文档文本内容
专题24.3 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用垂径定理求线段长度】......................................................................................................................1
【题型2 利用垂径定理求角度】..............................................................................................................................5
【题型3 利用垂径定理求最值】..............................................................................................................................9
【题型4 利用垂径定理求取值范围】....................................................................................................................13
【题型5 利用垂径定理求整点】............................................................................................................................18
【题型6 利用垂径定理求面积】............................................................................................................................22
【题型7 垂径定理在格点中的运用】....................................................................................................................26
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】...................................................................................................33
【题型10 垂径定理的应用】....................................................................................................................................37
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 交AB 于点C，连接AO 并延长交⊙O 于
点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD 的长为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4
【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O 的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
则OP 的长为（ ）
A．6
B．6√2
C．8
D．8√2
【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC
＝30°，则CD 的长为（ ）
A．5
B．2√3
C．4√2
D．2√2+√3+1
【变式1-3】（2022 春•徐汇区校级期中）如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点，过D 作CD⊥OA
交弦AB 于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O 的半径为 ．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O 的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O 上找一点C，使
OA2+AB2＝BC2，则∠OAC 的度数为（ ）
A．15°或75°
B．20°或70°
C．20°
D．30°
【变式2-1】（2022 秋•天心区期中）如图，已知⊙O 半径OA＝4，点B 为圆上的一点，点C 为劣弧^
AB上
的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE 取得最大值，则∠AOB 等于（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，在⊙O 中，半径OC 过弦AB 的中点E，OC＝2，OE=√2．
（1）求弦AB 的长；
（2）求∠CAB 的度数．
【变式2-3】（2022 秋•开州区期末）如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 垂直于点D，连接AB、AC．点E
为AC 的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE 的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE 的度数．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】（2022•威海模拟）⊙O 中，点C 为弦AB 上一点，AB＝1，CD⊥OC 交⊙O 于点D，则线段CD 的
最大值是（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OC⊥AB 交AB 于点D．且OD＝DC．P
为⊙O 上任意一点，连接PA，PB，若⊙O 的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1
B．2√3
3
C．3√3
4
D．3√3
2
【变式3-2】（2022 秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝20，AD＝15，P，Q 分别是AB，AD
边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M，N，则MN 的最大值为 ．
【变式3-3】（2022 秋•延平区校级期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E 分别是AC、
BC 上的一点，且DE＝3，若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M、N，则MN 的最大值为（ ）
A．9
10
B．6
5
C．8
5
D．12
5
【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O 中，直径AB＝10，CD⊥AB 于点E，CD＝8．点F 是弧
BC 上动点，且与点B、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m＝PC+PF，则m 的取值范围是（ ）
A．8＜m≤4√5
B．4√5＜m≤10
C．8＜m≤10
D．6＜m＜10
【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O 的直径为10cm，弦AB＝8cm，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的
长度范围．
【变式4-2】（2022 秋•盐都区校级月考）如图，点P 是⊙O 内一定点．
（1）过点P 作弦AB，使点P 是AB 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O 的半径为13，OP＝5，
①求过点P 的弦的长度m 范围；
②过点P 的弦中，长度为整数的弦有 条．
【变式4-3】（2022 秋•天河区校级期中）已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离OH＝3，点P 是圆上
一动点，设过点P 且与AB 平行的直线为l，记直线AB 到直线l 的距离为d．
（1）求AB 的长；
（2）如果点P 只有两个时，求d 的取值范围；
（3）如果点P 有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．
【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O 的直径CD＝10，CD 与⊙O 的弦AB 垂直，垂足为M，且AM＝
4.8，则直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有（ ）
A．1 个
B．3 个
C．6 个
D．7 个
【变式5-1】（2022 秋•新昌县期末）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C，连接OB，点P 是半径OB
上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP 的长不可能是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB 是⊙C 的弦，直径MN⊥AB 于点O，MN＝10，AB＝8，
如图以O 为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC 长是
3
，⊙C
上的整数点有 个．
【变式5-3】（2022 秋•肇东市期末）已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所
在直线的距离为2 的点有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1 的⊙O 中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，
120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A．√2
B．1
C．√3
2
D．√2
2
【变式6-1】（2022 秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH 的四个顶点都在⊙O 上，顺次连接矩形各边
的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD 的面积为 ．
【变式6-2】（2022 秋•西城区校级期中）如图，AB 为⊙O 直径，过点O 作OD⊥BC 于点E，交⊙O 于点
D，CD∥AB．
（1）求证：E 为OD 的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD 的面积．
【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB⊥BC 于点B，
BC⊥CD 于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O 的面积为（ ）
A．125 π
4
B．275 π
4
C．125 π
9
D．275 π
9
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】（2022 秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标
系，使点A 的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣1）
C．（﹣1，1）
D．（2，1）
【变式7-1】（2022 春•海门市期中）如图所示，⊙P 过B、C 两点，写出⊙P 上的格点坐标．
【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C 均在小正
方形的顶点上，点C 同时也在^
AB上，若点P 是^
BC的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 ．
【变式7-3】（2017 秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1 的正方形网格中建立一直角坐标系，一条
圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D 的半径为 ，∠ADC 的度数 ．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E 与y 轴交于点A（0，﹣2），B
（0，4），与x 轴交于C，D，则点D 的坐标为（ ）
A．(4−2√6，0)
B．(−4+2√6，0)
C．(−4+√26，0) D．(4−√26，0)
【变式8-1】（2022 秋•西林县期末）如图，⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P 的横
坐标为﹣4．则⊙P 的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l 为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x 轴，与直线l 交于点
B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2；再作A2B2⊥x 轴，交直线l 于点B2，以原点O
为圆心，OB2长为半径画圆弧交x 轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 ．
【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5 的⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y
＝﹣2x+m 图象过点P，则m＝ ．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】（2022 秋•化德县校级期末）⊙O 的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB
和CD 的距离为（ ）
A．2cm
B．14cm
C．2cm 或14cm
D．10cm 或20cm
【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O 的半径为5，弦AB＝8，D 为弦AB 上一点，且AD＝1，过点D
作CD⊥AB，交圆O 于C，则CD 长为（ ）
A．1
B．7
C．8 或1
D．7 或1
【变式9-2】（2022 秋•方正县期末）如图，⊙O 的弦AB 与半径OC 垂直，点D 为垂足，OD＝DC，AB＝2
√3，点E 在⊙O 上，∠EOA＝30°，则△EOC 的面积为 ．
【变式9-3】（2022 秋•淮南月考）如图，已知⊙O 的半径为2．弦AB 的长度为2，点C 是⊙O 上一动点，
若△ABC 为等腰三角形，则BC2的长为 ．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（2022 秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高
（弧的中点到弦的距离）4 米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16m
B．20m
C．24m
D．28m
【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西
方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1
寸，锯道长1 尺．如图，已知弦AB＝1 尺，弓形高CD＝1 寸，（注：1 尺＝10 寸）问这块圆柱形木材
的直径是（ ）
A．13 寸
B．6.5 寸
C．26 寸
D．20 寸
【变式10-2】（2022 秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加
简约．如图，摩天轮直径88 米，最高点A 距离地面100 米，匀速运行一圈的时间是18 分钟．由于受到
周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏
时长为 分钟．
【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20 米的圆形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，
∠AOB＝120°，从A 到B 只有路^
AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通
过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设1 步为0.5 米，结果保留整数）．（参考数据：
√3≈1.732，π 取3.142）
