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专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：求线面角.............................................................................................2
题型二：已知线面角求参数............................................................................10
题型三：求线面角最值（范围）.....................................................................19
三、专项训练.........................................................................................................27
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面
内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面
的一条斜线，斜足为
，斜线上一点
在平面
上的射影为
，则直线
是斜
线在平面
上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线
与平面所成角的范围为
；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为
；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为
.
1
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3、向量法
设直线
的方向向量为
，平面
的一个法向量为
，直线
与平面
所成的角为
，则
，
.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（22·23 上·河南·模拟预测）在三棱台
中，
平面ABC，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)记
的中点为M，过M 的直线分别与直线
，
交于P，Q，求直线PQ 与平面
所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
2
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【详解】（1）取AC 的中点D，则AD 与
平行且相等，
可得四边形
为平行四边形，则有
，
又
，故
．
又
，
，
，AC，
平面
，故
平面
，又因为
平面
，故
，
又因为
，
，
，
平面
，故
平面
，
而
平面
，故平面
平面
；
（2）以A 为原点，
，
，
所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系
，
则
，
，
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，取
，则
．
设
，
，则
，
，
由题意知P，M，Q 三点共线，可设
，则
，
解得
，故
，
，
则
，
故
，
即
平面
，故所求线面角的正弦值为0．
3
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2．（22·23 上·河南·模拟预测）已知
中，
，
，
，
，将
沿
折起，使点A 到点
处，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为
，
，可得
，
又因为
，所以
， 即
，
又
，且
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，即
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，故平面
平面
．
（2）解：以
为坐标原点，以DE，DB 所在直线为x 轴、y 轴，以垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间
直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
在直角三角形
中，
，
，则
，
由（1）知
平面
，则
为平面
的法向量，且
，
设直线CD 与平面
所成角的角为
，
则
，
故直线CD 与平面
所成角的余弦值为
．
4
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3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱
的底面
是正三角形，侧面
是菱形，平
面
平面
，
分别是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
取
的中点
，连接
，因为
分别是棱
的中点，
则
，
，∴四边形
为平行四边形，
所以
，∵
平面
，
平面
，
平面
；
（2）在平面
中过点
作
于
，连接
，
∵平面
平面
，平面
平面
，∴
平面
，
由菱形
，
，得
，
，
因为点
为
的中点，∴
，故以
为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间
直角坐标系：
5
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则
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则有
，解得
，令
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
综上，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
4．（23·24 上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥
中，
为圆锥的顶点，
为底面圆圆心，
是圆
的直径，
为底面圆周上一点，四边形
是矩形．
(1)若点
是
的中点，求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
6
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(2)
【详解】（1）
分别是
中点，连接
，则
，
平面
平面
，则
平面
，
四边形
是矩形，
，同理有
平面
，
又
，
平面
，故平面
平面
，
又
平面
，故
平面
.
（2）解法一：
在圆锥
中，
平面
，
平面
则平面
平面
，平面
平面
，作
于点
，连接
，
则
面
是
在平面
上的射影，
是直线
与平面
所成的角，
在直角三角形
中，
，则
，
平面
，则
平面
，
在直角三角形
中，
，
，则
，
在直角三角形
中，
，
故
，即直线
与平面
所成角的余弦为
.
解法二：在圆锥
中，
平面
，
在直角三角形
中，
，则
，
，
在直角三角形
中，
，则
，
建立如图所示的空间直角坐标系，
7
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则
，
，
设
是平面
的法向量，则
，
令
得
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
.
5．（23·24 上·浙江·一模）如图，多面体
中，四边形
为正方形，平面
平面
，
，
，
，
，
与
交于点
．
(1)若
是
中点，求证：
；
(2)求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形
为正方形，
8
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所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
，
连接
，则
，
在
中，
，
所以
，
因为
，
，
平面
，且
，
从而
平面
，
又
平面
，
所以
，
因为
，
，
平面
，且
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以
，
又因为
，所以
，
又
是
中点，
，所以
，
因为
，
，
平面
，且
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
．
（2）由（1）知，
平面
，且
，
以
为坐标原点，分别以
、
、
所在的直线为
、
、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
9
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则
、
、
、
，
则
，
，
，
由
得，
，所以
，
所以
，
，
设面
的法向量为
，由
得，
，取
，则
，
设直线
和平面
所成角为
，
则
，
所以直线
和平面
所成角的正弦值为
．
题型二：已知线面角求参数
1．（22·23 下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF 中，
平面ABC，
，侧面
ABFE 为正方形，
，M 为AB 的中点，
．
(1)证明：
；
10
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(2)若直线MF 与平面DME 所成角的正弦值为
，求实数λ 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为CD⊥平面ABC，
，所以
平面ABC，
因为侧面ABFE 为正方形，
，所以
平面ABC，
又
平面ABC，所以
，
因为
，所以
，
又
平面ABFE，所以
平面ABFE，
又
平面ABFE，所以
，
因为
平面ABC，
平面ABC，
所以
，
又
平面CDM，所以
平面CDM，
又
平面CDM，所以
．
（2）由（1）可知，
，M 为AB 的中点，所以
．
取
的中点为N，连接MN，则
，
因为
平面ABC，所以
平面ABC．
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则M（0，0，0），
，
，F（1，0，2），
所以
，
，
，
设平面DME 的法向量为
，
由
得
，取
，
则
，
设直线MF 与平面DME 所成角为θ，
则
，
由题意可知，
，
11
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解得
（负值舍去），故实数λ 的值为
．
2．（22·23 下·江苏·一模）在三棱柱
中，平面
平面
，侧面
为菱形，
，
，
，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)点
在线段
上（异于点
，
），
与平面
所成角为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面
为菱形，
，
，
所以
为边长为
的等边三角形，
作
交
于
点，则
点为
的中点，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，可得
，
又
，
，
平面
，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，因为侧面
为菱形，所以
，
，
平面
，所以
平面
；
（2）由（1）知，
平面
，
，取做
的中点
，连接
，
12
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则
，所以
平面
，
以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
设
，可得
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，则
，即
，令
，可得
，
可得
，
解得
舍去，或
，所以
.
3．（22·23 下·广州·三模）如图，四棱锥
的底面为正方形，
，
平面
，
分别是线段
的中点，
是线段
上的一点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，且
点不是线段
的中点，求三棱锥
体积.
【答案】(1)证明见解析
13
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(2)
【详解】（1）连接
，
分别是线段
的中点，
，
底面四边形
为正方形，
，
平面
，
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面
.
（2）以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设
，
，
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，解得：
，
，
；
设直线
与平面
所成角为
，
，
解得：
或
（舍），
，
平面
，
平面
，
；
，
，
平面
，
平面
，
到平面
的距离为
，
.
14
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4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形
为筝
形，其对角线交点为
，将
沿
折到
的位置，形成三棱锥
．
(1)求
到平面
的距离；
(2)当
时，在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在；
或
【详解】（1）因为
，
所以
不可能为四边形
的对称轴，则
为四边形
的对称轴，
所以
垂直平分
，所以
．
平面
平面
所以
平面
．
所以
到平面
的距离
．
（2）存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
．
过
作
平面
，所以
两两垂直.
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，轴建立空间直角坐标系
15
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由（1）得平面
平面
，因为
所以
．
设
，
，
，
设平面
的法向量
，
，所以
令
，则
，
所以平面
的一个法向量
，
设直线
与平面
所成角为
，
，
．
所以
或
，所以存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
或
．
5．（22·23·万州·模拟预测）如图1 所示，在四边形
中，
，
为
上一点，
，
，将四边形
沿
折起，使得
，得到如图2 所示的四棱
锥．
16
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(1)若平面
平面
，证明：
；
(2)点
是棱
上一动点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【详解】（1）在图1 中，因为
，
，
，
所以
，
，又
，
所以
，
因为
，
，
所以
，故
，
在图2 中，因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，所以
；
（2）由（1）知，
，
，
，
平面
，
平面
,
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
故以
为坐标原点，
分别为
轴，
在平面
内过点
作
的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
17
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则
，
，
因为
，平面AEB
平面BCE，且
，
所以点
在平面
的射影为
中点，故
，
，
设
，则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
不妨令
，则
，
，
所以
为平面
的一个法向量．
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
所以
，
整理得
，解得
或
（舍），
所以
为
中点，所以
.
6．（22·23 下·荆门·模拟预测）在三棱柱
中，四边形
是菱形，
，平面
平面
，平面
与平面
的交线为.
18
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(1)证明：
；
(2)已知
上是否存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，
求
的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）因为四边形
为菱形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
（2）上存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
，且
.
理由如下：
取
中点
，连接
，因为
，所以
，
又
，所以
为等边三角形，所以
，
因为
，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，
以
为原点，以
方向分别为
轴，
轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
，
19
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，
.
因为
平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，所以
，
假设上存在一点
，使
与平面
所成角的正弦值为
，设
，
则
，所以
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，即
，
令
，则
，可取
，
又
，
所以
，
即
，解得
，此时
；
因此上存在点
，使
与平面
所成角的正弦值为
，且
.
题型三：求线面角最值（范围）
1．（22·23 下·乐山·三模）在直三棱柱
中，
，
，点P 满足
，其中
，则直线AP 与平面
所成角的最大值为（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分别取
中点
,则
,即
平面
,
连接
,因为
,所以
,
分别
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
由已知
,
,
,
,
,
则
,
因为
，
，
，
易知平面
的一个法向量是
，
设直线AP 与平面
所成角为
，则
，
，
所以
时，
，即
的最大值是
．
故选：B．
2．（21·22 下·山东·模拟预测）如图，C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，平面
平面
为正三角形，E，F 分别是
上的动点.
21
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(1)求证：
；
(2)若E，F 分别是
的中点且异面直线
与
所成角的正切值为
，记平面
与平面
的
交线为直线l，点Q 为直线l 上动点，求直线
与平面
所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
平面
，
所以
平面
平面
.
所以
（2）由E，F 分别是
的中点，连结
，所以
，由（1）知
，
所以
，所以在
中，
就是异面直线
与
所成的角.
因为异面直线
与
所成角的正切值为
，
所以
，即
又
平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
所以在平面
中，过点A 作
的平行线即为直线l.
22
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以C 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面
的直线为z 轴，建立空间直
角坐标系，设
.
因为
为正三角形所以
，从而
由已知E，F 分别是
的中点，所以
则
，所以
，
所以
，
因为
，所以可设
，平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
又
，则
.
设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以直线
与平面
所成角的取值范围为
.
3．（20·21 下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台
中，底面
是边长为2 的正三角形，侧面
为等腰梯形，且
，
为
的中点．
23
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（1）证明：
；
（2）记二面角
的大小为
，
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【详解】（1）证明：如图，作
的中点
，连接
，
，
在等腰梯形
中，
，
为
，
的中点，
∴
，
在正
中，
为
的中点，
∴
，
∵
，
，
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，∴
．
（2）解：∵
平面
，
在平面
内作
，以
为坐标原点，以
，
，
，分别为
，
，，轴正向，如图建
立空间直角坐标系，
∵
，
，∴
为二面角
的平面角，即
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
24
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则有
，即
，
则可取
，又
，
设直线
与平面
所成角为
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
．
4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
，
为线段
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求
的取值范围.
25
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【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，
.
在正六棱柱
中，
因为底面为正六边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以平面
平面
，
因为
为线段
上的动点，所以
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点为Q，连接
，
.
因为底面边长为1，所以
，
因为
，所以
，所以
.
易得
，
，
，所以
平面
，所以
，
因为
，所以
平面
，
即
为平面
的一个法向量.
连接
，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，所以
，
，
.
26
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设
（
），
所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
的取值范围是
.
5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥
中，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，
，
与平面
所成的角为
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A 作
于
，
因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
由
，
，可知
，
而
，
平面
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
（2）法1：由（1）知
平面
，
平面
，所以
，
27
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又
，所以
，
所以
，
，所以
，
由
平面ABCD，所以
平面
．
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，设
，
平面
的一个法向量为
，
，
，所以
，
，即
，
得
令
，得
，
，所以
，
显然，当
时，
取最小值，
综上，当
时，
的最大值为
．
法2：设点
到平面
的距离为
，因为
，
平面
，
所以
平面
，所以点A 到平面
的距离也为
，
由（1），
平面
，所以
，又
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
由（1），
平面
，所以
，
由
，在四边形
中，当
时，
取最小值，
此时四边形
显然为矩形，
，所以
的最大值为
．
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23 下·乐山·三模）在直三棱柱
中，
，
，点P 满足
，其中
，则直线AP 与平面
所成角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
28
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【答案】B
【详解】分别取
中点
,则
,即
平面
,
连接
,因为
,所以
,
分别
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
由已知
,
,
,
,
,
则
,
因为
，
，
，
易知平面
的一个法向量是
，
设直线AP 与平面
所成角为
，则
，
，
所以
时，
，即
的最大值是
．
故选：B．
2．（23·24 上·亳州·阶段练习）将边长为1 的正方形
及其内部绕
旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中
与C 在平面
的同侧，则直线
与平面
所成的角的正弦
值为（ ）
29
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
，
，
如图所示，建立空间直角坐标系．
则
，
∴
平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成的角为
，
∴
．
故选：D．
3．（23·24 上·泰安·阶段练习）三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，N
是BC 的中点，点P 在
上，且满足
，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为
（ ）
30
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，以AB，AC，
分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
平面ABC 的一个法向量为
，
设直线PN 与平面ABC 所成的角为
，
，
当
时，
，此时角
最大．
故选：D．
4．（22·23 上·江西·阶段练习）如图，在长方体
中，
，
，
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值取最大值时，
（ ）
31
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
设
则
设平面
的法向量为
则
即
令
则
设直线
与平面
所成角为
，
则
当
时，
最大，
故选:D.
二、填空题
5．（22·23 上·厦门·期末）正方体
中，E 为线段
的中点，则直线
与平面
所成
角的正弦值为 ．
32
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【答案】
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则
;
；
设平面
的一个法向量为
，则
，
，
令
，则
.
设直线
与平面
所成角为
，则
.
故答案为：
.
6．（23·24 上·济宁·阶段练习）已知正方体
的棱长为1，H 为棱
上的动点，若
平
面
，则直线CD 与平面
所成角的正弦值的取值范围为
【答案】
【详解】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立空间直角坐标系
.
则
、
，设点
，其中
.
33
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则
，
，
因为
平面
，所以
为平面
的一个法向量，
设直线
与平面
所成的角为
，
，
.
所以，直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体
中，AB＝3，M 是侧面
内的动点，
满足
，若AM 与平面
所成的角
，则
的最大值为 .
【答案】
【详解】解：如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
则
，
设
，
则
，
34
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因为
，
所以
，
所以
，则
，
因为
平面
，
所以
即为AM 与平面
所成角，即
，
则
，
所以当
时，
取得最大值
.
故答案为：
.
8．（22·23 上·宁波·阶段练习）已知圆柱
中，点
在圆
上，
，
，点
、
在圆
上，
且满足
，则直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】
【详解】取
中点
，则
， 以点
为坐标原点，
为
轴，
为轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，
则
、
、
，
35
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，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，则
，
设
，直线
的方向向量为
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
，
即直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
.
故答案为：
.
9．（21·22 下·绵阳·期末）在正方体
中，点Р 在侧面
(包括边界)上运动，满足
记直线
与平面
所成角为，则
的取值范围是
【答案】
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
，
由题可设
，则
，
∴
，即
，
∴点
在
上，
36
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又
，
，平面
的一个法向量可取
，
∴
，
又
，
∴
，
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
三、解答题
10．（21·22 下·山东·模拟预测）如图，C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，平面
平面
为正三角形，E，F 分别是
上的动点.
(1)求证：
；
(2)若E，F 分别是
的中点且异面直线
与
所成角的正切值为
，记平面
与平面
的
交线为直线l，点Q 为直线l 上动点，求直线
与平面
所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C 是以
为直径的圆O 上异于A，B 的点，所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
平面
，
所以
平面
平面
.
37
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所以
（2）由E，F 分别是
的中点，连结
，所以
，由（1）知
，
所以
，所以在
中，
就是异面直线
与
所成的角.
因为异面直线
与
所成角的正切值为
，
所以
，即
又
平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
所以在平面
中，过点A 作
的平行线即为直线l.
以C 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面
的直线为z 轴，建立空间直
角坐标系，设
.
因为
为正三角形所以
，从而
由已知E，F 分别是
的中点，所以
则
，所以
，
所以
，
因为
，所以可设
，平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
又
，则
.
38
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设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以直线
与平面
所成角的取值范围为
.
11．（20·21 下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台
中，底面
是边长为2 的正三角形，侧
面
为等腰梯形，且
，
为
的中点．
（1）证明：
；
（2）记二面角
的大小为
，
时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值
范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【详解】（1）证明：如图，作
的中点
，连接
，
，
在等腰梯形
中，
，
为
，
的中点，
∴
，
在正
中，
为
的中点，
∴
，
∵
，
，
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，∴
．
（2）解：∵
平面
，
在平面
内作
，以
为坐标原点，以
，
，
，分别为
，
，，轴正向，如图建
立空间直角坐标系，
∵
，
，∴
为二面角
的平面角，即
，
39
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，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
则有
，即
，
则可取
，又
，
设直线
与平面
所成角为
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
．
12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱
的底面边长为1，高为
，
为线段
上的动点.
40
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(1)求证：
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接
，
.
在正六棱柱
中，
因为底面为正六边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，所以平面
平面
，
因为
为线段
上的动点，所以
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点为Q，连接
，
.
因为底面边长为1，所以
，
因为
，所以
，所以
.
41
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易得
，
，
，所以
平面
，所以
，
因为
，所以
平面
，
即
为平面
的一个法向量.
连接
，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，所以
，
，
.
设
（
），
所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
的取值范围是
.
13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥
中，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
，
，
与平面
所成的角为
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A 作
于
，
42
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因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
由
，
，可知
，
而
，
平面
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
（2）法1：由（1）知
平面
，
平面
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
，所以
，
由
平面ABCD，所以
平面
．
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，设
，
平面
的一个法向量为
，
，
，所以
，
，即
，
得
令
，得
，
，所以
，
显然，当
时，
取最小值，
综上，当
时，
的最大值为
．
法2：设点
到平面
的距离为
，因为
，
平面
，
所以
平面
，所以点A 到平面
的距离也为
，
由（1），
平面
，所以
，又
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
由（1），
平面
，所以
，
43
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由
，在四边形
中，当
时，
取最小值，
此时四边形
显然为矩形，
，所以
的最大值为
．
14．（23·24 上·沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，且
M 是
的中点，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【详解】（1）∵
平面
，
平面
，
∴
，又四边形
是矩形，则
，
∵
，
、
平面
，
∴
平面
，
平面PAD，
∴
，
又M 是PD 的中点，
，则
，
而
，
、
平面
，
所以
平面
；
（2）由题易知：
两两互相垂直，
以A 为空间坐标系的原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，
44
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则
，
，
，
，故
，
设平面MBC 法向量为
，则
，
即
，令
，
，则
，即
，
而
，则
，
设MA 与平面MBC 所成角为
，则
，
所以
.
15．（23·24 上·东莞·阶段练习）如图1，梯形
中，
，过
分别作
，垂
足分别为
，已知
，将梯形
沿
折起，得空间几何体
，如图2．
(1)在图2 中，若
，证明：
平面
．
(2)在图2 中，若
，在线段
上求一点
，使
与平面
所成角的正弦值最大，并
求出这个最大值．
【答案】(1)证明见详解
(2)点
与点
重合；
【详解】（1）由已知四边形
是正方形，且边长为
，
在图2 中，
,
又
，
,
平面
,
平面
,
则
平面
,
又
平面
,所以
,
又
,
,
平面
,
平面
,
45
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所以
平面
.
（2）在图2 中，
平面
,
平面
,
则
平面
，
在梯形
中，过点
作
,交
于点
连接
,
由题意得
又
,根据勾股定理可得
,
则
过
作
交
于点
,
可知
两两垂直，
以
为坐标原点，以
分别为
轴，
轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面
的一个法向量为
，
则
，
取
，得
设
，则
，
设
与平面
所成角为
，
则
46
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故当
，即
时，点
与点
重合时，
有最大值，
且此时最大值为
.
16．（23·24 上·河东·期中）如图，在四棱线
中，底面
为矩形，
平面
，点
是棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)设
的中点为
，点
在棱
上（异于点
），且
，求直线
与平面
所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）连接
，设
和
交点为
，连接
，因为底面
为矩形，
所以
为
中点，又点
是棱
的中点，所以
为
中位线，
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
47
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（2）由题可知，
平面
，所以
，又底面
为矩形，
所以
，故
互相垂直，以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为轴建立
空间直角坐标系，设
，
，易得
，故
，
又
，故
，
化简得
，即
，故
，
所以
，
，所以
，
，设平面
的法向量为
，
由
得
，令
得
，
设直线
与平面
所成角的正弦值为
，
与
夹角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
48
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17．（23·24 上·广东·阶段练习）已知正方形
的边长为4（图1），
、
分别为
、
的中点，
以
为棱将正方形
折成如图所示的二面角，且
，点
是线段
上的动点（图2）．
(1)若
为
的中点，
为
的中点（图3），证明：直线
平面
；
(2)是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
；若存在，求此时
点到平面
的距离，
若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
是靠近
或
的四等分点，此时
点到平面
的距离为
.
【详解】（1）若
是
中点，连接
交
于
，
为
的中点，又
为矩形，易知
是
中点，
由
，则
是平行四边形，又
为
的中点，
所以
为中位线，即
，
由
面
，
面
，故直线
平面
；
（2）若
为
中点，作
面
，构建空间直角坐标系
，
49
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设
，则
，
所以
，
，
，
令
是面
一个法向量，则
，
若
，则
，
所以
，则
，
当
，则
，
，故
；
当
，则
，
，故
；
综上，
是靠近
或
的四等分点，此时
点到平面
的距离为
.
18．（23·24 上·西青·阶段练习）四棱柱
中，
底面
，
为
的中点．
(1)求证：
；
(2)求面
与面
夹角的余弦值
(3)设点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：以
为原点，以
为
轴，以
为
轴，以
为轴，建立空间直角坐标系，
50
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为
中点，
，
，
．
（2）设平面
的法向量
，
．
取
，得
．
设平面
的法向量
，
，
．
取
，得
．
设面
与面
所成角为
．
则
．
面
与面
所成角的余弦值为
．
（3）设点
，
点
在线段
上，
，
，
，
51
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直线
与平面
所成角的正弦值为
，
平面
的法向量
，
，
解得
，或
（舍），
．
线段
的长为
．
19．（23·24 上·温州·阶段练习）已知几何体
，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE
均为正方形，且边长均为1，点M 在棱DG 上．
(1)求证：
；
(2)是否存在点M，使得直线MB 与平面BEF 所成的角为
？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）因为四边形
、
、
均为正方形，则
两两互相垂直，
以
为坐标原点，
为
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，设
，
可得
，
，
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因为
，所以
.
（2）由（1）知：
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，可得
，
假设存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
，则
，
可得
，解得：
，
又因为
在棱
上，则
，所以
，
故当点
在棱
上，且
时，直线
与平面
所成的角为
.
20．（23·24 上·湖南·阶段练习）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
.
(1)求证：
；
(2)若
，
是线段
上的一点，若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的
长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，如图所示，
因为
，
是
的中点，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，
又因为
，
，且
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）解：设
的中点为
，则
，又
，所以
，
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以
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
轴、
轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
设
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
令
，解得
，
，所以
，
又由
，
所以
，
解得
或
（舍去），
所以点
为
的中点，因为
，
所以
.
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