§2.2 函数的单调性与最值
分值：100 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.下列函数中，在(0，+∞)上单调递减的是( )
A.y=√x
B.y=-1
x
C.y=(
1
2)
x +1
D.y=log2x
2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是( )
A.(-∞，0)
B.(0，1
2)
C.(
1
2 ，1)
D.(1，+∞)
4.已知函数f(x)= 2 x
x -1 ，则f(x)在区间[2，6]上的最大值为( )
A.12
5
B.3
C.4
D.5
5.已知函数f(x)={
(a-2)x -1, x ≤1,
lo ga x , x>1
满足对任意x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0 成立，则实数a 的取值范围为(
)
A.(1，2)
B.(2，3)
C.(2，3]
D.(2，+∞)
6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>-1，则下列说法正确的是(
)
A.y=f(x)+x 是增函数
B.y=f(x)+x 是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知函数f(x)=2
x -1
2
x+1
，则下列选项中正确的是( )
A.f(-x)=f(x)
B.函数f(x)的值域为[-1，1]
C.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0
D.∀x∈R，“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件
8.已知函数f(x)的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f(a)f(b)=f(a+b)，f(0)≠0 且当x>0 时，0<f(x)<1，则(
)
A.∀x∈R，都有f(x)=-
1
f (- x)
B.当x<0 时，f(x)>1
C.f(x)是减函数
D.若f(3)=1
2 ，则不等式f(2t2-5t)> 1
16的解集为(- 3
2 ，4)
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.函数f(x)=4 x -3
2 x +3 的单调递增区间为
.
10.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)称为柯西方程，满足该
方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R 上单调递减的加性函数 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知函数f(x)=x+1
x .
(1)用定义证明函数f(x)在(1，+∞)上单调递增；(7 分)
(2)求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.(6 分)
12.(14 分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1 时，f(x)>0.
(1)求证：f (
m
n)=f(m)-f(n)；(5 分)
(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9 分)
13，14 题每小题6 分，15，16 题每小题5 分，共22 分
13.(多选)若函数f(x)在定义域内的某区间M 上单调递增，且f ( x)
x
在M 上单调递减，则称函数f(x)在M 上是
“弱增函数”，则下列选项中正确的是( )
A.若f(x)=x2，则存在区间M 使f(x)为“弱增函数”
B.若f(x)=x+1
x ，则存在区间M 使f(x)为“弱增函数”
C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R 上的“弱增函数”
D.若f(x)=x2+(4-a)x+a 在区间(0，2］上是“弱增函数”，则a=4
14.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正
切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=e
x -e
- x
2
,双曲余弦函数cosh x=e
x+e
- x
2
,双曲正切函数tanh
x= sinh x
cosh x .则 ( )
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)= tanh x + tanh y
1+ tanh x tanh y
15.已知正实数a，b 满足：a·ea-2=1，eb+ln b=1，则a
b的值是( )
A.√e
B.2
C.e
D.3
16.已知函数f(x)＝{
ax - x
2, x ≥0,
-2 x , x<0.
若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
<0,则实数a 的取值范围为
；若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则实数t 的取值范围为 .
答案精析
1.C 2.C 3.B 4.C
5.C [函数f(x)={
(a-2)x -1，x ≤1，
lo ga x，x>1
的定义域为R，
由对任意x1≠x2，
都有f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>0，
得函数f(x)在R 上为增函数，
于是{
a-2>0，
a>1，
a-3≤0，
解得2<a≤3，
所以实数a 的取值范围为(2，3].]
6.A [不妨令x1<x2，∴x1-x2<0，
∵
f ( x1)- f ( x2)
x1- x2
>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2，
令g(x)=f(x)+x，
∴g(x1)<g(x2)，
又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x 是增函数.]
7.CD [f(-x)=2
- x -1
2
- x+1
=1-2
x
2
x+1
=-f(x)，故A 错误；
由f(x)=2
x -1
2
x+1
=1-
2
2
x+1，因为
2
2
x+1≠0，所以f(x)≠1，故B 错误；
由f(x)=2
x -1
2
x+1
=1-
2
2
x+1，对于∀x1，x2∈R，且x1<x2，
则f(x2)-f(x1)=1-
2
2
x2+1-1+
2
2
x1+1=
2
2
x1+1-
2
2
x2+1
=
2(2
x2-2
x1)
(2
x1+1)(2
x2+1)
，
因为x1<x2，所以2
x2>2
x1，
即2
x2-2
x1>0，
又因为(2
x1+1)(2
x2+1)>0，
所以f(x2)-f(x1)>0，所以函数f(x)在其定义域R 上为增函数，
所以∀x1，x2∈R 且x1≠x2，
有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
>0，故C 正确；
充分性：当a≥1 时，
因为-1≤sin x≤1，
由f(x)为增函数，
所以f(a2)≥f(sin x)，故充分性成立；
必要性：由f(x)为增函数，
当f(a2)≥f(sin x)恒成立时，
因为-1≤sin x≤1，
所以a2≥1，解得a≥1 或a≤-1，故必要性不成立，
综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件，故D 正确.]
8.BCD [令a=0，b=1，则f(0)f(1)=f(1)，易知0<f(1)<1，所以f(0)=1.当x<0 时，-x>0，
所以0<f(-x)<1，
又f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，
所以f(x)=
1
f (- x)，即f(x)>1，A 错误，B 正确；
设x1<x2，且x1，x2∈R，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)
=f(x2)[f(x1-x2)-1]，
又x1<x2，所以x1-x2<0，
所以f(x1-x2)>1，
又当x<0 时，f(x)>1，
当x>0 时，0<f(x)<1，f(0)=1，
所以f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)是减函数，C 正确；
因为f(3)=1
2，
所以f(12)=f(6)f(6)=[f(3)]4= 1
16，
所以f(2t2-5t)> 1
16，
即f(2t2-5t)>f(12)，
又f(x)是减函数，
所以2t2-5t<12，
解得-3
2<t<4，
所以不等式f(2t2-5t)>f(12)的解集为(- 3
2 ，4)，D 正确.]
9.(-∞，- 3
2)，(- 3
2 ，+∞)
解析 f(x)=4 x -3
2 x +3 =4 x +6-9
2 x +3
=2-
9
2 x +3，
由2x+3≠0，得x≠-3
2，
当x∈(-∞，- 3
2)时，y=
9
2 x +3单调递减，
f(x)单调递增；
当x∈(- 3
2 ，+ ∞)时，y=
9
2 x +3单调递减，
f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，- 3
2)，(- 3
2 ，+ ∞).
10.f(x)=-x(答案不唯一)
解析 设f(x)=-x，在R 上单调递减.
f(x+y)=-x-y，f(x)=-x，f(y)=-y，满足f(x+y)=f(x)+f(y).
所以函数f(x)=-x 是在R 上单调递减的加性函数.
11.(1)证明 任取x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+ 1
x1
-x2- 1
x2
=x1-x2+ x2- x1
x1 x2
=(x1-x2)(1-
1
x1 x2)，
因为x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2，可得x1-x2<0，x1x2>1，0< 1
x1 x2
<1，
则1- 1
x1 x2
>0，
所以f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)(1-
1
x1 x2)<0，
即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.
(2)解 由(1)知函数f(x)在[3，6]上单调递增，
所以f(x)max=f(6)=37
6 ，
f(x)min=f(3)=10
3 ，
所以函数f(x)在区间[3，6]上的最大值为37
6 ，最小值为10
3 .
12.(1)证明 f(m)=f (
m
n ·n)
=f (
m
n)+f(n)，
即f (
m
n)=f(m)-f(n).
(2)解 任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，
则
x2
x1
>1.
由(1)得f(x2)-f(x1)=f (
x2
x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，
f(x+2)-f(2x)>2⇔f(x+2)>f(2x)+f(4)⇔f(x+2)>f(8x)，
又f(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴{
x +2>8 x，
x>0，
解得0<x<2
7，
故不等式f(x+2)-f(2x)>2 的解集为{x|0< x< 2
7}.
13. BD [f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，y=f ( x)
x
=x 在(0，+∞)上单调递增，
因此不存在区间M 使f(x)=x2为“弱增函数”，A 错误；
由对勾函数的性质知，f(x)=x+1
x 在［1，+∞)上单调递增，y=f ( x)
x
=1+x-2在［1，+∞)上单调递减，
因此存在区间［1，+∞)使f(x)=x+1
x 为“弱增函数”，B 正确；
函数f(x)=x+x3在R 上单调递增，y=f ( x)
x
=1+x2，显然函数f ( x)
x
在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递
减，
因此函数f(x)=x+x3不是R 上的“弱增函数”，C 错误；
若f(x)=x2+(4-a)x+a 在区间(0，2］上是“弱增函数”，
则f(x)=x2+(4-a)x+a 在(0，2］上单调递增，有-4 -a
2
≤0，解得a≤4，
又y=f ( x)
x
=x+(4-a)+a
x 在(0，2］上单调递减，
而当a≤0 时，y=f ( x)
x
=x+(4-a)+a
x 在(0，2］上单调递增，不符合题意，
于是a>0，又由对勾函数的单调性知，函数y=x+a
x 在(0，√a］上单调递减，
因此√a≥2，即a≥4，
所以a=4，D 正确.]
14. ACD
[对于A,令f(x)=sinh x=e
x -e
- x
2
,
则f'(x)=e
x+e
- x
2
>0 恒成立,
故双曲正弦函数是增函数,故A 正确;
对于B,令g(x)=cosh x=e
x+e
- x
2
,则g'(x)=e
x -e
- x
2
,
由A 知,g'(x)为增函数,又g'(0)=e
0-e
0
2
=0,
故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B 错误;
对于C,tanh x= sinh x
cosh x =
e
x -e
- x
2
e
x+e
- x
2
=e
x -e
- x
e
x+e
- x =e
2 x -1
e
2 x+1
=1-
2
e
2 x+1,
由y=e2x+1 在R 上单调递增,且y=e2x+1>1,
故tanh x=1-
2
e
2 x+1是增函数,故C 正确;
对于D,由C 知tanh x=e
2 x -1
e
2 x+1
,则tanh(x+y)=e
2 x +2 y -1
e
2 x +2 y+1
, tanh x + tanh y
1+ tanh x tanh y =
e
2 x -1
e
2 x+1
+ e
2 y -1
e
2 y+1
1+ e
2 x -1
e
2 x+1
· e
2 y -1
e
2 y+1
=
(e
2 x -1)(e
2 y+1)+(e
2 y -1)(e
2 x+1)
(e
2 x+1)(e
2 y+1)+(e
2 x -1)(e
2 y -1)
=e
2 x +2 y+e
2 x -e
2 y -1+e
2 x +2 y -e
2 x+e
2 y -1
e
2 x +2 y+e
2 x+e
2 y+1+e
2 x +2 y -e
2 x -e
2 y+1
=2e
2 x +2 y -2
2e
2 x +2 y+2
=e
2 x +2 y -1
e
2 x +2 y+1
,
故tanh(x+y)= tanh x + tanh y
1+ tanh x tanh y ,故D 正确.]
15. C
[由a·ea-2=1 两边取对数可得，
ln a+a-2=0，即ln a+a=2，
由eb+ln b=1 可得，eb+ln b+1=2，
即eb+ln eb=2，
方法一 构造函数f(x)=ln x+x(x>0)，
由ln a+a=2 和eb+ln eb=2 等价于f(a)=ln a+a=2 和f(eb)=ln eb+eb=2，
即f(a)=f(eb)，
由于y=ln x 在(0，+∞)上单调递增，y=x 在(0，+∞)上单调递增，
则f(x)=ln x+x 在(0，+∞)上单调递增，
所以f(a)=f(eb)等价于a=eb，
故a
b=e.
方法二 所以ln a+a=ln eb+eb，
即a=eb，所以a
b=e.]
16. (－∞,0] (2,4]
解析 若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有f ( x2)- f ( x1)
x2- x1
<0,则f(x)在R 上是减函数,则a
2≤0,即a≤0,所以实数a
的取值范围为(－∞,0]；
当a>0 时,若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则f(
a
2)＝a
2
2 －a
2
4 ＝4,
解得a＝4 或a＝－4(舍去),
又f(－1)＝2,f(0)＝f(4)＝0,所以2<t≤4；
当a≤0 时,f(x)在[－1,t)上单调递减,则f(x)在[－1,t)上的最大值为f(－1)＝2,不符合题意,
所以实数t 的取值范围为(2,4].
