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进阶篇 不等式证明方法
进阶1 指对放缩
分值：34 分
1.(17 分)已知函数f(x)=ex.
(1)讨论函数g(x)=f(ax)-x-a 的单调性；(8 分)
(2)证明：f(x)+ln x+3
x > 4
√x .(9 分)
2.(17 分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)当x≥0 时，若不等式f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围；(8 分)
(2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2.(9 分)
答案精析
1.(1)解 g(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a，g'(x)=aeax-1，
①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R 上单调递减.
②若a>0，当x<-1
aln a 时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>-1
aln a 时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0 时，g(x)在R 上单调递减；当a>0 时，g(x)在(-∞，- 1
a ln a)上单调递减，在
(- 1
a ln a，+∞)上单调递增.
(2)证明 要证f(x)+ln x+3
x > 4
√x ，
只需证x(ln x+ex)-4√x+3>0，x>0，
由(1)可知，当a=1 时，ex-x-1≥0，
即ex≥x+1，等号成立的充要条件为x=0.
当x+1>0 时，上式两边取以e 为底的对数，
可得ln(x+1)≤x(x>-1)，
用x-1 代替x 可得ln x≤x-1(x>0)，
又可得ln1
x ≤1
x -1(x>0)，
所以ln x≥1-1
x (x>0)，
等号成立的充要条件为x=1.
所以x(ln x+ex)-4√x+3
>x(1- 1
x + x +1)+3-4√x
=x2+2x+2-4√x=(x+1)2-4√x+1≥(2√x)2-4√x+1
=(2√x-1)2≥0，
从而不等式f(x)+ln x+3
x > 4
√x 成立.
2.(1)解 由条件得f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，
则h'(x)=ex-2a.
①当2a≤1，即a≤1
2时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=0，
∴当a≤1
2时满足条件；
②当2a>1，即a>1
2时，令h'(x)=0，
解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，
有h(x)<h(0)=0，
即f'(x)<f'(0)=0，
∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
∴f(x)<f(0)=0，不符合题意.
综上，实数a 的取值范围为(-∞，1
2].
(2)证明 由(1)得，
当a=1
2 ，且x>0 时，
ex>1+x+ x
2
2 ，
即ex-1>x+ x
2
2 = x
2+2 x
2
，
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2，
只需证明ex-1>
x
2
ln( x +1) ，
只需证明x
2+2 x
2
>
x
2
ln( x +1) ，
只需证ln(x+1)> 2 x
x +2 ，
设F(x)=ln(x+1)- 2 x
x +2 ，
则F'(x)= 1
x +1-
4
( x +2)
2
=
x
2
( x +1)( x +2)
2 ，
∴当x>0 时，F'(x)>0 恒成立，
故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0，
∴当x>0 时，F(x)>0 恒成立.
∴原不等式成立.
