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14.3.2 公式法 一、单选题 1．若多项式 可因式分解为 ，其中 、 、 均为整数，则 的值是（ ） A．1 B．7 C．11 D．13 【答案】B 【分析】将多项式5x2+17x-12 进行因式分解后，确定a、b、c 的值即可． 【详解】因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c）， 所以a=4，b=5，c=-3， 所以a-c=4-（-3）=7， 故选：B． 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c 的值是得 出正确答案的关键． 2．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可． 【详解】A. ，故该选项不符合题意． B. ，故该选项符合题意． C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意． D. ．故该选项不符合题意． 故选B． 【点评】本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时 因式分解要彻底，直到不能分解为止． 3．多项式 与 的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】∵ ， ， ∴多项式 与 的公因式是 ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 4．多项式 与多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将多项式 与多项式 进行因式分解，再寻找他们的公因式是 ． 【详解】∵ 又∵ ∴多项式 与多项式 的公因式是 ． 故选A． 【点评】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式． 5．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照因式分解的方法逐个计算即可． 【详解】A. ，故错误，不符合题意； B. ，故原式错误，不符合题意； C. ，原式分解不彻底，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法进行计算，注意：因式分解要彻底． 6．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ） A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2 【答案】C 【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可． 【详解】A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解； B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解； C. x2-x+ =（x- ） 2，能用完全平方公式分解； D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解； 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．若二次三项式 可分解为 ，则a+b 的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b 的值，然后代入代数 式进行计算即可得解． 【详解】（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b， ∵二次三项式x2+ax-1 可分解为（x-2）（x+b）， ∴ ， 解得： ， ∴a+b= - + =-1． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解 题的关键． 8．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断得出答案． 【详解】A、 ，故此选项错误，不符合题意； B、 ，故此选项错误，不符合题意； C、 ，故此选项错误，不符合题意； D、 ，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 二、填空题 9．如果 因式分解的结果为 ，则A=__________，B=__________． 【答案】2， 【分析】根据因式分解的意义，可得： ，再根据各项对应相等， 可得答案． 【详解】 ，得 ， ． 故答案为：2， ． 【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键． 10．分解因式： ______． 【答案】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．因式分解 ，其中 都为整数，则 的最大值是______． 【答案】 【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q 的关系判断即可． 【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋(p+q)x+pq= x2＋mx-6 ∴p+q=m，pq=-6， ∴pq=1× = ×6= ×3=2× = ， ∴m= 或5 或1 或 ， ∴m 的最大值为5， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关 系式，注意分类讨论的作用． 12．一个四位整数 （千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ），若满足 ，那么，我们称这个四位整数 为“ 类等和数”． 例如：3122 是一个“4 类等和数”，因为： ； 5417 不是一个“ 类等和数”，因为： ， ， ． （1）写出最小的“3 类等和数”是___________，最大的“8 类等和数”是___________． （2）若一个四位整数 是“ 类等和数”，且满足 ，求满足条件的所有“ 类 等和数”的个数，并把它们写出来． 【答案】1203； 8080； （2） 满足条件的所有“k 类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432． 【分析】(1)根据题意即可得到结论；(2) 根据 ，可得b+d=6 或16，再分情况写出即可． 【详解】（1）三类等和数为a+b=c+d=3，当a= 1、b=2、c=0、d= 3 时符合三类等和数，且最小．故最小的 三类等和数为1203． 当a=8、b=0、c= 8、d= 0 时符合8 类等和数，且最大，故最大的8 类等和数为8080． 故答案为：①1203； ②8080． (2) ∵ab+cd=46 (a， c≠0)，只有当ab=cd=23 时， ∴b+d=6 或16， ∴b=0， d=6 (不合题意) b=1， d=5 (不合题意)； b=2，d=4，a=3，c=1 即3214； b=3， d=3，a=2，c=2 即2323； b=4， d=2 ，a=1，c=3 即1432； b=5，d=1 (不合题意)； b=6，d=0 (不合题意)； b=7，d=9 (不合题意)； b=8，d=8 (不合题意)； b=9，d=7 (不合题意)； 综上所述，满足条件的所有“k 类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432． 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“k 类等和数”是解题的关键． 三、解答题 13．计算题： （1）解不等式组 ，并写出它的整数解． （2）利用因式分解计算： ① ； ② ； ③ ． 【答案】（1）不等式组的解集为 ，整数解为2、3；（2）① ；② ；③ ． 【分析】（1）分别解两个不等式得到不等式组的解集，然后确定不等式组的整数解． （2）①提取公因式20.16，再简便计算即可；②利用平方差公式简便计算即可；③利用完全平方公式简便 计算即可． 【详解】（1）解不等式 得： ， 解不等式 得： ， 所以不等式组的解集为 ， 不等式组的整数解为2、3； （2）① ； ② ； ③ ． 【点评】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的 解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算． 14．因式分解： （1）15a3＋10a2 （2）3ax2＋6axy＋3ay2 （3）（2x＋y） 2﹣（x＋2y） 2 【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y） 2；（3）3（x＋y）（x﹣y） 【分析】（1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）原式利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）原式＝5a2（3a＋2）； （2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2） ＝3a（x＋y） 2； （3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x 2 ﹣y） ＝3（x＋y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了多项式的因式分解，具体考查了提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，首先 考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须分解到再也不能分解为止， 此外，完全平方公式和平方差公式不要用错． 15．定义：对任意一个两位数a，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两 位数为“湘一数”．将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位 数与原两位数的和与11 的商记为f（a）．例如：a＝23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两 位数与原两位数的和为23＋32＝55，和与11 的商为55÷11＝5，所以 f（23）＝5． 根据以上定义，回答下列问题： （1）填空： ①下列两位数：50，42，33 中，“湘一数”为 ； ②计算：f（45）＝ ． （2）如果一个“湘一数”b 的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，请求出“湘一 数”b． （3）如果一个“湘一数”c，满足c 5 ﹣f（c）＞30，求满足条件的c 的值． 【答案】（1）①42；②9；（2）38；（3）71，81，82，91，92，93 【分析】（1）①由“湘一数”的定义可得；②根据定义计算可得； （2）由f（10m＋n）＝m＋n，可求得k 的值，即可求b； （3）设c 的十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据c 5 ﹣f（c）＞30 可列出不等式，即可写出满足条 件的c 的值． 【详解】（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42． ②f（45）＝（45＋54）÷11＝9． 故答案为：①42；②9． （2）设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n， 则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n． 又∵一个“湘一数”b 的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11， ∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3． ∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38． （3）设c 的十位上的数字是x，个位上的数字是y， ∵c 5 ﹣f（c）＞30， ∴10x＋y 5 ﹣（x＋y）＞30， ∴5x＞30＋4y， ∵y≥1， ∴5x＞34，即x＞6.8， ∵x 为整数， ∴x 可取7，8，9， 当x＝7 时，y＝1，c＝71； 当x＝8 时，y＝1 或2，c＝81 或82； 当x＝9 时，y＝1 或2 或3，c＝91 或92 或93； 综上，满足条件的c 的值为：71，81，82，91，92，93． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解一元一次不等式；理解“湘一数”的定义，并按照定义分析是解 题关键． 16．如图，A，B 两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的 整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． （1）若抽中的卡片是B． ①求整式C； ②当x＝ ﹣1 时，求整式C 的值． （2）若无论x 取何值，整式C 的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 【答案】（1）① ，②-8；（2）抽中的卡片是A 【分析】（1）①根据卡片B 各项改变符号后得出 ，再与整式A 相加，合并同类项即可； ②先利用完全平方公式化简整式C，再把x＝ ﹣1 代入整式C 即可； （2）分和抽中的卡片是B 和抽中的卡片是A 两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）①∵ ， ， ∴ ， ② ， 当x＝ ﹣1 时，原式= （2）当抽中的卡片是B 时， 由②得 ∴不符合题意； 当抽中的卡片是A 时， ∵ ， ， ∴ ， = ， ∴无论x 取何值，整式C 的值都是非负数， ∴抽中的卡片是A． 【点评】此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 17．若一个四位数A 满足：①千位数字 2﹣百位数字 2＝后两位数，则称A 为“美妙数”． 例如：∵62 1 ﹣ 2＝35，∴6135 为“美妙数”． ②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A 是“奇特数”． 例如：7×（8 5 ﹣）＝21，∴8521 为“奇特数”． （1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是 ．若一个“美妙数”的后两位 数字为16，则这个数是 ． （2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特 数”大14，求满足条件的“美妙数”． 【答案】（1）8715，4016 或5316；（2）8628 【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可； （2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果． 【详解】（1）∵82 7 ﹣ 2＝15， ∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715， ∵16＝42 0 ﹣ 2＝52 3 ﹣ 2， ∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016 或5316， 故答案为8715；4016 或5316； （2）根据题意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14， 化简得（m﹣n）（m+n 7 ﹣）＝14， ∵m、n 均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9， ∴m＝8，n＝6， ∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m2﹣n2＝8628． 【点评】本题主要考查了新定义，整数的计算，因式分解的应用，关键是根据新定义列出代数式和方程． 18．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by 的方法，首先他将该多项式分为两组得到 （ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b （x+y），结果发现有公因式 （x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）． （1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式 进行因式分解，则她最后提出 的公因式是 ； （2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式 进行因式分解； （3）若小强同学将多项式 进行因式分解时发现有公因式（x 3 ﹣），求 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】（1）由题意，分别提取公因式m 和5，再整体提取公因式（m+n）即可； （2）由题意，分别利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b）即可； （3）由分组分解法、提公因式法、以及完全平方公式法进行分解因式，即可求出答案． 【详解】（1）根据题意， = = ； 故答案为： ； （2）根据题意， = = ； （3）根据题意， ∵把多项式 进行因式分解时有公因式（x 3 ﹣）， ∴ = ∴多项式 中有公因式 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点评】本题考查了因式分解的分组分解法、公式法和提取公因式法，以及待定系数法求相关字母的值， 这都是基本的计算能力，难度不大． 19．（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如： 等． （问题解决） 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【分析】（1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题； （2）先提出 ，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题． 【详解】（1） ＝ + +…+ ＝1﹣ +…+ ＝1﹣ ＝ ； （2） ＝ ×[ +…+ ] ＝ ×[ + +…+ ] ＝ ×（1﹣ +…+ ） ＝ ×（1﹣ ） ＝ × ＝ ； （3） ＝ + +…+ ＝ ×（1﹣ +…+ ） ＝ ×（1﹣ ） ＝ × ＝ ． 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点， 求出所求式子的值． 20．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ，使 并且 ，则 将 变成 平方，从而使得 化简． 例如：化简 解： 根据上述材料化简下列各式： （1） （2） （3） 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）可以根据 化简； （2）可以根据 化简； （3）可以根据 化简． 【详解】（1） （2） （3） 【点评】本题考查新定义下的实数运算，通过归纳掌握材料所给方法是解题关键 ．
