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专题24.3 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用垂径定理求线段长度】......................................................................................................................1
【题型2 利用垂径定理求角度】..............................................................................................................................5
【题型3 利用垂径定理求最值】..............................................................................................................................9
【题型4 利用垂径定理求取值范围】....................................................................................................................13
【题型5 利用垂径定理求整点】............................................................................................................................18
【题型6 利用垂径定理求面积】............................................................................................................................22
【题型7 垂径定理在格点中的运用】....................................................................................................................26
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】...................................................................................................33
【题型10 垂径定理的应用】....................................................................................................................................37
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 交AB 于点C，连接AO 并延长交⊙O 于
点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD 的长为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4
【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE 长度求出BE＝6，在Rt△ABE 中
求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC 中求出OC，从而得出答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
如图，连接BE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵CE＝2√13，
∴BE=√C E
2−BC
2=√(2√13)
2−4
2=6，
则AE=√A B
2+ B E
2=√8
2+6
2=10，
∴AO＝OD＝5，
在Rt△AOC 中，OC=√A O
2−A C
2=√5
2−4
2=3，
则CD＝OD﹣OC＝2，
故选：C．
【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O 的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
则OP 的长为（ ）
A．6
B．6√2
C．8
D．8√2
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP 的长，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB 交AB 与点E，作OF⊥CD 交CD 于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，
又∵圆O 的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF 是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP=√6
2+6
2=6√2，
故选：B．
【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC
＝30°，则CD 的长为（ ）
A．5
B．2√3
C．4√2
D．2√2+√3+1
【分析】因为∠AED＝30°，可过点O 作OF⊥CD 于F，构成直角三角形，先求得⊙O 的半径为3，进而
求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF= 1
2OE＝1，再根据勾股定理求
得DF 的长，然后由垂径定理求出CD 的长．
【解答】解：过点O 作OF⊥CD 于F，连接DO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O 的半径为3，
∴OE＝3﹣1＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
∴CF＝2√2，
∴CD＝2CF＝4√2，
故选：C．
【变式1-3】（2022 春•徐汇区校级期中）如图，AB 是⊙O 的弦，D 为半径OA 的中点，过D 作CD⊥OA
交弦AB 于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O 的半径为
2 √3 ．
【分析】先证明△AFO 和△BCE 是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5 列方程，求出x 得到AD=√3，
从而得解．
【解答】解：如图，记DC 与⊙O 交于点F，连接AF、OF、OB，过点C 作CT⊥AB 于点T，连接OE，
OT．
∵D 为半径OA 的中点，CD⊥OA，
∴FD 垂直平分AO，
∴FA＝FO，
又∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，
∵CE＝CB，CT⊥EB，
∴ET＝TB，
∵BE＝2AE，
∴AE＝ET＝BT，
∵AD＝OD，
∴DE∥OT，
∴∠AOT＝∠ADE＝90°，
∴OE＝AE＝ET，
∵OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBT，
∵AO＝BO，AE＝BT，
∴△AOE≌△BOT（SAS），
∴OE＝OT，
∴OE＝OT＝ET，
∴∠ETO＝60°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，
∴△CEB 是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，
设DE＝x，
∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，
∴CD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴AD=√3，
∴AO＝2√3．
故答案为：2√3．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O 的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O 上找一点C，使
OA2+AB2＝BC2，则∠OAC 的度数为（ ）
A．15°或75°
B．20°或70°
C．20°
D．30°
【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC 关于直径BD 的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，
再由直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O 的弦BC，使∠DBC＝
30°，作BC 关于直径BD 的对称线段BE，
连接EC，BE，ED，AC，
直角△BED 中，可以得∠EBD＝30°，
∵线段BE 与线段BC 关于直线BD 对称，
∴BC＝BE，
∴BD 垂直平分线段CE，
∴^
DE =^
CD，
∴∠CBD＝30°而∠BCA= 1
2∠AOB＝45°．
在△ABC 中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．
同理，当E 为C 时，∠OAC＝75°．
故∠OAC 的度数为15°或75°．
故选：A．
【变式2-1】（2022 秋•天心区期中）如图，已知⊙O 半径OA＝4，点B 为圆上的一点，点C 为劣弧^
AB上
的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE 取得最大值，则∠AOB 等于（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
【分析】如图，延长CD 交⊙O 于P，延长CE 交⊙O 于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位
线定理，可得DE= 1
2PT，当PT 是直径时，DE 的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CD 交⊙O 于P，延长CE 交⊙O 于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，
∴CD＝DP，CE＝TE，
∴DE= 1
2PT，
∴当PT 是直径时，DE 的长最大，
连接OC，
∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，
∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB= 1
2∠POT＝90°，
故选：B．
【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，在⊙O 中，半径OC 过弦AB 的中点E，OC＝2，OE=√2．
（1）求弦AB 的长；
（2）求∠CAB 的度数．
【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE=√2
，即可求解；
（2）先证△BOE 是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解．
【解答】解：（1）连接OB，如图所示：
∵半径OC 过弦AB 的中点E，
∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE=√O B
2−O E
2=√2
2−(√2)
2=√2，
∴AB＝2BE＝2√2；
（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，
∴△BOE 是等腰直角三角形，
∴∠BOC＝45°，
∴∠CAB= 1
2∠BOC＝22.5°．
【变式2-3】（2022 秋•开州区期末）如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 垂直于点D，连接AB、AC．点E
为AC 的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE 的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE 的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得到^
AB =^
AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得
到DE 的长；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC 得到∠CDE＝∠C
＝40°．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴^
AB =^
AC，∠ADC＝90°，
∴AC＝AB＝6，
∵点E 为AC 的中点，
∴DE= 1
2AC＝3；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC＝100°，
∴∠C= 1
2（180°﹣100°）＝40°，
∵点E 为AC 的中点，
∴ED＝EC，
∴∠CDE＝∠C＝40°．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】（2022•威海模拟）⊙O 中，点C 为弦AB 上一点，AB＝1，CD⊥OC 交⊙O 于点D，则线段CD 的
最大值是（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【分析】因为CD⊥OC 交⊙O 于点D，连接OD，△OCD 是直角三角形，则CD=√O D
2−OC
2，因为
半径OD 是定值，当OC 取得最小值时线段CD 取得最大值．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥OC 交⊙O 于点D，
∴△OCD 是直角三角形，
根据勾股定理得CD=√O D
2−OC
2，
∵半径OD 是定值，
∴当OC⊥AB 时，线段OC 最小，此时D 与B 重合，CD=√OB
2−OC
2，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC= 1
2AB= 1
2，
∴CD=√O B
2−OC
2=BC= 1
2．
故选：A．
【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OC⊥AB 交AB 于点D．且OD＝DC．P
为⊙O 上任意一点，连接PA，PB，若⊙O 的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1
B．2√3
3
C．3√3
4
D．3√3
2
【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，^
AC =^
BC，再根据OD＝DC 可得到OD= 1
2OA
= 1
2，所以AD= √3
2 ，由勾股定理，则AB=√3．△PAB 底AB 不变，当高越大时面积越大，即P 点到AB
距离最大时，△APB 的面积最大．则当点P 为AB 所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+ 1
2 = 3
2，
△APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD= 1
2OA= 1
2，
∴AD=√O A
2−O D
2= √3
2 ，AB＝2AD=√3．
当点P 为AB 所对的优弧的中点时，△APB 的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+ 1
2 = 3
2．
∴△APB 的面积的最大值为= 1
2 AB⋅PD = 1
2 ×√3× 3
2 = 3√3
4
．
故选：C．
【变式3-2】（2022 秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝20，AD＝15，P，Q 分别是AB，AD
边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M，N，则MN 的最大值为
8 √3 ．
【分析】过A 点作AH⊥BD 于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可
计算出AH＝36，再证明点O 在AH 上时，OH 最短，此时HM 有最大值，最大值为4√3，然后根据垂径
定理可判断MN 的最大值．
【解答】解：过A 点作AH⊥BD 于H，连接OM，如图：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD 中，BD=√A B
2+ A D
2=√20
2+15
2=25，
∵1
2 ×AH×BD= 1
2 ×AD×AB，
∴AH= 20×15
25
=12，
∵⊙O 的直径为16，
∴⊙O 的半径为8，
∴点O 在AH 上时，OH 最短，
∵HM=√O M
2−O H
2，
∴此时HM 有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为√8
2−4
2=4√3，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN 的最大值为2×4√3=8√3．
故答案为：8√3．
【变式3-3】（2022 秋•延平区校级期末）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E 分别是AC、
BC 上的一点，且DE＝3，若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M、N，则MN 的最大值为（ ）
A．9
10
B．6
5
C．8
5
D．12
5
【分析】由题意可知，C、O、G 三点在一条直线上OG 最小，MN 最大，再由勾股定理求得AB，然后
由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．
【解答】解：过O 作OG⊥AB 于G，连接OC、OM，
∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC= 1
2DE= 3
2，
只有C、O、G 三点在一条直线上OG 最小，
∵OM= 3
2，
∴只有OG 最小，GM 才能最大，从而MN 有最大值，
过C 作CF⊥AB 于F，
∴G 和F 重合时，MN 有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB=√BC
2+ A C
2=√3
2+ 4
2=5，
∵1
2AC•BC= 1
2AB•CF，
∴CF= AC ×BC
AB
= 4×3
5
= 12
5 ，
∴OG＝CF﹣OC= 12
5 −3
2 = 9
10，
∴MG=√O M
2−OG
2=√( 3
2 )
2−( 9
10 )
2= 6
5
，
∴MN＝2MG= 12
5 ，
故选：D．
【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O 中，直径AB＝10，CD⊥AB 于点E，CD＝8．点F 是弧
BC 上动点，且与点B、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m＝PC+PF，则m 的取值范围是（ ）
A．8＜m≤4√5
B．4√5＜m≤10
C．8＜m≤10
D．6＜m＜10
【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB 是CD 的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角
形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F 在一条直线上时取等号），结合
图形即可得出结论．
【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，
∵CD⊥AB，BA 为⊙O 的直径，
∴CE＝ED= 1
2CD＝4，
∵OC= 1
2AB＝5，
∴OE=√OC
2−C E
2=3，
∴BE＝OE+OB＝8．
∴BD=√B E
2+ D E
2=4√5．
∵P 是直径AB 上的动点，CD⊥AB，
∴AB 是CD 的垂直平分线，
∴PC＝PD．
∵m＝PC+PF，
∴m＝PD+PF，
由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F 在一条直线上时取等号），
∵点F 是弧BC 上动点，且与点B、C 不重合，
∴DC＜DF≤直径，
∴8＜m≤10．
故选：C．
【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O 的直径为10cm，弦AB＝8cm，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的
长度范围．
【分析】过点O 作OE⊥AB 于点E，连接OB，由垂径定理可知AE＝BE= 1
2AB，再根据勾股定理求出
OE 的长，由此可得出结论．
【解答】解：过点O 作OE⊥AB 于点E，连接OB，
∵AB＝8cm，
∴AE＝BE= 1
2AB= 1
2 ×8＝4cm，
∵⊙O 的直径为10cm，
∴OB= 1
2 ×10＝5cm，
∴OE=√OB
2−BE
2=√5
2−4
2=3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
【变式4-2】（2022 秋•盐都区校级月考）如图，点P 是⊙O 内一定点．
（1）过点P 作弦AB，使点P 是AB 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O 的半径为13，OP＝5，
①求过点P 的弦的长度m 范围；
②过点P 的弦中，长度为整数的弦有
4
条．
【分析】（1）连接OP 并延长，过点P 作AB⊥OP 即可；
（2）①过点P 的所有弦中，直径最长为26，与OP 垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝
24，即可得出答案；
②过P 点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25 的弦有2 条，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OP 并延长，过点P 作AB⊥OP，
则弦AB 即为所求；
（2）①过点P 的所有弦中，直径最长为26，与OP 垂直的弦最短，
连接OA，如图2 所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP=√O A
2−O P
2=√13
2−5
2=12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P 的弦的长度m 范围为24≤m≤26；
②∵过P 点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25 的弦有两条，
∴过点P 的弦中，长度为整数的弦共有4 条，
故答案为：4．
【变式4-3】（2022 秋•天河区校级期中）已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离OH＝3，点P 是圆上
一动点，设过点P 且与AB 平行的直线为l，记直线AB 到直线l 的距离为d．
（1）求AB 的长；
（2）如果点P 只有两个时，求d 的取值范围；
（3）如果点P 有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．
【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；
（2）求出HC 和HD 的值，结合图形得出即可；
（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）
连接OA，如图1，
∵点O 到弦AB 的距离OH＝3，
∴AB⊥OC，
∴∠OHA＝90°，AB＝2AH，
在Rt△AHO 中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4，
∴AB＝2AH＝8；
（2）
延长CO 交⊙O 于D，如图2，
∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，
∴点P 只有两个时d 的取值范围是2＜d＜8；
（3）
如图3，∵CH＝5﹣3＝2，HD＝5+3＝8，
∴点P 有且只有三个时，d＝2，
如图，P 在C、E、F 处，连接OE，
∵OC⊥AB，AB∥EF，
∴OC⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵OE＝5，OM＝5﹣2﹣2＝1，CM＝2+2＝4，
∴由勾股定理得：EM=√5
2−1
2=2√6；
∴EF＝2EM＝4√6，
∴S△CEF= 1
2 ×EF×CM= 1
2 ×4√6×4＝8√6
即点P 有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是8√6．
【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O 的直径CD＝10，CD 与⊙O 的弦AB 垂直，垂足为M，且AM＝
4.8，则直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有（ ）
A．1 个
B．3 个
C．6 个
D．7 个
【分析】利用勾股定理得出线段AD 和AC 的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．
【解答】解：∵CD 是直径，
∴OC＝OD= 1
2CD= 1
2 ×10＝5，
∵AB⊥CD，
∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，
∴OM=√5
2−4．8
2=1.4，
∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC=√4．8
2+6．4
2=8，AD=√4．8
2+3．6
2=6，
∵AM＝4.8，
∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，
A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，
直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6 个，
故选：C．
【变式5-1】（2022 秋•新昌县期末）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 于点C，连接OB，点P 是半径OB
上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP 的长不可能是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】首先利用勾股定理得出AC 的长，求出AB 长，再利用三角形边之间的关系进而得出
AO≤AP≤AB，即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB 于点C，OB＝5，OC＝3，
∴BC=√5
2−3
2=4，
∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，
∴5≤AP≤8，
∴AP 的长度不可能是：9（答案不唯一）．
故选：D．
【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB 是⊙C 的弦，直径MN⊥AB 于点O，MN＝10，AB＝8，
如图以O 为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC 长是
3
，⊙C
上的整数点有
12
个．
【分析】过C 作直径UL∥x 轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再
得出答案即可．
【解答】解：过C 作直径UL∥x 轴，
连接CA，则AC= 1
2 ×10＝5，
∵MN 过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，
∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，
由勾股定理得：CO=√A C
2−OC
2=√5
2−4
2=3，
∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，
即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），
同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR 都平行于x 轴，
Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，
3），L（5，3），
即共12 个点，
故答案为：3；12．
【变式5-3】（2022 秋•肇东市期末）已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所
在直线的距离为2 的点有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【分析】过O 点作OC⊥AB，交⊙O 于P，由OC＝3，OA＝5，得到PC＝2，即点P 到直线AB 的距离
为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N 到直
线AB 的距离为3．
【解答】解：过O 点作OC⊥AB，交⊙O 于P，如图，
∴OC＝3，
而OA＝5，
∴PC＝2，即点P 到直线AB 的距离为2；
在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，
∴在直线AB 的这边，还有两个点M，N 到直线AB 的距离为2．
故选：B．
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1 的⊙O 中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，
120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A．√2
B．1
C．√3
2
D．√2
2
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD 分别为等边三角形，等腰直角三角形，
进而可得到AB、CD 长；再过点O 作OH⊥EF 于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH
＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF 为
边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝
120°，
在Rt△COD 中，CD=√1
2+1
2=√2．
∵OA＝OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
过点O 作OH⊥EF 于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，
∴FH＝1× √3
2 = √3
2 ．
∴EF＝2FH=√3．
∵1
2+(√2)
2=(√3)
2，即AB2+CD2＝EF2，
∴以AB、CD、EF 为边的三角形为直角三角形，
∴其面积为：1
2 ×√2×1= √2
2 ．
故选：D．
【变式6-1】（2022 秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH 的四个顶点都在⊙O 上，顺次连接矩形各边
的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD 的面积为
96
．
【分析】先连接OH，根据BD＝12 得出OD 长，那么可得到圆的半径为OD+DF，利用三角形全等可得
菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA 的长，由S 菱形ABCD＝4S△AOD即可得出结论．
【解答】解：如图：连接OH，
∵BD＝12，DF＝4
∴⊙O 的半径r＝OD+DF= 1
2BD+DF= 1
2 ×12+4＝10，
∴OH＝10
在Rt△HOD 与Rt△ADO 中，OD＝OD，AO＝HD，∠AOD＝∠HDO＝90°
∴△AOD≌△GDO，
∴OH＝AD＝10，
在Rt△AOD 中，
∵AD＝10，OD＝6，
∴OA=√AD
2−OD
2=√10
2−6
2=8，
∴S 菱形ABCD＝4S△AOD＝4× 1
2 ×6×8＝96．
故答案为：96．
【变式6-2】（2022 秋•西城区校级期中）如图，AB 为⊙O 直径，过点O 作OD⊥BC 于点E，交⊙O 于点
D，CD∥AB．
（1）求证：E 为OD 的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD 的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）在⊙O 中，OD⊥BC 于E，
∴CE＝BE，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠B，
在△DCE 与△OBE 中{
∠DCE =∠B
CE = BE
∠CED =∠BEO
，
∴△DCE≌△OBE（ASA），
∴DE＝OE，
∴E 是OD 的中点；
（2）连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠CED＝90°＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∵CD∥AB，
∴四边形CAOD 是平行四边形，
∵E 是OD 的中点，CE⊥OD，
∴OC＝CD，
∵OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD 是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，
∴在Rt△CDE 中，CD＝2DE，
∵BC＝6，
∴CE＝BE＝3，
∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，
∴DE=√3，CD＝2√3，
∴OD＝CD＝2√3，
∴四边形CAOD 的面积＝OD•CE＝6√3．
【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D 均在⊙O 上，点B 在⊙O 内，且AB⊥BC 于点B，
BC⊥CD 于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O 的面积为（ ）
A．125 π
4
B．275 π
4
C．125 π
9
D．275 π
9
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算
即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O 作OM⊥CD 于M，MO 的延长线于AB 延长线交于N，则四
边形BCMN 是矩形，
∵OM⊥CD，CD 是弦，
∴CM＝DM= 1
2CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM 中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x= 5
2，
即ON= 5
2，
∴OA2＝52+（5
2）2= 125
4 ，
∴S⊙O＝π×OA2= 125
4 π，
故选：A．
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】（2022 秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标
系，使点A 的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣1）
C．（﹣1，1）
D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC 的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC 的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A 的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
【变式7-1】（2022 春•海门市期中）如图所示，⊙P 过B、C 两点，写出⊙P 上的格点坐标．
【分析】根据同圆的半径相等可得点P 的坐标．
【解答】解：由图形可知：⊙P 上的格点坐标为（4，2）．
【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C 均在小正
方形的顶点上，点C 同时也在^
AB上，若点P 是^
BC的一个动点，则△ABP 面积的最大值是
8 √5−8
．
【分析】作AB 的垂直平分线交AB 于D，交^
AB于E，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE、BE，
CF⊥OE 于F，如图，设⊙O 的半径为r，OD＝x，利用勾股定理得到r2＝x2+42①，r2＝（x+2）2+22②，
则利用②﹣①可求出得x＝2，所以r＝2√5，DE＝2√5−2，然后根据三角形面积公式，点P 点与点E 重
合时，△ABP 面积的最大值．
【解答】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D，交^
AB于E，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AE、BE，
CF⊥OE 于F，如图，
设⊙O 的半径为r，OD＝x，
在Rt△BOD 中，r2＝x2+42①，
在Rt△OCF 中，r2＝（x+2）2+22②，
②﹣①得4+4x+4﹣16＝0，
解得x＝2，
∴OD＝2，
∴r=√2
2+ 4
2=2√5，
∴DE＝OE﹣OD＝2√5−2，
∵点P 是^
BC的一个动点，
∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为1
2 ×8×（2√5−2）＝8√5−8．
故答案为：8√5−8．
【变式7-3】（2017 秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1 的正方形网格中建立一直角坐标系，一条
圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为 （
2 ，
1 ）
；
（2）连接AD、CD，则⊙D 的半径为 √13 ，∠ADC 的度数为
90°
．
【分析】（1）利用网格特点，作AB 和BC 的垂直平分线，然后根据垂径的推论可判定它们的交点为D
点，从而得到D 点坐标；
（2）先利用勾股定理计算出DA、DC、AC，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADC 的度数为90°．
【解答】解：（1）如图，点D 为所作，
D 点坐标为（2，1）；
（2）AD=√2
2+3
2=√13，CD=√2
2+3
2=√13，AC=√1
2+5
2=√26，
∵DA2+DC2＝AC2，
∴△ADC 为直角三角形，∠ADC＝90°，
即⊙D 的半径为√13，∠ADC 的度数为90°．
故答案为（2，1）；√13，90°．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E 与y 轴交于点A（0，﹣2），B
（0，4），与x 轴交于C，D，则点D 的坐标为（ ）
A．(4−2√6，0)
B．(−4+2√6，0)
C．(−4+√26，0) D．(4−√26，0)
【分析】过O 点作EH⊥AB 于H，EF⊥CD 于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝
BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出
FD，然后计算出OD，从而得到D 点坐标．
【解答】解：过O 点作EH⊥AB 于H，EF⊥CD 于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH
∵A（0，﹣2），B（0，4），
∴AB＝6，
∴BH＝3，
∴OH＝1，
在Rt△BHE 中，EH=√E B
2−B H
2=√5
2−3
2=4，
∵四边形EHOF 为矩形，
∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，
在Rt△OEF 中，FD=√D E
2−E F
2=√5
2−1
2=2√6，
∴OD＝FD﹣OF＝2√6−4，
∴D（2√6−4，0）．
故选：B．
【变式8-1】（2022 秋•西林县期末）如图，⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P 的横
坐标为﹣4．则⊙P 的半径为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】过点P 作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理得DM＝3，在Rt△PMD 中，由勾股定理可求得PM
为5 即可．
【解答】解：过点P 作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P 与y 轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN= 1
2MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P 的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM=√P D
2+ D M
2=√4
2+3
2=5，
即⊙P 的半径为5，
故选：C．
【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l 为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x 轴，与直线l 交于点
B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2；再作A2B2⊥x 轴，交直线l 于点B2，以原点O
为圆心，OB2长为半径画圆弧交x 轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 （（√2）
2021
，
0 ）
．
【分析】利用直线y＝x 平分第一、三象限，则B1（1，1），由于OA2＝OB1=√2OA1=√2，OA3＝OB2
=√2OA2＝（√2）2，依此变化规律得到OA2022＝（√2）2021，从而得到点A2022的坐标．
【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x 轴，与直线y＝x 交于点B1，
∴OA1＝1，B1（1，1），
∵以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2，
∴OA2＝OB1=√2OA1=√2，
∵以原点O 为圆心，OB2长为半径画圆弧交x 轴于点A3，
∴OA3＝OB2=√2OA2=√2×√2=（√2）2，
同理可得OA4＝（√2）3，
•••
∴OA2022＝（√2）2021，
∴点A2022的坐标为（（√2）2021，0）．
故答案为：（（√2）2021，0）．
【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5 的⊙P 与y 轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y
＝﹣2x+m 图象过点P，则m＝ ﹣
15
．
【分析】过P 点作PE⊥ON 交y 轴于点E，连接PM，由点M（0，﹣4），N（0，﹣10）得MN＝6，所
以ME＝NE＝3，得E（0，﹣7），由勾股定理得PE＝4，故P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m 得m．
【解答】解：过P 点作PE⊥ON 交y 轴于点E，连接PM，
∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10），
∴MN＝6，
∴ME＝NE＝3，
∴E（0，﹣7），
∵PM＝5，
∴PE=√5
2−3
2=4，
∵点P 在第三象限，
∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m 得，m＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】（2022 秋•化德县校级期末）⊙O 的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB
和CD 的距离为（ ）
A．2cm
B．14cm
C．2cm 或14cm
D．10cm 或20cm
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于AB 与CD 之间时，连接OA，OC，如图1 所示，过O 作
EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F 分别为AB、CD 的中点，分别求出OE
与OF，由OE+OF 即可得到EF 的长；当圆心在AB 与CD 一侧时，连接OA，OC，如图2 所示，过O 作
EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE 与OF，由OE﹣OF 即可求出EF 的长．
【解答】解：当圆心位于AB 与CD 之间时，连接OA，OC，如图1 所示，
过O 作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
∴E、F 分别为AB、CD 的中点，
∴AE＝6cm，CF＝8cm，
在Rt△AOE 中，OA＝10cm，AE＝6cm，
根据勾股定理得：OE＝8cm，
在Rt△COF 中，OC＝10cm，CF＝8cm，
根据勾股定理得到OF＝6cm，
此时AB 和CD 的距离EF＝8+6＝14cm；
当圆心在AB 与CD 一侧时，连接OA，OC，如图2 所示，
过O 作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，
同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，
此时AB 和CD 的距离EF＝8﹣6＝2cm，
综上，AB 和CD 的距离为2cm 或14cm．
故选：C．
【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O 的半径为5，弦AB＝8，D 为弦AB 上一点，且AD＝1，过点D
作CD⊥AB，交圆O 于C，则CD 长为（ ）
A．1
B．7
C．8 或1
D．7 或1
【分析】连接OB，OC1，过O 作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO 是矩形，根据矩形的性质得到
OE＝DF，OF＝DE，根据勾股定理得到BF=√5
2−4
2=3，得到OE＝DF＝3，由勾股定理得到C1E
=√5
2−3
2=4，于是得到结论．
【解答】解：如图，
连接OB，OC1，过O 作OE⊥CD，OF⊥AB，
则四边形EDFO 是矩形，
∴OE＝DF，OF＝DE，
∵圆O 的半径为5，弦AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
∴BF=√5
2−4
2=3，
∵AD＝1，∴DF＝3，
∴OE＝DF＝3，
∴C1E=√5
2−3
2=4，
∴C2E＝4，
∴C1D＝7，C2D＝1，
∴CD 长为7 或1，
故选：D．
【变式9-2】（2022 秋•方正县期末）如图，⊙O 的弦AB 与半径OC 垂直，点D 为垂足，OD＝DC，AB＝2
√3，点E 在⊙O 上，∠EOA＝30°，则△EOC 的面积为
1 或
2
．
【分析】设⊙O 的半径为x（x＞0），则OD＝DC= 1
2x，根据垂径定理可知AD=√3，在Rt△ADO 中利
用勾股定理即可求出x 值，再分点E 在^
AC外和点E 在^
AC上两种情况考虑△EOC 的面积，当点E 在^
AC
外时，通过角的计算可得出∠COE＝90°，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值；当点E 在^
AC上
时，过点E 作EF⊥OC 于点F，通过角的计算可得出∠COE＝30°，由此可得出EF 的长度，利用三角形
的面积公式即可求出S△EOC的值．综上即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，连接OA．
设⊙O 的半径为x（x＞0），则OD＝DC= 1
2x．
∵OC⊥AB 于点D，
∴∠ADO＝90°，AD＝DB= 1
2AB=√3．
在Rt△ADO 中，AO＝x，OD= 1
2x，AD=√3，
∴∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，AD=√A O
2−O D
2= √3
2 x=√3，
解得：x＝2．
当点E 在^
AC外时，∠COE＝∠AOD+∠EOA＝90°，
∴S△EOC= 1
2EO•OC＝2；
当点E 在^
AC上时，过点E 作EF⊥OC 于点F，
∵∠COE＝∠AOD﹣∠EOA＝30°，
∴EF= 1
2OE＝1，
∴S△EOC= 1
2OC•EF＝1．
综上可知：△EOC 的面积为1 或2．
故答案为：1 或2．
【变式9-3】（2022 秋•淮南月考）如图，已知⊙O 的半径为2．弦AB 的长度为2，点C 是⊙O 上一动点，
若△ABC 为等腰三角形，则BC2的长为
8 ± 4√3或
12
或
4
．
【分析】当△ABC 为等腰三角形时，分两种情况：①如图1，AC＝BC，在AB 的两侧各有一个符合条件
的点C，根据勾股定理可得结论；②如图2，当AB＝AC 时，连接OC3，AO，AO 交BC3于E，则BE＝
C3E，根据直角三角形30 度的性质和勾股定理，垂径定理可得结论．
【解答】解：当△ABC 为等腰三角形时，分以下两种情况：
①如图1，以AB 为底边时，AC＝BC，连接C1C2，AO，则C1C2过圆心O，
∴C1C2⊥AB，
∴AD= 1
2AB＝1，
∵OA＝2，
∴OD=√2
2−1
2=√3，
∴C1D＝2+√3，C2D＝2−√3，
∴BC1
2=(2+√3)
2+1
2=8+4√3，BC2
2=(2−√3)
2+1
2=8﹣4√3；
②如图2，以AB 为腰时，AB＝AC3＝BC4＝2，连接OC3，AO，AO 交BC3于E，则BE＝C3E，BC4
2＝4，
∵OC3＝AO＝AC3＝2，
∴△AC3O 是等边三角形，
∴∠EOC3＝60°，
∴∠OC3E＝30°，
∴C3E=√3，
∴BC3＝2√3，
∴BC3
2＝（2√3）2＝12，
综上，BC2＝8± 4√3或12 或4．
故答案为：8± 4√3或12 或4．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（2022 秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高
（弧的中点到弦的距离）4 米，则求拱桥的半径为（ ）
A．16m
B．20m
C．24m
D．28m
【分析】设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，设拱桥的半径为R 米，由
垂径定理得AD= 1
2AB＝12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆弧形拱桥的圆心为O，跨度为AB，拱高为CD，连接OA、OD，如图：
设拱桥的半径为R 米，
由题意得：OD⊥AB，CD＝4 米，AB＝24 米，
则AD＝BD= 1
2AB＝12（米），OD＝（R﹣4）米，
在Rt△AOD 中，由勾股定理得：R2＝122+（R﹣4）2，
解得：R＝20，
即桥拱的半径R 为20m，
故选：B．
【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西
方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1
寸，锯道长1 尺．如图，已知弦AB＝1 尺，弓形高CD＝1 寸，（注：1 尺＝10 寸）问这块圆柱形木材
的直径是（ ）
A．13 寸
B．6.5 寸
C．26 寸
D．20 寸
【分析】设⊙O 的半径为r 寸．在Rt△ADO 中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，
解方程即可；
【解答】解：设⊙O 的半径为r 寸．
在Rt△ADO 中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O 的直径为26 寸，
故选：C．
【变式10-2】（2022 秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加
简约．如图，摩天轮直径88 米，最高点A 距离地面100 米，匀速运行一圈的时间是18 分钟．由于受到
周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏
时长为
12
分钟．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC＝OD﹣CD＝22（米），则OC= 1
2OB，得
∠OBC＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为：360°÷18 分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88 米，AM＝100 米，CM＝BN＝34 米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），
∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），
∴OC= 1
2OB，
∵∠OCB＝90°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），
故答案为：12．
【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20 米的圆形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，
∠AOB＝120°，从A 到B 只有路^
AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通
过计算可知，这些市民其实仅仅少走了
15
步（假设1 步为0.5 米，结果保留整数）．（参考数据：
√3≈1.732，π 取3.142）
【分析】作OC⊥AB 于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角
和计算出∠A＝30°，则OC＝10，AC＝10√3，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出^
AB的长，
最后求它们的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB 于C，如图，
则AC＝BC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B= 1
2（180°﹣∠AOB）= 1
2（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△AOC 中，OC= 1
2OA＝10，AC=√3OC＝10√3，
∴AB＝2AC＝20√3≈69（步）；
而^
AB的长= 120⋅π ⋅20
180
≈84（步），
^
AB的长与AB 的长多15 步．
所以这些市民其实仅仅少走了 15 步．
故答案为15．
