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2024 届大题强化训练及变式训练（12）
1．如图，在圆锥 中， 是圆 的直径，且 是边长为4的等边三角形， 为圆弧
的两个三等分点， 是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，由题意可证得 ，再由线面平行
的判定定理证明即可；
（2）以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求
出平面 与平面 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 .
因为 为圆弧 的两个三等分点，所以 .
因为 分别为 的中点，所以 ，
则 ，从而四边形 为平行四边形，
故 .因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（1）以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，所以 ， ，
则 .设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 .
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
变式：如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 、 分别为 、 上的
点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 平面 ， 为 的中点， ， ，求二面角
的正切值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）在 上取一点 ，使得 ，连接 、 ，证明出平面 平面
，再利用面面平行的性质可证得结论成立；
（2）推导出 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空
间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【解析】（1）证明：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 、 ，
因为 ，且 是平行四边形，
所以 ，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为四边形 是平行四边形，则 且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）当点 为 的中点， 平面 ， ， 时，
连接 ，则 为等边三角形，所以， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 、 、 、 ，
所以 ， ， .
设平面 与平面 的法向量分别为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，取 ，可得 ，
所以， ，
则 。
所以， ，
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 正切值为 .
的
2．已知函数
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围；【答案】（1）极小值为1，无极大值 （2）
【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；
（2）由题意得在区间 上 ，参变分离，构造函数 ，求出最小值，得到答
案.
【解析】（1） 时， ，定义域为 ，
，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 处取得极小值， ，
的极小值为 ，无极大值.
（2） 在区间 上为减函数，
∴在区间 上 ，
，
令 ，只需 ，
显然 在区间 上为减函数，
，
变式：已知 ，函数 .
（1）求 的单调区间.
（2）讨论方程 的根的个数.
【答案】(1)减区间为： ， ；增区间为： . (2)
【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间.
（2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数.
【解析】(1)因为 （ ）.
所以： .
由 ，又函数定义域为 ，
所以函数在 和 上单调递减，在 上单调递增.
(2)因为 ，所以：当 时， ，方程 无解；
当 ，函数在 上递减，在 递增，所以 ，所以方程 无解.
综上可知：方程 的根的个数为 .
3．已知各项均不为0的数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若对于任意 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据题意，得到 时， ，两式相减得到 ，得到
及 均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通
项公式；
（2）由（1）求得 ，证得为 恒成立，设 ，求得数列的单调性和最大值，即可求
解.
【解析】（1）因为数列 的前 项和为 ，且 ，即 ，
当 时，可得 ，
两式相减得 ，
因为 ，故 ，
所以 及 均为公差为4的等差数列：
当 时，由 及 ，解得 ，
所以 ， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得 ，
因为对于任意 成立，所以 恒成立，
设 ，则 ，
当 ，即 时，
当 ，即 时，
所以 ，故 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .变式：已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求
的范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】(1)当 时， ， ，
当 时，由 ①，得 ②，① ②得
，又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
(2)由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 ．
4．某单位进行招聘面试，已知参加面试的 名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学
生人数为 .该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码
，按面试号码 由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离
场.（1）求面试号码为2的学生来自A校的概率.
（2）若 ， ，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为 ，求A校参加面试的学生先
于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）
的概率.
（3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用 的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A
校学生完成面试所用的时间）， 是 的数学期望，证明： .
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【分析】（1）按古典概型的计算方法求解.
（2）先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算.
（3）先求出分布列，再按期望的公式进行化简.
【解析】（1）记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，
将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为 ，
事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，
其他 名学生的面试号码在剩余 个面试号码中随机安排，
则事件A包含的样本点数为 ，
故 ．
（2）设B校参加面试的学生有x名，由题意得 ，解得 ．
所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．
记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，
显然事件B，C互斥．
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则 ．
当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则 ．
当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则 ．
所以 ．
（3）由题知随机变量X的取值为 ， ，…， ，
则随机变量X的分布列为 ， ， ，…，N．
所以随机变量X的期望．
所以 ．
变式：已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽
球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试
验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色
不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为
随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行 轮试验（若第 轮不成功，也停止试验），记乙在第
轮使得试验成功的概率为 ，则乙能试验成功的概率为 ，证明：
.
【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析
【分析】（1）由条件确定的 取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；
（2）由（1）中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.
【解析】（1）由题意得， 的可能取值为 ，
在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为 ，
，
依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为 ，
，
易知 ，
的分布列为：
1 2 3的数学期望 .
（2）证明：当 时，不难知道 ，
，
，
由（1）可知 ，又 ，
，
.
即 .
5．已知抛物线 ： ，焦点为 ，过 作 轴的垂线 ，点 在 轴下方，过点 作抛物线
的两条切线 ， ， ， 分别交 轴于 ， 两点， ， 分别交 于 ， 两点．
（1）若 ， 与抛物线 相切于 ， 两点，求点 的坐标；
（2）证明： 的外接圆过定点；
（3）求 面积 的最小值．
【答案】（1） （2）证明见解析 20.
【分析】（1）由已知可得 ， 两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方
程，联立方程即可得 点坐标；
（2）设过 的两条切线分别与抛物线切于 ， ，写出直线 ， 的方程，联
立可得 点坐标，设 外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标；
（3）由已知设 ， 坐标，表示 和 到 的距离 ，然后表示 ,设 ，， ，可得 ，利用函数的单调性即可
求得最小值.
【解析】（1）∵ ， 与抛物线 相切于 ， 两点，
设 在左侧，则 ， ，
由 得 ，所以 ，
所以 的斜率为 ， 的斜率为 ，
此时 方程： ，即 ．
方程： ，即 ，联立 得 ；
（2）设过 的两条切线分别与抛物线切于 ， ，
由（1）知直线 的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 ，
直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，即 ，
所以 且 ， ，
设 外接圆的圆心为 ，则 在 的垂直平分线上，而 的中点为 ，所
以 ，
设 外 接 圆 方 程 为 ： 过 ， 所 以，
所以 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
令 即 ，所以 的外接圆过定点 ；
（3） ： ，所以 ， ，
所以 ，
到 距离为 ，所以 ，
的
设 ， ， ，由 ，
，当且仅当 时等号成立．
所以 ，
令 ， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，所以 面积 的最小值 .
变式：已知抛物线 为抛物线 上两点， 处的切线交于点 ，过点
作抛物线 的割线交抛物线于 两点， 为 的中点.
（1）若点 在抛物线 的准线上，（i）求直线 的方程（用含 的式子表示）；
（ii）求 面积的取值范围.
（2）若直线 交抛物线 于另一点 ，试判断并证明直线 与 的位置关系.
【答案】（1）（i） ；（ii） （2）平行，证明见解析
【分析】（1）（i）设点 ，通过求导求出切线方程，然后联立求出 的坐
标，设出直线 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理可得答案；（ii）利用弦长公式和点到直线
的距离公式表示出 的面积，然后求其最值即可；
（2）设出直线 的方程，与抛物线联立可得 的坐标，进而可写出直线 的方程，与抛物线联
立可得 的坐标，利用韦达定理求出 即可得答案.
【解析】（1）（i）设点 ，因为抛物线 ，得 ，
则 ，整理得 ①，
，整理得 ②，
联立①②得 ，
因为点 在抛物线 的准线上，即直线 上，
所以 ，
设直线 的方程为 ，斜率必存在，
联立 ，消去 得 ，
所以 ，得 .
所以直线 方程为 ；
的
（ii）由（i）得
则 ，点 到直线 的距离为 ，
所以 ，令 ，
则 ，明显当 时，面积取最小值 ，无最大值，
故 面积的取值范围为
（2）直线 与 平行，
证明：直线 斜率必存在，设 ，与 联立，
消去 得 ，设 ，
则 ，得
则直线 ，与 联立，消去 得
，
整理得 ，
则 ，得 ，
则 ，则
，
即直线 与 平行.
