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2025 年新高考数学一轮复习收官卷01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知向量
，若
满足
，则
（ ）
A．-3
B．2
C．-5
D．4
【答案】A
【解析】设向量
，则
，
因为
，所以
，
故
.
故选：A.
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【解析】
，
则
，所以
.
故选：C.
3．已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．12
B．18
C．20
D．30
【答案】C
【解析】由已知得
，故
，所以
．
故选：C
4．已知正三棱台
的体积为
，若
，则该正三棱台的高为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在正三棱台中，上、下底面均为正三角形，设正三棱台
的高为h，
则
，
，
又
，解得
．
故选：A
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，可得
，
所以
.
故选：D.
6．在第33 届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4 个人参加当天
A，B，C 三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A 场地的不同安排方法数为（ ）
A．32
B．24
C．18
D．12
【答案】B
【解析】按照A 场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A 场地安排1 人，共
种安排方法，
第二类，A 场地安排2 人，共
种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有
（种）不同安排方法.
故选：B
7．已知函数
的图象与直线
有两个交点
，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
2
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【解析】由题意可得直线
恒过点
，且无论
取何值，直线与函数都有两个交点，
所以分析函数
的对称中心为
，
所以
，
，
所以
，
故选：C.
8．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过点
作倾斜角为30°的直线l 与
C 的左、右两支分别交于点P，Q，若
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】依题意，由
，
得
，即
的平分线与直线PQ 垂直，
设
的平分线
与直线PQ 交于点D，如图，
则
，
，又
，
所以
，所以
，
．
由题得
，
，设
，
，
，
在
中，
，
，则
，
，
由双曲线的性质可得
，解得
，
则
，所以在
中，
，
3
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又
，
，所以
，
即
，整理得
，所以
．
故选：A
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下图为2024 年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024 年中国大学生使
用APP 的结论正确的是（ ）
A．超过
的大学生更爱使用购物类APP
B．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要
C．使用APP 偏好情况中7 个占比数字的极差是
D．APP 使用目的中6 个占比数字的
分位数是
【答案】AC
【解析】对于选项A，根据图表知，大学生使用购物类APP 占比为
，所以选项A 正确，
对于选项B，根据图表知，大学生使用APP 是为了学习与生活需要的占比为
，所以
选项B 错误，
对于选项C，根据图表知，使用APP 偏好情况中7 个占比数字的极差是
，所以选项C
正确，
对于选项D，根据图表知，APP 使用目的中6 个占比数字从小排到大分别为
，
又
，所以
分位数是
，故选项D 错误.
故选：AC.
10．已知定义在
上的函数
满足
，
，且对任意
，
都有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是周期为4 的奇函数
B．
图象关于直线
对称
4
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C．
在区间
上单调递增
D．
【答案】ABD
【解析】任意
，有
，
令
，则
，解得
，
任意x∈R，令
，则
，
即
，所以
是奇函数，则
的图象关于原点对称；
又f (x +2)=−f (x)= f (−x)，则函数y = f (x)的图象关于直线
对称；
又f (x +2)=−f (x)，则f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
所以函数y = f (x)为周期函数，4 为函数y = f (x)的一个周期，
故A 正确，B 正确；
C 项，对任意
，都有
，
故
在[−1,0]单调递增，又
图象关于原点对称，
则
在[0,1]单调递增，又
的图象关于直线
对称，
则
在[1,2]单调递减，故C 错误；
D 项，由
的周期为4，且
的图象关于直线
对称，
则
，故D 正确：
故选：ABD.
11．已知实数a，b 是方程
的两个根，且
，
，则（ ）
A．ab 的最小值为9
B．
的最小值为18
C．
的最小值为
D．
的最小值为12
【答案】ABC
【解析】因为实数a，b 是方程
的两个根，
所以
，所以
或
，
由根与系数的关系得，
，
，
又
，
，所以
，且
，综上得
．
消去k，得
，
由基本不等式得
，即
，
令
，则
，解得
或
（舍去），
当
时，
，解得
，当
时，ab 的最小值为9，故A 正确；
因为
，当
时取等号，
的最小值为18，故B 正确；
5
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，
当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
，故C 正确；
因为
，所以
，
，
当
，即
，
时等号成立，此时
的最小值为13，故D 错误．
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知集合
，
，则
．
【答案】
【解析】由题意，可得
，又
，所以
．
故答案为：
13．与曲线
和曲线
均相切的直线的方程为 .
【答案】
【解析】设
在点
和
在点
的切线重合，
，
，
故
，即
，
，
在点
处的切线方程为
，
将
代入得
，
即
，
所以
，
又
，故
，则
，
6
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故切线方程为
，即
.
故答案为：
14．若对项数为
的数列
中的任意一项
，
也是该数列中的一项，则称这样的数列为“
可倒数
数列”.已知正项等比数列
是“
可倒数数列”，其公比为
，所有项和为
，写出一个符合题意的
的值 .
【答案】
或
（答案不唯一）
【解析】已知正项等比数列
是“
可倒数数列”，
首先
，
若
，结合
，解得
，此时
，但
不在这5 个数中，矛盾，故
，
则若
，则
也在数列
中，若
在数列中，则
（
且
）也在数列中，
因为正项等比数列
是“
可倒数数列”，
所以数列
严格单调，而
，
所以只能
，
（否则
，不妨设
，那么
或
一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，
这必定导致有一个数的倒数不在
中），
从而
，所以
，
解得
或
（舍去），
所以解得
或
.
故答案为：
或
（答案不唯一）.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知
的内角
的对边分别为
，
．
(1)求
；
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(2)若
边上的高等于
，求
．
【解析】（1）由
得
，
所以
，即
，又
，所以
，
又
，得
. （6 分）
（2）由题得示意图，如图，作
，则
，
因为
，所以
，得
，
， （9 分）
所以
，利用等面积法可知：
即
，
解得：
. （13 分）
16．（15 分）
如图，在三棱台
中，
和
都为等腰直角三角形，
为线段
的中点，
为线段
上的点.
(1)若点
为线段
的中点，求证：
平面
；
(2)若平面
分三棱台
所成两部分几何体的体积比为
，求二面角
的正
弦值.
【解析】（1）连接
，设
连接
，
三棱台
，则
，又
8
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∴四边形
为平行四边形，
故
是
的中点，且点
是
的中点，
故
,且
平面
，
平面
，
故
平面
（5 分）
（2）
，且
面
，则
面
，
故
，
,
且三棱台
中，
,故
，
则
， （7 分）
平面
分三棱台
所成两部分几何体的体积比为
，
故
，化简得：
,
故此时点
和点
重合，
又
为等腰直角三角形，则
，又（1） 知
，则
面
，
故建立如图所示的坐标系
，
则
，
，
（11 分）
9
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设平面
的法向量
则
，令
解得
，
设平面
的法向量
，则
，令
，解得
，
设二面角
的平面角为
，
，
所以
. （15 分）
17．（15 分）
已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，椭圆C 的右焦点与抛物线
的
焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，
的面积为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P 的直线l 交椭圆C 于另一点A，若
，求l 的方程.
【解析】（1）由抛物线方程
知
，所以
，
设
，则
，
又点
在抛物线
上，所以
，解得
，即
，
根据椭圆定义
，解得
，
，所以
，
所以椭圆C 的方程为
. （6 分）
（2）因为
，所以
，又
，
10
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直线
，联立
，
消去y 得，
，解得
或
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
或
， （12 分）
又因为直线l 过点
，
所以
或
，
可求得直线l 的方程为
或
，
即
或
. （15 分）
18．（17 分）
11
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牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似如图设是y = f (x)的一个零点，任意选取
作为
的初始近似值，过点(x0,f (x0))作曲线y = f (x)的切线，与
轴的交点为横坐标为
，称
为的1 次
近似值，过点(x1,f (x1))作曲线y = f (x)的切线
，
与
轴的交点为横坐标为
，称
为的2 次近似值．
一般地，过点
作曲线y = f (x)的切线
，
与
轴的交点为横坐标为
，就称
为的
次近似值，称数列
为牛顿数列．
(1)若
的零点为，
，请用牛顿切线法求的2 次近似值；
(2)已知二次函数
有两个不相等的实数根
，数列
为
的牛顿数列，数列
满足
，且
．
（ⅰ）设
，求
的解析式；
（ⅱ）证明：
【解析】（1）
，所以
当
，所以
当
，
所以的2 次近似值为
. （4 分）
（2）（ⅰ）因为二次函数
有两个不等实根
,
所以不妨设
，
则
，
因为
所以
所以在横坐标为
的点处的切线方程为
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令
则
即
，
所以
. （8 分）
（ⅰⅰ）由（ⅰ）知，
所以
.
因为
所以
所以
.
令
则
，又
所以
， （12 分）
数列
是公比为2 的等比数列.
.
令
，则
当
时，
，所以
在
单调递减，
所以
，即
因为
所以
即
.
. （17 分）
19．（17 分）
如果离散型随机变量
的取值为
，离散型随机变量
的取值为
，
，则称
为二维离散型随机变量.称
取
，
的概率
为
的联合分布律.记
分别称
为
关于
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和关于
的边缘分布律.用表格形式表示如下：
边缘分布律
边缘分布律
1
(1)现袋中有质地大小均相同的2 只白球，3 只黑球，现先后随机摸球两次，定义
分别求有放回和不放回取球下
的联合分布律和边
缘分布律（表格形式表示）；
(2)若二维离散型随机变量
的联合分布律与边缘分布律满足
则称随机变量
与
相互独立.
（i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（
）是否相互独立并说明理由；
（ii）证明：若
与
相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例.
【解析】（1）有放回取球下
的联合分布律和边缘分布律；
，
，
，
0
1
边缘分布律
0
1
边缘分布律
1
不放回取球下
的联合分布律和边缘分布律；
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，
，
， （6 分）
0
1
边缘分布律
0
0.3
0.3
0.6
1
0.3
0.1
0.4
边缘分布律
0.6
0.4
1
（2）（i）由（1）知有放回取球下
的联合分布律和边缘分布律中，
，
，
经检验，满足
.
所以
与
相互独立.
在不放回摸球联合分布律中，
，不满足满足
，
，则
与
不
是相互独立. （10 分）
（ii）任取分布律中的一行为
，
另一行为
，其中
因为二维离散型随机变量
与
相互独立，
的联合分布律与边缘分布律满足
，
所以
因为
所以
，则分布律中任意两行对应成比例.
同理可证分布律中任意两列也对应成比例. （17 分）
15
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