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重难专攻（一） 指对幂比较大小
重难点题型1 利用估计值/中间值比较大小
1、中间值法或1/0 比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函
数的性质比较大小．
2、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值．
1．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【详解】由
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
利用估计值/中间值比较大小
重难点题型2
作差法/作商法比较大小
重难点题型3
利用函数的单调性比较大小
重难点题型4
利用函数构造法比较大小
重难点题型5
利用含变量的式子比较大小
重难点题型6
数形结合比较大小
重难点题型7
利用放缩法比较大小
重难点题型8
利用泰勒展开式比较大小
，
，
所以满足
，
故选：C.
2．（2025·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较对数式的大小
【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.
【详解】由题意
.
故选：A.
3．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】化简式子，然后借用中间值0 和1 来进行比较即可.
【详解】
，
，
，
所以
，
故选：A
4．（2025·天津红桥·二模）若
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数的单调性与值域可得
，再由对数函数的单调性可得
，由此
可得结果.
【详解】因为
，所以
，
，
，
所以
.
故选：D.
5．（2025·广西·三模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】运用对数的运算性质和对数函数的单调性化简比较即可
【详解】
；
所以
故选：B.
6．（2025·江苏南京·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】对数的运算、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得
、
，即可求解.
【详解】
，
由
，得
，则
，即
；
，
所以
.
故选：D
7．（2025·天津河东·二模）已知
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的性质可判断
，再由对数函数的性质可判断
，即可得出答案.
【详解】因为
，
，
，且
，
故
.
故选：A.
8．（2025·陕西安康·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性计算范围比较即可.
【详解】已知
，
则
.
故选：A.
重难点题型2 作差法/作商法比较大小
1、作差法与作商法适用情况
（1）作差法适用于两个数的表达式可以直接相减，且差值容易判断正负的情况；
（2）作商法适用于指数幂形式的数，尤其是底数不同时，可以通过指数运算的性质简化比较．
2、使用作差法与作商法注意事项
（1）作差或作商后，可能需要对结果进行变形处理，以便更容易判断其与0 或1 的关系．
（2）在复杂情况下，可能需要结合其他方法（如中间值法、构造函数法等）来辅助判断．
1．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合基本不等式判断
大小，再构造函数判断
与
的大小关系即可.
【详解】对
，
因为
，即
，
所以
，即
；
对
，又
，令
，则
，所以当
时，
，当
时，
，所以
，即
，当且仅当
时取等号，
所以
，令
，则
，
所以当
时
，所以
在
上单调递增，显然
，又
，即
，即
，所以
，即
.
故选：C
2．（2023·四川绵阳·高一统考期末）已知
，
，
，比较a，b，c 的大小为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【答案】D
【解析】
，因函数
在
上单调递增，
则
，
.
，因
，则
.
故
，综上有
.
故选：D
3．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用作差法，再结合对数函数
的单调性分别判断
和
的大小关系，即可判断出
的大小关系.
【详解】因为
，所以
；
又因为
，所以
；
综上所述：
.
故选：C.
4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知
，
，
，则
、
、的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数
，其中
，利用导数分析函数
的单调性，可判断
、
的大小关系，
利用作差法结合基本不等式可判断
、的大小关系.
【详解】构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上为减函数，
所以，
，即
，则
，
，
因此，
.
故选：D.
5．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分别对
，
，
两边取对数，得
，
，
．
．
由基本不等式，得:
，
所以
，
即
，所以
．
又
，所以
.
故选：D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作商结合基本不等式可判断
，由条件
，可得
，取对数可判断
，得解.
【详解】因为
，
又因为
，所
．
因为
，即
，所以
．
综上，
．
故选：A.
7．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得
、
、
，利用作商法以及基本不等式可得出
、
的大小关系，由
，
得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出
、
、的大小关系.
【详解】由题意可知
、
、
，
，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
重难点题型3 利用函数的单调性比较大小
当两个数都是指数式或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该
函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如
和
，利用指数函数
的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如
和
，利用幂函数
的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如
和
，利用指数函数
的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小．
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
，
，所以
.
故选：D.
2．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【详解】由
，
，
所以满足
，
故选：C.
3．（2025·天津红桥·二模）若
则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数的单调性与值域可得
，再由对数函数的单调性可得
，由此
可得结果.
【详解】因为
，所以
，
，
，
所以
.
故选：D.
4．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】先根据指数运算的性质比较
的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较
的大小，从而
可比较出这三个数的大小.
【详解】由题可知
，
，
所以
，
因为
，
，所以
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
故
．
故选：A
5．（2025·河北·三模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】由指数函数、对数函数的单调性分别得到
的范围，进而得到
的大小关系.
【详解】因为
在定义域
内单调递减，所以
，即
；
因为
在定义域
内单调递增，所以
，即
；
因为
在定义域内单调递增，所以
，即
.综上所述：
.
故选：D.
6．（2025·山西·一模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数
在
上是减函数，
，所以
，
又
，所以
.
故选：
.
7．（2025·天津·一模）设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为
，且
，即
，
又
，
，
所以
.
故选：B
8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成立
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对
数式的大小
【分析】由题意结合函数
单调性可得
.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由
对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判
断选项正误.
【详解】由题意可得
，对于函数
，
则
在R 上单调递增，结合
，可得
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
不能判断
与1 的大小，故B 错误；
对于C，取
，此时C 不成立，故C 错误；
对于D，因为
，由指数函数的单调性易得
，故D 正确.
故选：AD.
重难点题型4 利用函数构造法比较大小
构造函数，运用函数的单调性比较
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小．
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小．
1．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小
【分析】根据不等式
，
以及函数
，
的单调性比较大小.
【详解】如图，在单位圆O 中，
，不妨设
，
作
于C 点，则弧
的长度
，
由图易得，
，即
，
所以
，
设
，
，
所以
，
再令
，
，
，
当
时，
，
，
，
所以
，
则
，
在
单调递减，
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减，且
，
所以当
时，
，
所以当
，
，即
，
因为
，
所以
即
，
所以
，
故选：D.
2．（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、简单复合函数的导数、比较指数幂的大小
【分析】对
分别取对数并作商，再构造函数
，利用导数探讨单调性
即可比较大小.
【详解】由
，得
，
令
，求导得
，令
，
求导得
，函数
在
上单调递减，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
；
令
，求导得
，当
时，
，
即
，函数
在
上单调递减，则
，
即
，
，因此
，
所以
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
3．（2024·安徽芜湖·三模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】先构造函数
，利用导数证明
，则
，再构造函数
，利用
导数求出其单调区间，即可比较
，构造函数
，利用导数求出其单调区间，即
可比较
，即可得解.
【详解】令
，则
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
，
而
，
令
，
则
，
当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
即
，所以
，
,
令
，
则
，
令
，则
，
当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
即当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，
即
，所以
，
综上所述，
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造
和
两个函
数，是解决本题的关键.
4．（2024·青海西宁·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较对数式的大小、由导数求函数的最值（不含参）、比较指数幂的大小
【分析】构造函数
，由
的单调性和最值可证明
，再构造
，由
的单调性和最值可证明
，即可得出答案.
【详解】令
，则
.
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，故
.
令
，则
.
当
时，
，
单调递减，
则
，即
.
故
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数
，和
即可得出答案.
5．（2024·湖南长沙·一模）已知实数
分别满足
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】由题意可得
，
，构造函数
，结合导数研究函数单调性后
可得
，构造函数
，结合导数研究函数单调性后可得
，即可得出
.
【详解】由
，则
，令
，
，
则
，
则当
时，
，故
在
上单调递增，
故
，
即
，即
，
由
，则
，
令
，
，则
，
令
，则当
时，
恒成立，
故
在
上单调递增，又
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，
即
，即
，故
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数
、
，从而借助导
数求出函数单调性以比较
、
、的大小.
6．（2024·辽宁沈阳·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】观察选项，构造函数
，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.
【详解】令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增；在
上单调递减，
所以
且
，
所以
且
，即
且
，
所以
，
又
，所以
，
综上所述，
，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．（2023·安徽滁州·二模）设
，
，
，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．a＜c＜b
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】构造函数
，根据导数探究单调性，即可判断
和的大小；构造函数
，再令
，通过二次求导探究单调性，即可判断
和的大小.
【详解】由
，
，
，
得
，
，
，
构造函数
，则
，
当
时，x＝1，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
在x＝1 处取最小值
，
时
，
，即
，
取
，得
，
，
，即
；
设
，
则
，
令
，
，
因为当
时，令
，
，
单调递减，
又
时，
，则
，即
，
所以
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
又
，所以
，即
，
所以当
时，函数
单调递增，
所以
，即
，
，即
，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
8．（2023·全国·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小
【分析】由
，
构造函数
，通过求导讨论
的单调性，再构造函数
，通过求导讨论
的单调性，得到
，从而得到
，从而判断出
；再
由
，
，求出
，比较
和
的大小，从而判断出
，即可得
到
.
【详解】因为
，
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，
即
，
，即
所以
，所以
；
由
，得
，
由
，得
，
所以
，
因为
，
所以
，所以
，
所以
，即
，所以
，
综上所述
.
故选：A
重难点题型5 利用含变量的式子比较大小
当作比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小．也可通过函数
的单调性，结合图象进行比较．
1．（2025·江西赣州·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较正弦值的大小、比较对数式的
大小
【分析】利用相关指数函数、幂函数的单调性判断
的大小关系判断A；再对A 的结果取对数判断
B；由正弦函数单调性有
，构造
并利用导数研究其区间函数值符号判断
C；应用特例
即可判断D.
【详解】由题设，
在R 上单调递减，则
，
在定义域上单调递增，则
，
所以
，则
，即
，A，B 错；
由
在
上单调递增，则
，故
，
对于
且
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，
所以
，C 对；
当
，此时
，D 错.
故选：C
2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知正数
，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】化
为
，作差法并构造函数
，求导利用导数求出函数最值，比较
大小，再利用作差法比较
大小，即可比较
的大小.
【详解】由
得
，即
，所以
，
令
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
所以
，所以
，
则有
，所以
；
由
得
，即
，
所以
，
因为
，所以
，即
，故
．
故选：A.
【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小.
3．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、比较对数式的大小、比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大
小
【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B 和C 逐一分
析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解.
【详解】对于选项A，由
，得到
，即
，所以
可得
，故选项A
错误，
对于选项B，由
，得到
，所以
可得
，故选项B 错误，
对于选项C，由
，得到
，即
，所以
推不出
，
但
可以得出
，故选项C 正确，
对于选项D，由
，得到
，
又
，当且仅当
时取等号，显然
不满足题意，
则
，即
，
又当
，有
，所以
是
的充要条件，故选项D 错误，
故选：C.
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数、幂函数和对数函数的性质即可判断.
【详解】
，∴幂函数
在
上为增函数.
又
，
，故A 错误；
，∴指数函数
在
上为减函数.
又
，
，故B 错误；
，指数函数
在
上为减函数，
，
.
，∴对数函数
在
上为增函数，
又
，
，
，故C 错误；
，∴对数函数
在
上单调递减，∴
，
∴
，即
，故D 正确.
故选：D.
5．（2024·浙江·模拟预测）若正实数
，
，满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较指数幂的大小
【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.
【详解】
，
，则
，则
，则
.
则
，则
，则
先比较a，b：作差
，设
，
求导
，则
在
单调递减.
，
，故
有正负还有零.
即
值有正负还有零，故不能比较
大小.故A 错误.
再比较a，c：作差
，设
，求导
，则
由于
，则
在
单调递减.
，则
在
单调递增.
且
，则
，即
，即
.故B 正确．
最后比较b，c，由于
，假设
满足题意，
假设
，即
，即
，即
也满足题意，
假设
，即
，即
，即
也满足题意．
则
无法比较大小，故CD 错误.
故选：B.
6．（2024·重庆·三模）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算
【分析】先依据题目所给条件得
，所以对于A，依据函数
的增减性即可判断；对于B、
D，对
取特殊值为
即可判断；对于C，由
可直接判断.
【详解】因为
，
所以
，又
为增函数，故
，
对于A，因为
为减函数，所以
，故A 错误；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，当
时，且
与
均为增函数，
所以
，此时
，故D 错误.
故选：C.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得
，再逐项分析判断即可.
【详解】不等式
，
令函数
，求导得
，令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
，即
，因此函数
在R 上递增，
原不等式等价于
，于是
，
对于AB，取
，有
，AB 错误；
对于CD，
，即
，C 错误，D 正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
8．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）（多选题）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成立
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较指数幂的大小、比较对
数式的大小
【分析】由题意结合函数
单调性可得
.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由
对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判
断选项正误.
【详解】由题意可得
，对于函数
，
则
在R 上单调递增，结合
，可得
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
不能判断
与1 的大小，故B 错误；
对于C，取
，此时C 不成立，故C 错误；
对于D，因为
，由指数函数的单调性易得
，故D 正确.
故选：AD.
9．（2023·吉林长春·一模）（多选题）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调
性、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】将
看作
的图象与直线
交点的横坐标，数形结合可判断A，B；结合题意可
推出
，利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造函数
，利用
其单调性可判断D.
【详解】由
可知，若
，则
，则
不成立，
又
时，
，故
，
又
，则
可看作
的图象与直线
交点的横坐标，
作出
与
的图象如图，
结合图象可知
，故A 错误，B 正确；
由
，
，得
，
故
，C 正确；
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
由于
，故
，即
，
故
，D 正确，
故选：BCD
重难点题型6 数形结合比较大小
当作比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过观察函数图象的走势、交点、最高
点、最低点等特征，直观地判断数的大小关系．对于图像难以精确判断的情况，结合数值计算或代数
分析，进一步确定大小关系．
1．（23-24 高三上·北京·月考）函数
，
，
的零点分别为
，
，
，则
，
，，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，即
，令g(x)=0，即
，
令
，即
，分别作出
，
，
和
的图象，
如图所示：
由图象可知：
，所以
.故选：
.
2．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·二模）设函数
的零点分别
为a,b,c,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
可得
，
可知
与
的交点横坐标分别为a,b,c,
在同一坐标系内作出
，
的图象，
根据图象可知：
与
有2 个交点，但均有
，所以
.故选：A.
3．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
4．（2022·全国甲卷·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、由基本不等式证明不等关系
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
重难点题型7 利用放缩法比较大小
1、放缩法的解题思路
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数．
（2）指数和幂函数结合来放缩．
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩．
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．
2、常见放缩不等式
（1）
；
（2）
；
；
（3）
．
1．（24-25 高三上·全国·专题练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，所以
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，所以
，所以
，
当且仅当
时取等号，则当
时，
，即
，所以
；
因为
，故
，当且仅当
时等号成立，故
，故
．
综上可知
．故选：B．
2．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，令
，求导可得
，
所以
在
上单调递减，所以
，所以
，
所以
，所以
，即
，令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
单调递减，
当
时，
，函数
在
单调递增，
所以
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
．故选：A.
3．（2025·四川自贡·二模）已知
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较余弦值的大小、比较对数式的大小
【分析】根据题意，可判断
，
，
得解.
【详解】
，
，
，则
，
又
，
，
.
故选：C.
4．（2025·辽宁·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】比较指数幂的大小、函数单调性、极值与最值的综合应用、比较对数式的大小
【分析】由
，构造函数
，利用导数分析其单调性，
可得函数
在
上单调递增，结合
可得
，进而得到
，再通过比较
和
的大小得到
，进而得出选项.
【详解】
，
设
，
则
，
设
，则
，
令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，则
，
此时函数
在
上单调递增，又
，
所以
，则
，即
；
又
，
，则
，
所以
.
故选：D.
重难点题型8 利用泰勒展开式比较大小
常见的泰勒展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
1．（23-24 高三上·湖北·开学考试）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于a，由
，则
，故
；
对于b，
，故
；
对于c，由于
，则
，从而可得
同理，
，则
，从而可得
所以有
（或利用
，
）
综上，
故选：A
2．（23-24 高三上·山西运城·月考）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
设
，可得
恒成立，函数
在
上单调递增，
所以
，所以
在在
上恒成立，
所以
，所以
，
设
，可得
，
所以
，所以
设
，
可得
，
所以
在
上单调递增，所以
，可得
，即
，
（或设
，可得
，即
）
所以
.故选：B.
