
、𝐴1𝐵1、𝐴1𝐷14†@C])𝐸𝐹𝐺($4())u\¹   ¿
Ak
5π
3
Bk
4π
3
Ck
2π
3
Dk
π
3
ÁI 9-1¹2024·ÚúÃǃ·,ÄÅÆ¿¡f𝑆𝑂1 = 2Cz)vm𝑂1𝐴= 44|s-#Ĝ$𝑂CDŽ³𝑆ą
𝑂1𝐴†@4])($𝑂ēĠ())u47ì8\¹    ¿
      
      
Ak
25
2 π
Bk
25
3 π
Ck
25
4 π
Dk5π
ÁI 9-2¹2024·āĂDždž·,ÄÅÆ¿}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷ñò@Ćx$w𝑂\4$)yCª𝑃𝐴⊥])
𝐴𝐵𝐶𝐷Cz)𝐴𝐵𝐶𝐷\Ń'C𝑃𝐴= 𝐴𝐷= 2,𝐴𝐵= 2 2CÞ𝑀,𝑁pq<𝑃𝐷,𝐶𝐷4†@C])𝐴𝑀𝑁($𝑂ēĠ(
)4)u\¹    ¿
Akπ
Bk3π
Ck4π
Dk2π
ÁI 9-3¹2024·ćĈ·,ÄÅÆ¿xhi9𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1†CECF pq\*𝐴1𝐵1C𝐷𝐷14†@C³
lo EF 4])( hi9"#$ēĠ4())u47ì8\𝑠C7ü8\𝑆C
𝑆
𝑠= ¹    ¿
Ak 6
2
Bk
3
2
Ck 30
5
Dk
6
5
 10  .)93$9-+"#:;%
¸ 10¹2024·ćĈ·,ÄÅÆ¿¡f|û𝑂1𝑂24-+$vm\ 2C|û𝑂1𝑂249u\ 28πC|û𝑂1𝑂2
"#$4À)u\¹    ¿
Ak32π
Bk
1025π
48
Ck
1025π
64
Dk
1025π
16
ÁI 10-1¹23-24 1•·āÃjLJ·ƥ†¿¡fh}*s"#$4vm\ 3C-+$4vm\ 1C h
}*s4\¹    ¿
Ak4 +
3
Bk4 +
2
Ck4 ±
3
Dk4 ±
2
ÁI 10-2¹2024·LjljŞNJ·,ÄÅÆ¿xz)<{j\ 4 4hi'4}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷†C@𝑃xz)4
Njnj𝐻\hi'𝐴𝐵𝐶𝐷4†wCǍ)lo𝑃𝐵3𝐴𝐷ē¦24h+8\
3
2C}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷4-+$3"#$
4vm0Ŀ\¹    ¿
Ak
6
17
Bk
5
16
Ck
4
13
Dk
7
18
ÁI 10-3¹2024·ǀÃü·,ÄÅÆ¿õĦħCI\SF6CxŠĨ•<DŽĩĪ5ĩī5ĩĬ5
çĭ4Įį9C6İı4IJijĴCxĵĶķĸi)Ý6đĹĺkõĦħpãĻ¥\hô)9Ļ¥¹h
ô)9è­)Ć<h€2'CğFǎ´<ꃭ*jĀ/t4h}*sęz)Ǐ#xDƍ4ab9¿k”
ēģChô)9𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐹4*j\𝑎Cƺô)94"#$3-+$49u0Ŀ\¹    ¿
      
      
Ak3 3
Bk2 3
Ck3 2
Dk2 2
D5ǐ
1k¹2024·Ǒǒ·D,¿¡fh}*s𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷ñò@ĆxņD$)yCªh}*sz){j\ 4C9u\
64
3 C $À)u\¹    ¿
Ak9π
Bk36π
Ck4π
Dk
4π
3
2k¹2024·ĉĊǓ÷1,¿¡fh€*s PǔABC 4z){j\ 2 3C~vm\ 1 4$3 h€*s4ñ
*Ā/+C€*s PǔABC 49u\¹    ¿
Ak2
Bk2 2
Ck3
Dk2 3
3k¹2024·ǒǕǖǗ·,ÄÅÆ¿¡fh€*s𝐴−𝐵𝐶𝐷4"#$<$𝑂Ch€*sz{𝐵𝐶= 3CÇ*𝐴𝐵= 2
3C@𝐸xo¨𝐵𝐷yCª𝐵𝐸= 𝐷𝐸C³@𝐸´$𝑂4()CēĠ()|)u47ü8<¹    ¿
Ak2π
Bk
9π
4
Ck3π
Dk4π
4k¹2024·đĊđň·,ÄÅÆ¿¡f$𝑂-+Ĝ|û¹ŕ$3 |û4y5•z)F±Ç)Ā/+¿Cª|
û4y5•z)vmpq\𝑟1C𝑟2Cª𝑟2 = 4𝑟1 = 4C|û49u3$49u0Ŀ\¹    ¿
Ak
7
4
Bk
21
8
Ck
5
2
Dk
63
8
5k¹2024·ĥÛƈƉ·€,¿ △𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐷Ć<{j\ 2 4h€2'CĚĞ{𝐴𝐵ƊƋ¦€*sª𝐶𝐷j
\ 3C~@𝐴，𝐵，𝐶，𝐷在同一球𝑂4$)yC$𝑂4À)u\¹    ¿
Ak
13
9 π
Bk
208π
9
Ck
112π
3
Dk
52
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