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专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：求线面角.............................................................................................2
题型二：已知线面角求参数..............................................................................5
题型三：求线面角最值（范围）.......................................................................8
三、专项训练.........................................................................................................10
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面
内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面
的一条斜线，斜足为
，斜线上一点
在平面
上的射影为
，则直线
是斜
线在平面
上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线
与平面所成角的范围为
；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为
；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为
.
1
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3、向量法
设直线
的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，直线
与平面
所成的角为
，则
，
.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（22·23 上·河南·模拟预测）在三棱台
中，
平面ABC，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)记
的中点为M，过M 的直线分别与直线
，
交于P，Q，求直线PQ 与平面
所成角的正
弦值．
2
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2．（22·23 上·河南·模拟预测）已知
中，
，
，
，
，将
沿
折起，使点A 到点
处，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱
的底面
是正三角形，侧面
是菱形，平
面
平面
，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
3
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4．（23·24 上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥
中，
为圆锥的顶点，
为底面圆圆心，
是圆
的直径，
为底面圆周上一点，四边形
是矩形．
(1)若点
是
的中点，求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
5．（23·24 上·浙江·一模）如图，多面体
中，四边形
为正方形，平面
平面
，
，
，
，
，
与
交于点
．
(1)若
是
中点，求证：
；
(2)求直线
和平面
所成角的正弦值．
4
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题型二：已知线面角求参数
1．（22·23 下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF 中，
平面ABC，
，侧面
ABFE 为正方形，
，M 为AB 的中点，
．
(1)证明：
；
(2)若直线MF 与平面DME 所成角的正弦值为
，求实数λ 的值．
2．（22·23 下·江苏·一模）在三棱柱
中，平面
平面
，侧面
为菱形，
，
，
，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)点
在线段
上（异于点
，
），
与平面
所成角为
，求
的值.
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3．（22·23 下·广州·三模）如图，四棱锥
的底面为正方形，
，
平面
，
分别是线段
的中点，
是线段
上的一点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，且
点不是线段
的中点，求三棱锥
体积.
4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形
为筝
形，其对角线交点为
，将
沿
折到
的位置，形成三棱锥
．
(1)求
到平面
的距离；
(2)当
时，在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
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5．（22·23·万州·模拟预测）如图1 所示，在四边形
中，
，
为
上一点，
，
，将四边形
沿
折起，使得
，得到如图2 所示的四棱
锥．
(1)若平面
平面
，证明：
；
(2)点
是棱
上一动点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
．
6．（22·23 下·荆门·模拟预测）在三棱柱
中，四边形
是菱形，
，平面
平面
，平面
与平面
的交线为.
(1)证明：
；
(2)已知
上是否存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，
求
的长度；若不存在，说明理由.
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题型三：求线面角最值（范围）
1．（22·23 下·乐山·三模）在直三棱柱
中，
，
，点P 满足
，其中
，则直线AP 与平面
所成角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（21·22 下·山东·模拟预测）如图，C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，平面
平面
为正三角形，E，F 分别是
上的动点.
(1)求证：
；
(2)若E，F 分别是
的中点且异面直线
与
所成角的正切值为
，记平面
与平面
的
交线为直线l，点Q 为直线l 上动点，求直线
与平面
所成角的取值范围.
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3．（20·21 下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台
中，底面
是边长为2 的正三角形，侧面
为等腰梯形，且
，
为
的中点．
（1）证明：
；
（2）记二面角
的大小为
，
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值
范围．
4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
，
为线段
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求
的取值范围.
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5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥
中，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，
，
与平面
所成的角为
，求
的最大值.
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23 下·乐山·三模）在直三棱柱
中，
，
，点P 满足
，其中
，则直线AP 与平面
所成角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23·24 上·亳州·阶段练习）将边长为1 的正方形
及其内部绕
旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中
与C 在平面
的同侧，则直线
与平面
所成的角的正弦
值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（23·24 上·泰安·阶段练习）三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，N
是BC 的中点，点P 在
上，且满足
，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22·23 上·江西·阶段练习）如图，在长方体
中，
，
，
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．（22·23 上·厦门·期末）正方体
中，E 为线段
的中点，则直线
与平面
所成
角的正弦值为 ．
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6．（23·24 上·济宁·阶段练习）已知正方体
的棱长为1，H 为棱
上的动点，若
平
面
，则直线CD 与平面
所成角的正弦值的取值范围为
7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体
中，AB＝3，M 是侧面
内的动点，
满足
，若AM 与平面
所成的角
，则
的最大值为 .
8．（22·23 上·宁波·阶段练习）已知圆柱
中，点
在圆
上，
，
，点
、
在圆
上，
且满足
，则直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
9．（21·22 下·绵阳·期末）在正方体
中，点Р 在侧面
(包括边界)上运动，满足
记直线
与平面
所成角为，则
的取值范围是
三、解答题
10．（21·22 下·山东·模拟预测）如图，C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，平面
平面
为正三角形，E，F 分别是
上的动点.
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(1)求证：
；
(2)若E，F 分别是
的中点且异面直线
与
所成角的正切值为
，记平面
与平面
的
交线为直线l，点Q 为直线l 上动点，求直线
与平面
所成角的取值范围.
11．（20·21 下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台
中，底面
是边长为2 的正三角形，侧
面
为等腰梯形，且
，
为
的中点．
（1）证明：
；
（2）记二面角
的大小为
，
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值
范围．
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12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
，
为线段
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求
的取值范围.
13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥
中，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，
，
与平面
所成的角为
，求
的最大值.
14．（23·24 上·沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，且
M 是
的中点，
，
.
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(1)求证：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的余弦值.
15．（23·24 上·东莞·阶段练习）如图1，梯形
中，
，过
分别作
，垂
足分别为
，已知
，将梯形
沿
折起，得空间几何体
，如图2．
(1)在图2 中，若
，证明：
平面
．
(2)在图2 中，若
，在线段
上求一点
，使
与平面
所成角的正弦值最大，并
求出这个最大值．
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16．（23·24 上·河东·期中）如图，在四棱线
中，底面
为矩形，
平面
，点
是棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)设
的中点为
，点
在棱
上（异于点
），且
，求直线
与平面
所成角的正
弦值．
17．（23·24 上·广东·阶段练习）已知正方形
的边长为4（图1），
、
分别为
、
的中点，
以
为棱将正方形
折成如图所示的二面角，且
，点
是线段
上的动点（图2）．
(1)若
为
的中点，
为
的中点（图3），证明：直线
平面
；
(2)是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
；若存在，求此时
点到平面
的距离，
若不存在，说明理由．
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18．（23·24 上·西青·阶段练习）四棱柱
中，
底面
，
为
的中点．
(1)求证：
；
(2)求面
与面
夹角的余弦值
(3)设点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长．
19．（23·24 上·温州·阶段练习）已知几何体
，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE
均为正方形，且边长均为1，点M 在棱DG 上．
(1)求证：
；
(2)是否存在点M，使得直线MB 与平面BEF 所成的角为
？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说
明理由．
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20．（23·24 上·湖南·阶段练习）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
.
(1)求证：
；
(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
18
