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专题02 解三角形
1．在①ac =√3，②c sin A =3，③c =√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且sin A =√3sin B，C = π
6 ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b 的比例关系，根据比例关系，
设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理
由sinA =√3 sinB可得：a
b =√3，不妨设a=√3m,b=m(m>0)，
则：c
2=a
2+b
2−2abcosC =3m
2+m
2−2×√3m×m× √3
2 =m
2，即c =m.
若选择条件①：
据此可得：ac =√3m×m=√3m
2=√3，∴m=1，此时c =m=1.
若选择条件②：
据此可得：cosA = b
2+c
2−a
2
2bc
= m
2+m
2−3m
2
2m
2
=−1
2，
则：sinA =√
1−(−1
2)
2
= √3
2
，此时：csinA =m× √3
2 =3，则：c =m=2√3.
若选择条件③：
可得c
b = m
m =1，c =b，与条件c =√3b矛盾，则问题中的三角形不存在.
［方法二］：正弦定理
由C = π
6 , A + B+C = π，得A = 5 π
6 −B．
由sinA =√3 sinB，得sin(
5 π
6 −B)=√3 sinB，即1
2 cosB+ √3
2 sinB =√3 sinB，
得tanB = √3
3 ．由于0<B<π，得B = π
6 ．所以b=c , A = 2π
3 ．
若选择条件①：
1
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由a
sinA =
c
sinC ，得
a
sin 2π
3
=
c
sin π
6
，得a=√3c．
解得c =b=1,a=√3．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c =1．
若选择条件②：
由csinA =3，得csin 2π
3 =3，解得c =2√3，则b=c =2√3．
由a
sinA =
c
sinC ，得
a
sin 2π
3
=
c
sin π
6
，得a=√3c =6．
所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =2√3．
若选择条件③：
由于c =√3b与b=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在．
【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的关系，再根据选择的条件即可解出，是本
题的通性通法,也是最优解；
方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，从而可得
b=c , A = 2π
3 ,B =C = π
6 ，再根据选择条件即可解出．
2．在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bsin A −√3a=0．
（I）求角B 的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
【答案】（I）B = π
3 ；（II）( √3+1
2
, 3
2 ]
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形
为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA +cosB+cosC的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由2bsinA =√3a，得sin
2 A =(
√3a
2b )
2
= 3a
2
4 b
2，即1−cos
2 A = 3a
2
4 b
2.
结合余弦定cosA = b
2+c
2−a
2
2bc
，
2
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∴1−(
b
2+c
2−a
2
2bc )
2
= 3a
2
4 b
2，
即4 b
2c
2−b
4−c
4−a
4−2b
2c
2+2b
2a
2+2c
2a
2=3a
2c
2，
即a
4+b
4+c
4+a
2c
2−2a
2b
2−2b
2c
2=0，
即a
4+b
4+c
4+2a
2c
2−2a
2b
2−2b
2c
2=a
2c
2，
即(a
2+c
2−b
2)
2=(ac)
2，
∵△ABC为锐角三角形，∴a
2+c
2−b
2>0，
∴a
2+c
2−b
2=ac，
所以cosB = a
2+c
2−b
2
2ac
= 1
2，
又B 为△ABC的一个内角，故B = π
3 .
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由2bsinA =√3a，结合正弦定理可得：2sinBsinA =√3 sinA ,∴sinB = √3
2
△ABC为锐角三角形，故B = π
3 .
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为B = π
3 ，并利用余弦定理整理得b
2=a
2+c
2−ac，
即3ac =(a+c)
2−b
2.
结合ac≤(
a+c
2 )
2
，得a+c
b
≤2.
由临界状态（不妨取A = π
2 ）可知a+c
b
=√3.
而△ABC为锐角三角形，所以a+c
b
>√3.
由余弦定理得cosA +cosB+cosC = b
2+c
2−a
2
2bc
+ 1
2 + a
2+b
2−c
2
2ab
，
b
2=a
2+c
2−ac，代入化简得cosA +cosB+cosC = 1
2(
a+c
b
+1)
3
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故cosA +cosB+cosC的取值范围是(
√3+1
2
, 3
2].
[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
cosA +cosB+cosC =cosA + 1
2 +cos(
2π
3 −A)
=cosA −1
2 cosA + √3
2 sinA + 1
2 = √3
2 sinA + 1
2 cosA + 1
2
=sin(A + π
6)+ 1
2.
由¿可得：π
6 < A < π
2 ，π
3 < A + π
6 < 2π
3 ，
则sin(A + π
6)∈(
√3
2 ,1]，sin(A + π
6)+ 1
2 ∈(
√3+1
2
, 3
2].
即cosA +cosB+cosC的取值范围是(
√3+1
2
, 3
2].
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得
a
2+c
2−b
2=ac，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为
最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接
使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
3．在平面四边形ABCD中，∠ADC =90
∘，∠A = 45
∘，AB =2，BD =5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC =2√2，求BC.
【答案】（1）√23
5 ；（2）5.
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到
BD
sin∠A =
AB
sin∠ADB ，求得sin∠ADB= √2
5
，结合角的范围，
利用同角三角函数关系式，求得cos∠ADB=√1-2
25 = √23
5
；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos∠BDC=sin∠ADB= √2
5
，在△BCD中，根据余弦定理即可
4
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求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin∠A =
AB
sin∠ADB ，代入数值并解得sin∠ADB= √2
5
．又因为BD> AB，
所以∠A>∠ADB，即∠ADB为锐角，所以cos∠ADB= √23
5
．
［方法2］：余弦定理
在△ABD中，B D
2=A B
2+A D
2-2AB⋅ADcos45
∘，即25=4+A D
2-2×2×AD× √2
2
，解得：
AD =√2+√23，所以，
cos∠ADB= (√2+√23)
2+25-4
2×(√2+√23)×5 = √23
5
．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B 点作BE⊥AD，垂足为E，BF ⊥CD，垂足为F．在Rt△AEB中，因为∠A=45°，AB =2，
所以AE = BE =√2．在Rt△BED中，因为BD =5，则DE =√B D
2-B E
2=√5
2-(√2)
2=√23．
所以cos∠ADB= √23
5
．
［方法4］：坐标法
以D 为坐标原点，⃗DC为x 轴，⃗DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设∠BDC=α，则B(5cosα ,5 sinα )．因为∠A=45°，所以A(0,5 sinα +√2)．
从而AB =√(0-5cosα)
2+(5sinα+√2-5sinα)
2=2，又α是锐角，所以cosα= √2
5
，
cos∠ADB=sinα=√1-cos
2α = √23
5
．
5
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（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
在△BCD，由（1）得，cos∠ADB= √23
5
，BC
2=B D
2+DC
2-2BD⋅DCcos(90°-∠ADB)
=5
2+(2√2)
2-2×5×2√2sin∠ADB=25，所以BC =5．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作BF ⊥DC，垂足为F，易求，BF =√23，FC =√2，由勾股定理得BC =5．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属
于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
4．△ABC 的内角A 、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC 的面积为
a
2
3sin A
(1)求sin BsinC;
(2)若6cos BcosC =1,a=3,求△ABC 的周长.
【答案】(1)sinBsinC = 2
3(2) 3+√33.
【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式1
2 acsinB =
a
2
3 sinA
，再利用正弦定理将边化成角，
从而得出sinBsinC的值；（2）由cosBcosC = 1
6和sinBsinC = 2
3计算出cos(B+C )=−1
2，从而求出角A，
根据题设和余弦定理可以求出bc和b+c的值，从而求出△ABC的周长为3+√33.
试题解析：（1）由题设得1
2 acsinB =
a
2
3 sinA ，即1
2 csinB =
a
3 sinA .
由正弦定理得1
2 sinCsinB = sinA
3 sinA .
故sinBsinC = 2
3.
（2）由题设及（1）得cosBcosC −sinBsinC =−1
2 ,，即cos(B+C )=−1
2.
6
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所以B+C = 2π
3 ，故A = π
3 .
由题设得1
2 bcsinA =
a
2
3 sinA ，即bc =8.
由余弦定理得b
2+c
2−bc =9，即(b+c)
2−3bc =9，得b+c =√33.
故△ABC的周长为3+√33.
点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公
式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见
的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和
它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，
建立函数关系式，如y = Asin(ωx +φ)+b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
5．在△ABC中，内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos B+C
2
=asin B.
(1)求A；
(2)若a=√19，⃑BA ⋅⃑AC =3，AD 是△ABC的中线，求AD 的长.
【答案】(1)A = 2π
3
(2)√7
2
【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.
（2）由⃗BA ⋅⃗AC =3可得bc =6，根据⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )以及余弦定理即可求出|⃗AD|.
【详解】（1）cos B+C
2
=cos( π
2 −A
2 )=sin A
2 ，
所以bsin A
2 =asinB，
由正弦定理得：sinBsin A
2 = sinAsinB，
∵sinB≠0，∴sin A
2 = sinA，
7
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∴sin A
2 =2sin A
2 cos A
2 ，∵A ∈(0,π ), A
2 ∈(0,π
2 )∴sin A
2 ≠0，
得cos A
2 = 1
2，即A
2 = π
3 ，
∴A = 2π
3 .
（2）∵⃗BA ⋅⃗AC =3,
∴bccos(π −A )=3,得bc =6，
由余弦定理得：b
2+c
2=a
2+2bccosA =13，⃗
AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )，
∴|⃗AD|
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC )
2= 1
4 (c
2+b
2+2bccosA)= 7
4
所以|⃗AD|= √7
2 ，
即AD 的长为√7
2 .
6．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c．已知 a=2√2,b=5,c =√13．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sin A的值；
（Ⅲ）求sin(2 A + π
4)的值．
【答案】（Ⅰ）C = π
4 ；（Ⅱ）sinA = 2√13
13
；（Ⅲ）sin(2 A + π
4)= 17√2
26
.
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先计算出sinA ,cosA ,进一步求出sin2 A ,cos2 A，再利用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）在△ABC中，由a=2√2,b=5,c =√13及余弦定理得
cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 8+25−13
2×2√2×5 = √2
2 ，
又因为C ∈(0,π )，所以C = π
4 ；
（Ⅱ）在△ABC中，由C = π
4 ， a=2√2,c =√13及正弦定理，可得sinA = asinC
c
=
2√2× √2
2
√13
= 2√13
13
；
8
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（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA = 2√13
13
，可得 cosA =√1−sin
2 A = 3√13
13
，
进而sin 2 A =2sinAcosA = 12
13 ,cos2 A =2cos
2 A −1= 5
13，
所以sin(2 A + π
4 )=sin 2 Acos π
4 +cos2 Asin π
4 = 12
13 × √2
2 + 5
13 × √2
2 = 17√2
26
.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学
运算能力，是一道容易题.
7．在锐角三角形ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，且满足
2csin B =√5|⃗CD|.
(1)求cosC的值；
(2)若b=√3,a=3ccosB，求ABC的周长.
【答案】(1)2
3
(2)2√3+√2
【分析】（1）依题意可得|⃗CD|=bcosC，即可得到2csinB =√5bcosC，利用正弦定理将边化角，即可得
到2sinC =√5cosC，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到sinB=√5cosB，从而求出sinB、
cosB，再由正弦定理求出c，即可求出a，从而得解.
【详解】（1）由⃗CD为⃗CA在⃗CB方向上的投影向量，则|⃗CD|=bcosC，
又2csinB =√5|⃗CD|，即2csinB =√5bcosC，
根据正弦定理，2sinCsinB =√5sinBcosC，
在锐角ABC中，B∈(0,π
2 )，则sinB>0，即2sinC =√5cosC，
由C ∈(0,π
2 )，则cos
2C +sin
2C =1，整理可得cos
2C + 5
4 cos
2C =1，解得cosC= 2
3（负值舍去）.
9
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（2）由a=3ccosB，根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB，
在△ABC中，A + B+C = π，则sin(B+C)=3 sinCcosB，
所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，所以sinBcosC=2sinCcosB，
由（1）可知cosC= 2
3 ,sinC =√1−cos
2C = √5
3 ，则sinB=√5cosB，
由sin
2B+cos
2B =1，则5cos
2B+cos
2B =1，解得¿（负值舍去），
根据正弦定理，可得
b
sinB =
c
sinC ，则c =sinC
sinB b=√2，a= √6
2 c =√3，
故△ABC的周长C△ABC =a+b+c =2√3+√2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A =π
4 ，BD =CD，AD =2.
(1)若BD = √5
3 b，求c；
(2)若a=2√2，求△ABC的面积.
【答案】(1)c =2+√10或c =2+ √10
2
(2)4 或3−√3.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得b，从而求得BD，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理化简得cosθ =sin(
3 π
4 −2θ)，再由正弦定理即可得到c，结合三角形的面积
公式即可得到结果.
【详解】（1）
10
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在△ACD中∠A =π
4 ，AD =2，CD = BD = √5
3 b，由余弦定理得，
C D
2= A D
2+ A C
2−2 AD⋅ACcosA =2
2+b
2−4 bcosπ
4 = 4+b
2−2√2b
∴(
√5
3 b)
2
= 4+b
2−2√2b，化简得2b
2−9√2b+18=0，
解得b=3√2，或b= 3√2
2
.
∴BD = √5
3 b= √5
3 ×3√2=√10，或BD = √5
3 b= √5
3 × 3√2
2
= √10
2 .
∴c = AB = AD + BD =2+√10，或c = AB = AD + BD =2+ √10
2 ，
综上可得c =2+√10，或c =2+ √10
2 .
（2）在△BCD中BD =CD，设∠B =∠BCD =θ，则∠BDC = π −2θ，
∵a=2√2，由正弦定理得
a
sin 2θ = CD
sinθ ，∴CD = √2
cosθ .
在△ACD中，∠ADC =2θ，∠ACD = 3 π
4 −2θ，
由正弦定理得
AD
sin ∠ACD = CD
sinA ，即
2
sin(
3 π
4 −2θ)
=
√2
cosθ
sinπ
4
.
化简得cosθ =sin(
3 π
4 −2θ)
sin(
π
2 −θ)=sin(
3 π
4 −2θ)，∵0<θ<π
2 ，∴0<π
2 −θ<π
2 ，−π
4 < 3 π
4 −2θ< 3 π
4 .
∴π
2 −θ = 3 π
4 −2θ或π
2 −θ+ 3 π
4 −2θ = π，解得θ =π
4 或θ =π
12.
当θ =π
4 时，∠ACB =π
2 ，AC = BC =2√2，∴△ABC为等腰直角三角形，
得到△ABC的面积为S△ABC = 1
2 ×2√2×2√2= 4；
当θ =π
12，∠ACB = π −π
12 −π
4 = 2π
3 ，
11
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在△ABC中由正弦定理得a
sinA =
c
sin ∠ACB ，
∴c =
a
sinA ⋅sinC = 2√2
√2
2
⋅√3
2 =2√3
∴△ABC的面积为S△ABC = 1
2 ×2√2×2√3×sinπ
12 =2√6× √6−√2
4
=3−√3，
综上可得△ABC的面积为4 或3−√3.
9．已知f (x)=sinωx(ω>0)，其图象相邻对称轴间的距离为π
2 ，若将其图象向左平移5π
12 个单位得到函
数y = g(x)的图象.
(1)求函数y = g(x)的解析式及图象的对称中心；
(2)在钝角△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若f(
B
2)= g(
A
2 −π
6 )，求2c
b +
5
cos A 的取值范
围.
【答案】(1)g(x)=sin(2 x + 5 π
6 )，对称中心为(−5 π
12 + kπ
2 ,0)(k ∈Z)
(2)[4√3,5√2)
【分析】（1）根据f (x)的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出ω，再根据图像平移得到 y = g(x)，由
对称中心公式求得结果；
（2）由f(
B
2)= g(
A
2 −π
6 )得出A ,B ,C三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简2c
b +
5
cosA ，再利用
导数求函数单调区间得出结果.
【详解】（1）已知f (x)的图象相邻对称轴间的距离为π
2 ，则T = π.
由周期公式得，T = 2π
|ω|= π ,ω>0，
所以ω=2,f (x)=sin 2 x，
g(x)=sin[2(x + 5 π
12)]=sin(2 x + 5 π
6 )，
令2 x + 5 π
6 =kπ，所以x =−5 π
12 + kπ
2 ，
12
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故函数y = g(x)的对称中心为(−5 π
12 + kπ
2 ,0)(k ∈Z)
（2）由题意得，f(
B
2)= sinB，g(
A
2 −π
6 )=sin[2(
A
2 −π
6 )+ 5 π
6 ]=sin(A +π
2 )，
所以sinB=sin(A +π
2 ).
所以B = A +π
2 或A + B =π
2 （舍），
所以C =π
2 −2 A.
因为在钝角△ABC中，所以0< A <π
2 ,0<C <π
2 ，
所以0< A <π
4 ，
则2c
b +
5
cosA = 2sinC
sinB
+
5
cosA
= 2cos2 A
cosA
+
5
cosA = 2(2cos
2 A −1)+5
cosA
= 4 cosA +
3
cosA
令t =cosA ,φ(t )= 4 t + 3
t ,t ∈(
√2
2 ,1)，φ
' (t )= 4−3
t
2，
当√2
2 < x< √3
2 时，φ
' (t )>0；当√3
2 < x<1时，φ
' (t )>0；
可得φ(t )在(
√2
2 , √3
2 )单调递减，在(
√3
2 ,1)单调递增.
所以当t = √3
2 ，即A =π
6 时，φ(t )有最小值4√3；
φ(
√2
2 )=5√2,φ(1)=7，所以φ(t )<5√2
故2c
b +
5
cosA ∈[4√3,5√2).
10．在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=6，
2sin ( A +C)+2bsin(B+C )=7√3．
(1)求角B的大小；
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(2)若⃗AC =3⃗DC，BD =√37，求c 的值．
【答案】(1)B =π
3
(2)9
【分析】（1）由sin( A +C )= sinB，sin(B+C )= sinA，代入2sin ( A +C)+2bsin(B+C )=7√3得
2sinB+2bsinA =7√3，再由正弦定理得出bsinA =6 sinB，即可求出sinB，结合△ABC是锐角三角形即
可得出角B的大小；
（2）由⃗AC =3⃗DC得AD =2 DC，设∠BDA =θ，CD = x，则AD =2 x，AC =3 x，由余弦定理得出
cos∠BDA，cos∠BDC和cos∠ABC，整理得出关于c的方程，求解即可得出c 的值．
【详解】（1）在△ABC中，因为sin( A +C )= sinB，sin(B+C )= sinA，
所以2sinB+2bsinA =7√3，
由正弦定理，知a
sinA =
b
sinB ，且a=6，则bsinA =6 sinB，
所以2sinB+12sinB =7√3，解得sinB = √3
2 ，
又因为△ABC为锐角三角形，故B =π
3 ．
（2）因为⃗AC =3⃗DC，所以点D 在线段AC 上，且AD =2 DC，
设∠BDA =θ，CD = x，则AD =2 x，AC =3 x，
在△BDA中，由余弦定理，知cos∠BDA =cosθ = 37+ 4 x
2−c
2
4√37 x
①，
在△BDC中，由余弦定理，知cos∠BDC =cos(π −θ)=−cosθ = 37+ x
2−36
2√37 x
②，
由①+②，整理得6 x
2+39−c
2=0，即x
2= c
2−39
6
③，
在△ABC中，cos∠ABC = 36+c
2−9 x
2
12c
= 1
2，即36+c
2−9 x
2=6c④，
将③代入④，整理得c
2+12c−189=0，解得c =9或c =−21（舍去），
故c =9．
11．如图，在△ABC中，AB = AC = √3
3 BC，点D在AB延长线上，且AD = 5
2 BD．
14
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(1)求sin ∠ACD
sin ∠BCD ；
(2)若△ABC面积为√3，求CD．
【答案】(1)5√3
2
(2)14
3
【分析】（1）设BC =√3t(t >0)，利用余弦定理求得A = 2π
3 ，再在△ACD和△BCD中两次利用正弦定
理即可求出比值.
（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的t值，再利用余弦定理即可.
【详解】（1）因为AB = AC = √3
3 BC,设BC =√3t(t >0),则AB = AC =t,
由余弦定理得cosA = A B
2+ A C
2−BC
2
2 AB⋅AC
= 2t
2−3t
2
2t
2
=−1
2，因为A ∈(0,π )，
所以A = 2π
3 ,∠ABC =∠BCA = π
6 ,∠CBD = 5 π
6
在△ACD中,由正弦定理得AD = CDsin∠ACD
sinA
= CDsin∠ACD
sin 2π
3
= 2√3
3
CDsin∠ACD,
在△BCD中,由正弦定理得BD = CDsin∠BCD
sin∠CBD
= CDsin∠BCD
sin 5 π
6
=2CDsin∠BCD,
因为AD = 5
2 BD,所以
2√3
3
CDsin∠ACD
2CDsin∠BCD
= 5
2
整理得sin ∠ACD
sin ∠BCD = 5√3
2
.
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（2）由AD = 5
2 BD得AB = 3
2 BD,
由（1）得1
2 t
2sin 2π
3 =√3,所以t =2,
在△BCD中,BC =√3t =2√3,BD = 2
3 AB = 4
3 ,∠CBD = 5 π
6 ,
由余弦定理得
CD =√BC
2+ B D
2−2BC ⋅BDcos∠CBD
=√
(2√3)
2+(
4
3)
2
−4√3× 4
3 ×(−√3
2 )= 14
3
.
12．在①(2b−c)cos A =acosC，②asin B =√3bcos A，③acosC +√3c sin A =b+c，这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若b=2，D为AB 的中点，求CD 的取值范围．
【答案】(1)A =π
3
(2)[√3,2)
【分析】（1）由正弦定理及三角函数恒等变换化简即可；
（2）利用向量的几何意义与数量积，通过条件先计算得c∈(1,4)，再得⃗CD
2= 1
4
(c−2)
2+3，由二次函数
的单调性计算即可得出结果.
【详解】（1）若选①，(2b−c)cosA =acosC ⇒2sinBcosA −sinCcosA = sinAcosC
2sinBcosA = sinAcosC +cosAsinC =sin ( A +C)= sinB，
∵A 、B、C ∈(0,π
2 )，∴sinB≠0⇒cosA = 1
2 ⇒A =π
3 ；
若选②，asinB =√3bcosA ⇒sinAsinB =√3 sinBcosA，
∵A 、B、C ∈(0,π
2 )，∴sinB≠0⇒sinA =√3cosA ⇒tanA =√3⇒A =π
3 ；
若选③acosC +√3csinA =b+c⇒sinAcosC +√3 sinCsinA = sinB+ sinC
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⇒sinAcosC +√3 sinCsinA =sin ( A +C)+ sinC ⇒√3 sinCsinA = sinC (cosA +1)
∵A 、B、C ∈(0,π
2 )，∴sinC ≠0⇒√3 sinA −cosA =1=2sin(A −π
6 )，
而A −π
6 ∈(−π
6 ,π
3 )⇒A −π
6 =π
6 ⇒A =π
3 .
（2）
如图所示，设⃗AB =⃗c ,⃗AC =⃗b，则⃗BC =⃗b−⃗c，|⃗c|=c ,|⃗b|=b，⃗b⋅⃗c =c，
∵△ABC是锐角三角形，∴¿，⃗
CD = 1
2⃗c−⃗b⇒⃗CD
2= 1
4⃗c
2−⃗b⋅⃗c +⃗b
2= 1
4
(c−2)
2+3∈[3,4)，当c =2时取得最小值，故|⃗CD|∈[√3,2).
13．在△ABC中，内角A ,B ,C对应的边分别为a,b,c , A ≠π
2 ,sinC +sin(B−A)=√2sin2 A．
(1)求角A的取值范围；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并求b的值．
①sinC = √2
2 ,c =2√3；②B = A +π
4 ,c =√3；③sin A = 1
2 ,C >B , AC边上的中线长为√3+1；
注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)A ∈(0,π
4 ]
(2)答案见解析
【分析】（1）应用两角和差公式结合正弦定理可求得正弦值范围，最后求出角的范围；
（2）由正弦定理结合余弦定理边角转化求出边长即可.
【详解】（1）在△ABC中，C = π −( A + B)，所以，sin( A + B)+sin (B−A)=√2sin2A．即，
2sinBcosA =2√2sinAcosA．
又因为A ≠π
2 ，所以cosA≠0，所以sinB=√2sinA∈(0,1]，由正弦定理得，b=√2a，所以A为锐角，
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所以sinA∈(0, √2
2 ]，所以A ∈(0,π
4 ]．
（2）选①因为sinC= √2
2 ,C ∈(0,π )，所以C =π
4 或3 π
4 ，
当C =π
4 时，A = π −π
4 −B = 3 π
4 −B ,sinB =√2sinA=√2sin(
3π
4
−B)=cosB+ sinB，所以cosB=0，
即B =π
2
，所以由正弦定理得
√3
√2
2
=
b
sinπ
2
，所以b=2√6；
当C = 3 π
4 时，A = π −3 π
4 −B = π
4 −B ,sinB =√2sinA=√2sin(
π
4 −B)=cosB−sinB，所以
cosB=2sinB，
所以sinB= √5
5 ，所以由正弦定理得
2√3
√2
2
= b
√5
5
，所以b= 2√30
5
；
选②B = A +π
4 ,sinB =√2sinA=√2sin(B−π
4 )= sinB−cosB，所以cosB=0，
即B = π
2 ，所以由正弦定理得
√3
√2
2
=
b
sinπ
2
，所以b=√6；
选③因为sinA= 1
2，由（1）知A ∈(0,π
4 ]，所以A =π
6 ,sinB =√2sinA= √2
2 ，所以B =π
4 或B = 3 π
4 ，
且C >B
所以B =π
4 ,C = π −π
6 −π
4 = 7 π
12 ，
又因为b=√2a，由余弦定理得：
(√3+1)
2=a
2+ 1
2 a
2−2×a× √2
2 a× √2−√6
4
，解得a=2，所以b=√2a=2√2．
14．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S = √3
4 (a
2+b
2−c
2)，c =2√3．
(1)若B =π
4 ，求a；
(2)D为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值．
条件①：CD为∠C的角平分线； 条件②：CD为边AB上的中线．
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注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)√6+√2
(2)3
【分析】（1）根据题意，由余弦定理即可三角形的面积公式即可得到C =π
3 ，再由正弦定理即可得到结
果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由2⃗CD =⃗CA +⃗CB，再结合余弦定理
与基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为S = √3
4 (a
2+b
2−c
2)，
由余弦定理可得：a
2+b
2−c
2=2abcosC，所以S = √3
4 ⋅2abcosC，
由三角形的面积公式可得S = 1
2 absinC，所以√3
4 ⋅2abcosC = 1
2 absinC，
所以tanC =√3，又C ∈(0,π )，故C =π
3 .
由正弦定理得，a
sinA =
c
sinC ，
且sinA =sin (B+C)=sin(
π
4 +π
3 )=sinπ
4 cosπ
3 +cosπ
4 sinπ
3 = √2+√6
4
，
所以
a
√2+√6
4
= 2√3
√3
2
，故有a=√6+√2.
（2）选择条件①：
在△ABC中，由余弦定理a
2+b
2−c
2=2abcosC，得a
2+b
2−12=ab，
即(a+b)
2=12+3ab≤12+3(
a+b
2 )
2
，故a+b≤4√3，
当且仅当a=b=2√3时，等号成立，
又因为S△CDA+ S△CDB= S△ABC
所以CD = √3ab
a+b = √3((a+b)
2−12)
3(a+b)
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= √3
3 ((a+b)−12
a+b)≤√3
3 (4√3−12
4√3)=3
故CD的最大值为3.
选择条件②：
由题2⃗CD =⃗CA +⃗CB，平方得4|⃗CD|
2=⃗CA
2+⃗CB
2+2⃗CA ⋅⃗CB =b
2+a
2+2abcosC =a
2+b
2+ab，
在△ABC中，由余弦定理得a
2+b
2−12=ab，
即(a+b)
2=12+3ab≤12+3(
a+b
2 )
2
，所以(a+b)
2≤48.
当且仅当a=b=2√3时，等号成立，
故有4|CD|
2=a
2+b
2+ab=(a+b)
2−ab=(a+b)
2−(a+b)
2−12
3
= 2
3
(a+b)
2+ 4≤36，
从而|CD|≤3，故CD的最大值为3.
15．在△ABC中，B≠C，sin B+sinC =cos B+cosC．
(1)求A；
(2)若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM =2 MA =2 MB，且∠AMC =90°，求tan ∠ACB．
【答案】(1)A =π
2
(2)4
5
【分析】（1）运用辅助角公式化简后解方程即可.
（2）在△MBC中运用正弦定理得θ与φ关系式，在Rt△MBC中求得sinθ与cosθ的值，两者联立求解即可.
【详解】（1）因为sinB+ sinC =cosB+cosC，
所以sinB−cosB =cosC −sinC，
所以√2sin(B−π
4 )=√2sin(
π
4 −C)，即sin(B−π
4 )=sin(
π
4 −C)，
又0<B ,C <π，则−π
4 <B−π
4 < 3 π
4 ,−3 π
4 <π
4 −C <π
4 ，
故B−π
4 =π
4 −C或(B−π
4 )+(
π
4 −C)= π，
又因为B−π
4 +π
4 −C = B−C = π不合题意，
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故B−π
4 =π
4 −C，
所以B+C =π
2 ，
所以A =π
2 ．
（2）由（1）知，A =π
2 ，
设∠ACM =θ，又MA = MB，则∠MAB =∠MBA =θ，
设∠ACB =φ，则∠ABC =π
2 −φ，如图，
在△MBC中，由正弦定理得
MC
sin(
π
2 −φ−θ)
=
MB
sin (φ−θ)，
又因为MC =2 MB，
所以2sin (φ−θ)=cos(φ+θ)，
即2(sinφcosθ−cosφsinθ)=cosφcosθ−sinφsinθ①，
由MC =2 AM，∠AMC =90°得，sinθ = 1
√5，cosθ = 2
√5，
代入①式整理得，√5 sinφ = 4
√5 cosφ，则tanφ = 4
5 ．
故tan ∠ACB = 4
5 .
16．已知锐角三角形ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin B+cosC = √6+√2
4
，
cos B+sinC = √6+3√2
4
.
(1)求A；
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(2)若a=√3，求三角形ABC 的周长.
【答案】(1)A =π
3
(2)√6+2√3+3√2
2
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式求解；
（2）利用两角差的正弦、余弦公式可解得sinB = √2
2 ，sinC = √6+√2
4
，进而利用正弦定理即可求周长.
【详解】（1）由sinB+cosC = √6+√2
4
，cosB+ sinC = √6+3√2
4
,
可得sin
2B+cos
2C +2sinBcosC = 8+ 4√3
16
= 1
2 + √3
4 ①，
cos
2B+sin
2C +2cosBsinC = 24+12√3
16
= 3
2 + 3√3
4
②，
加②可得，
sin
2B+cos
2B+cos
2C +sin
2C +2(sinBcosC +cosBsinC)=2+√3，
即2+2sin(B+C )=2+√3,所以sin(B+C )= √3
2 ，
所以sin(B+C )=sin(π −A )= sinA = √3
2 ，
因为A ∈(0,π
2 ),所以A =π
3 .
（2）因为sinB+cosC = √6+√2
4
，B+C = π −A = 2π
3 ,
所以sinB+cosC = sinB+cos(
2π
3 −B)= √6+√2
4
,
即(√3+2)sinB−cosB = √6+√2
2
③；
又因为cosB+ sinC = √6+3√2
4
，B+C = π −A = 2π
3 ,
所以cosB+ sinC =cosB+sin(
2π
3 −B)= √6+3√2
4
,
即(√3+2)cosB+ sinB = √6+3√2
2
④；
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联立③④解得，sinB =cosB = √2
2 ，
代入sinB+cosC = √6+√2
4
，cosB+ sinC = √6+3√2
4
，
解得sinC = √6+√2
4
，cosC = √6−√2
4
，
又因为a=√3，A =π
3 ，所以a
sinA =2 R =2，
所以b=2 RsinB =√2,c =2 RsinC = √6+√2
2
，
所以三角形ABC 的周长为a+b+c =√3+√2+ √6+√2
2
= √6+2√3+3√2
2
.
17．在锐角△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且2c
2=(a
2+c
2−b
2)(tan A +tan B).
(1)求角A的大小；
(2)若边a=√2，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围.
【答案】(1)A =π
4
(2)( √10
2 , 2+√2
2
].
【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由|⃗AD|
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC )
2，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用
三角函数值域求出范围
【详解】（1）由余弦定理得2c
2=2accosB (tanA+tanB)，
即c =acosB (tanA+tanB)，
由正弦定理得sinC=sinAcosB (tanA+tanB)= sinAcosB(
sinA
cosA +sinB
cosB)
= sinAcosBsin( A + B)
cosAcosB =sinAsinC
cosA
，
∵sinC ≠0,∴sinA =cosA，即tanA=1，
∵A ∈(0,π
2 ),∴A =π
4 .
（2）由余弦定理得：2=b
2+c
2−√2bc，则b
2+c
2=2+√2bc.
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|⃗AD|
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC )
2= 1
4 (c
2+b
2+√2bc)= 1
2 (1+√2bc)
由正弦定理得
b
sinB =
c
sinC =
a
sinA =2
所以b=2sinB ,c =2sinC，
bc = 4 sinBsinC = 4 sinBsin(
3 π
4 −B)= √2
2 (sinBcosB+sin
2B)=√2(-cos2B+sin2B)+√2
=2sin(2B−π
4 )+√2
因为△ABC是锐角三角形，所以¿，即π
4 <B<π
2 ，
则π
4 <2B−π
4 < 3 π
4 , √2
2 <sin(2B−π
4 )≤1,∴bc∈(2√2,2+√2].
中线AD长的取值范围是( √10
2 , 2+√2
2
].
18．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且a
2−b
2=accosB−1
2 bc
(1)求A；
(2)若a=6，2⃗BD =⃗DC，求线段AD长的最大值.
【答案】(1)π
3
(2)2√3+2
【分析】（1）根据余弦定理，化简可得b
2+c
2−a
2=bc，即可得出cosA= 1
2，再根据A的范围，即可得出
答案；
（2）解法一：由已知可得出⃗AD = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，平方整理可得⃗AD
2= 1
9 (b
2+ 4 c
2+2bc)，再结合条件，
根据基本不等式，即可得出答案；
解法二：设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得R =2√3.作出△ABC的外接圆，结合图象，可得出
AD过圆心O时，AD的长取得最大值. 作OE⊥BC，构造直角三角形，求出OD =2，即可得出答案.
【详解】（1）因为a
2−b
2=accos B−1
2 bc，
24
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所以根据余弦定理，可得a
2−b
2=ac⋅a
2+c
2−b
2
2ac
−1
2 bc，
所以b
2+c
2−a
2=bc，所以cosA= b
2+c
2−a
2
2bc
= 1
2.
因为A ∈(0,π )，所以A =π
3 .
（2）解法一：因为2⃗BD =⃗DC，所以2(⃗AD−⃗AB)=⃗AC −⃗AD，
所以⃗AD = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，
所以⃗AD
2= 1
9 (4⃗AB
2+⃗AC
2+ 4⃗AB⋅⃗AC) = 1
9 (b
2+ 4 c
2+2bc).
因为b
2+c
2−a
2=bc，a=6，所以b
2+c
2−bc =36，
则⃗AD
2= 4× 1
36 (b
2+ 4 c
2+2bc)= 4× b
2+ 4 c
2+2bc
b
2+c
2−bc
= 4×(
b
c)
2
+ 4 +2× b
c
(
b
c)
2
+1−b
c
.
令t = b
c ，t >0，则⃗AD
2= 4× t
2+ 4 +2t
t
2+1−t
= 4× (t
2−t +1)+3t +3
t
2−t +1
= 4+ 12(t +1)
t
2−t +1
.
令u=t +1，则u>1，
所以⃗AD
2= 4+
12u
u
2−3u+3 = 4 +
12
u+ 3
u −3 ≤4+
12
2√3−3 =16+8√3，
当且仅当u= 3
u，即u=√3时取等号.
所以，|⃗AD|≤√16+8√3=2√3+2，
所以，线段AD长的最大值为2√3+2.
25
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解法二：设△ABC外接圆的半径为R，
根据正弦定理，可得2 R = 6
√3
2
，所以R =2√3.
当AD过圆心O时，AD的长取得最大值.
作OE⊥BC，则E为BC的中点，
因为∠BAC =π
3 ，所以∠BOE = 1
2 ×2∠BAC =π
3 ，
所以OE =OBcosπ
3 =√3.
因为BE =3，BD = 1
3 BC =2，所以DE =1，
所以OD =√O E
2+ E D
2=2，
所以AD =2√3+2，
所以，线段AD长的最大值为2√3+2.
19．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，sin B = 1
3，且_________．
在①a
2−b
2+c
2=2，②⃗AB⋅⃗BC =−1这两个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题．注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
(1)求ac；
26
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(2)若sin A sinC = √2
3 ，求b．
【答案】(1)ac = 3√2
4
(2)1
2
【分析】（1）选①，用余弦定理即可求解，选②，用向量的数量积的运算即可求解；（2）用正弦定理即
可解决.
【详解】（1）若选①a
2−b
2+c
2=2，
由余弦定理可得b
2=a
2+c
2−2accosB，
∴1=accosB，
又sinB = 1
3，∴cosB =√1−sin
2B = 2√2
3
，∴ac = 3√2
4
．
若选②⃗AB⋅⃗BC =−1，
则|⃗AB||⃗BC|cos(π −B)=−accosB =−1，
又sinB = 1
3，∴cosB =√1−sin
2B = 2√2
3
，∴ac = 3√2
4
．
（2）由正弦定理a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2 R（R为△ABC外接圆半径），
可得ac =2 RsinA ⋅2 RsinC = 4 R
2sinAsinC，
又∵sinAsinC = √2
3 ，ac = 3√2
4
∴3√2
4
= 4 R
2× √2
3 ，解得R = 3
4 ．
∴b=2 RsinB =2× 3
4 × 1
3 = 1
2．
20．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知c =√3，b(1+cosC )=√3c sin B.
(1)求角C的大小和边b的取值范围；
27
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(2)如图，若O是△ABC的外心，求⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB的最大值.
【答案】(1)C =π
3 ，0<b≤2
(2)5
2
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得C =π
3 ，再根据正弦定理求边b的取值范围；
（2）解法一：根据数量积结合圆的性质整理可得⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB =b
2−3
2，进而可求取值范围；解法
二：根据数量积结合余弦定理整理可得⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB =b
2−3
2，进而可求取值范围.
【详解】（1）在△ABC中，由b(1+cosC )=√3csinB结合正弦定理可得：
sinB(1+cosC )=√3 sinCsinB，
因为B∈(0,π )，则sinB≠0，
化简得√3 sinC −cosC =2sin(C −π
6 )=1，即sin(C −π
6 )= 1
2，
又因为C ∈(0,π )，则C −π
6 ∈(−π
6 ,5π
6 )，
所以C −π
6 =π
6 ，解得C =π
3 ，
由正弦定理
c
sinC =
b
sinB = √3
√3
2
=2
，化简得b=2sinB，
因为0<B< 2π
3 ，所以0<sinB≤1，所以0<b≤2.
（2）解法1：由正弦定理得|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|= R =1，且∠AOB = 2π
3 ，
因为⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB =⃗OC ⋅(⃗OB−⃗OA)+(⃗OA −⃗OC)⋅(⃗OB−⃗OC)
=⃗OC ⋅⃗OB−⃗OC ⋅⃗OA +⃗OA ⋅⃗OB−⃗OA ⋅⃗OC −⃗OC ⋅⃗OB+⃗OC
2
=−2⃗OC ⋅⃗OA +⃗OA ⋅⃗OB+⃗OC
2=−2cos∠AOC −1
2 +1
2= 1
2 −2cos∠AOC，
当点O 不在△ABC外部时（如图）∠AOC =2B，
28
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OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB = 1
2 −2cos2B = 1
2 −2(1−2sin
2B)= 4 sin
2B−3
2 =b
2−3
2；
当点O 在△ABC外部时（如图），∠AOC =2(π −B)=2π −2B，⃗
OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB = 1
2 −2cos(2π −2B)= 1
2 −2cos2B =b
2−3
2；
由（1）可知0<b≤2，
即当b=2时，则⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB的最大值为5
2.
解法2：由题可知：⃗CA ⋅⃗CB =a⋅bcos π
3 = 1
2 ab，
如图，分别取线段BC , AC的中点D , E，
由于O 是△ABC的外心，则OD⊥BC ,OE⊥AC，
则⃗OC ⋅⃗AB =−⃗CO⋅(⃗CB−⃗CA )=−⃗CO⋅⃗CB+⃗CO⋅⃗CA
=−⃗CD⋅⃗CB+⃗CE⋅⃗CA =−a
2
2 + b
2
2 ，
所以⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB = b
2+ab−a
2
2
，
由余弦定理得c
2=a
2+b
2−2abcosC，即3=a
2+b
2−ab，
整理得ab−a
2=b
2−3，
所以⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB = b
2+ab−a
2
2
= b
2+b
2−3
2
=b
2−3
2，
由（1）可知0<b≤2，
即当b=2时，则⃗OC ⋅⃗AB+⃗CA ⋅⃗CB的最大值为5
2.
29
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21．△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a,b,c，c =2(acosC −b)，c
2+a
2=b
2+√3ac，b=2.
(1)求A；
(2)若M , N在线段BC上且和B ,C都不重合，∠MAN =π
3 ，求△AMN面积的取值范围.
【答案】(1)2π
3
(2)[
√3
3 , √3
2 )
【分析】（1）结合条件，利用正弦定理进行边角转化即可得到结果；
（2）设∠BAM =α，在△ABM中，利用正弦定理得到AM =
1
sin(
π
6 +α)
，在△ANC中，利用正弦定理
得到AN =
1
cosα ，从而得到S△AMN =
√3
2sin(2α +π
6 )+1,再利用y = sinx的性质即可求出结果.
【详解】（1）由c =2(acosC −b)得2acosC =c +2b，由正弦定理得
2sinAcosC = sinC +2sinB = sinC +2sin ( A +C)= sinC +2sinAcosC +2cosAsinC，
所以2cosAsinC + sinC =0，又因为C ∈(0，π )，所以sinC ≠0，
所以cosA =−1
2，又A ∈(0，π )，所以A = 2π
3 ，
（2）由c
2+a
2=b
2+√3ac，得c
2+a
2−b
2=√3ac，由余弦定理知cosB = c
2+a
2−b
2
2ac
= √3
2
，又因为
B∈(0，π )，所以B =π
6 ，
所以C = π −A −B =π
6 ，所以b=c =2，如图，设∠BAM =α,
则∠CAN =π
3 −α,∠BMA = 5 π
6 −α,∠CNA =π
2 +α，
30
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在△ABM中，由正弦定理可知AM =
csinB
sin ∠BMA =
2sinπ
6
sin(
5 π
6 −α)
=
1
sin(
π
6 +α)
，
在△ANC中，由正弦定理可知AN =
bsinC
sin ∠CNA =
2sinπ
6
sin(
π
2 +α)
=
1
cosα ，
故S△AMN = 1
2 AM ⋅AN ⋅sin ∠MAN = 1
2 ⋅
1
sin(α +π
6 )
⋅
1
cosα ⋅sinπ
3 =
√3
4 sin(α +π
6 )cosα
=
√3
2(√3 sinα +cosα)cosα
=
√3
2√3 sinαcosα +2cos
2α =
√3
√3sin 2α +cos2α +1 =
√3
2sin(2α +π
6 )+1，
因为α ∈(0，π
3 )，所以π
6 <2α +π
6 < 5 π
6 ，所以1
2 <sin(2α +π
6 )≤1，
所以2<2sin(2α +π
6 )+1≤3，所以
√3
3 ≤
√3
2sin(2α +π
6 )+1
< √3
2 ，
即S△AMN∈[
√3
3 ，√3
2 ).
22．已知在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠A =60°.
(1)若b=8，△ABC外接圆的半径为7√3
3
，求c；
(2)若b+c =6，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)c =5或c =3
(2)[9,12)
【分析】（1）由正弦定理求得a，再由余弦定理列方程求得c；
（2）由已知得出0<B< 2π
3 ，由正弦定理把a表示为B的函数，然后利用两角和与差的正弦公式变形，结
合正弦函数性质得取值范围，从而得周长的范围．
【详解】（1）根据条件，由正弦定理，得
a
sin 60° =2× 7√3
3
，解得a=7，
由余弦定理，得7
2=8
2+c
2−2×8ccos60°，解得c =5或c =3；
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（2）A =π
3 ，则0<B< 2π
3 ，C = 2π
3 −B，
由正弦定理a
sinA =
b
sinB =
c
sinC 得，b= 2√3
3
asinB，c = 2√3
3
asinC，
因为b+c = 2√3
3
a(sinB+ sinC )=6，所以a=
3√3
sinB+ sinC ，
又sinB+ sinC = sinB+sin( 2π
3 −B)= sinB+sin 2π
3 cosB−cos 2π
3 sinB
= 3
2 sinB+ √3
2 cosB =√3( √3
2 sinB+ 1
2 cosB)=√3sin(B+π
6 )，
0<B< 2π
3 ，则π
6 <B+π
6 < 5 π
6 ，所以1
2 <sin(B+π
6 )≤1，
所以√3
2 <sinB+ sinC ≤√3，所以3≤a<6，
所以9≤a+b+c<12，即△ABC的周长的取值范围为[9,12)．
23．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知c sin B+C
2
=asinC.
(1)求角A 的大小；
(2)若b=2，sin B = √21
7 ，求边c 及sin (2B+ A)的值.
【答案】(1)π
3 ；
(2)5√3
14
.
【分析】（1）根据正弦定理化简为sinCsin B+C
2
= sinAsinC，从而可得sinCcos A
2 =2sin A
2 cos A
2 sinC，
结合角的范围可得sin A
2 = 1
2，从而可求得A =π
3 ；
（2）由正弦定理求得a=√7，再根据余弦定理可求得c =3，由sinB = √21
7 求得cosB，进而求得sin 2B，
cos2B，再结合和角正弦公式可得sin (2B+ A).
【详解】（1）根据正弦定理，
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由csin B+C
2
=asinC可得sinCsin B+C
2
= sinAsinC.
即sinCsinπ-A
2
= sinAsinC，即sinCcos A
2 =2sin A
2 cos A
2 sinC，
因为0<C <π ,0< A <π，所以sinC >0,0< A
2 <π
2 ,cos A
2 >0.
所以sin A
2 = 1
2，即A
2 =π
6 , A =π
3 .
（2）由正弦定理a
sinA =
b
sinB ，可得
a
√3
2
=
2
√21
7
，解得a=√7，
根据余弦定理可得a
2=b
2+c
2−2bccosA，
即7 = 4 +c
2−2c，c
2−2c−3=0，解得c =3或c =−1（舍去）
故c =3.
因为b<a，所以B< A =π
3 ，所以cosB =√1−sin
2B = 2√7
7
，
所以sin 2B =2sinBcosB =2× √21
7 × 2√7
7
= 4√3
7
，
cos2B =1−2sin
2B =1−2×(
√21
7 )
2
= 1
7 ，
所以sin (2B+ A)=sin 2BcosA +cos2BsinA = 4√3
7
× 1
2 + 1
7 × √3
2 = 5√3
14 .
24．在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c , A为锐角，asin B = √3
2 b.
(1)求角A；
(2)若D为BC边上一点，且满足AD =CD =2BD，试判断△ABC的形状.
【答案】(1)π
3
(2)△ABC为直角三角形
【分析】（1）利用正弦定理边化角，分析运算即可；
（2）设∠ACD =θ，用θ表示其他角，并结合正弦定理建立关系，利用三角恒等变换运算求解即可.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理有：sinA⋅sinB= √3
2 sinB，
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因为sinB≠0，所以sinA= √3
2 ，
又因为A 为锐角，即A =π
3 .
（2）设∠ACD =θ，
在△ACD中，AD =CD，则∠CAD =θ，
可得∠BAD =π
3 −θ ,∠ABC = 2π
3 −θ，
在△ABD中，由正弦定理有：
BD
sin(
π
3 −θ)
=
AD
sin(
2π
3 −θ)
，
又因为AD =2BD，所以2sin(
π
3 −θ)=sin(
2π
3 −θ)，
则√3cosθ−sinθ = √3
2 cosθ+ 1
2 sinθ，化简得tanθ = √3
3 ，
因为θ∈(0,π
3 )，即θ =π
6 ，则∠ABC =π
2 ，
所以△ABC为直角三角形.
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
2(1+cos A)=2bcsin
2 A．
(1)判断△ABC的形状；
(2)已知D为BC上一点，则当A = 2π
3 ，a=3√3，AD =√3时，D为BC的几等分点？
【答案】(1)等腰三角形
(2)D为BC的三等分点
【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变化计算即可；
（2）结合（1）的结论可得B =C =π
6 ，由余弦定理计算即可.
【详解】（1）由正弦定理得：sin
2 A (1+cosA)=2sinBsinC sin
2 A，
因为A ∈(0,π )，所以sinA ≠0，即1+cosA =2sinBsinC，
由A + B+C = π，则有1−cos(B+C)=2sinBsinC，
整理得1=cosBcosC + sinBsinC =cos(B−C)．
所以B−C =2kπ，
而B、C ∈(0,π )，则B =C，即△ABC为等腰三角形．
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（2）由（1）可得B =C =π
6 ．
由正弦定理可得b= sinB⋅
a
sinA = 1
2 × 3√3
√3
2
=3
，故b=c =3．
余弦定理可知：A D
2= A B
2+ B D
2−2× AB×BD×cosB，即B D
2−3√3 BD+6=0，
解之得BD =√3= 1
3 BC或BD =2√3= 2
3 BC，所以D为BC的三等分点．
26．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=sin B.
(1)证明：b≥ac；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=1，求asin B的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)( √5−1
2
,1)
【分析】（1）利用sinC≤1结合正弦定理角化边，即可证明结论；
（2）由正弦定理推得sinA=a
2，作CH ⊥AB于H，可得c =√1−a
4+a√1−a
2，利用锐角三角形性质推
出b
2+a
2>c
2，化简可得a
4+a
2−1>0，求得a
2> √5−1
2
，结合a
2<1，asinB =a
2即可求得答案.
【详解】（1）由于a= sinB，sinC≤1，故asinC ≤sinB ,∴ac≤b，
即b≥ac.
（2）由b=1, b
sinB =
a
sinA ,∴sinA =asinB =a
2，作CH ⊥AB于H，
则CH =bsinA =a
2<1,
于是c = AB = AH + BH =√1−a
4+a√1−a
2，
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在锐角△ABC中，cosC >0,故b
2+a
2>c
2,∴1+a
2>(1−a
2)(√1+a
2+a)
2，
∴1+a
2>(1−a
2)(2a√1+a
2+2a
2+1),∴a
3>(1−a
2)√1+a
2，
则a
6>(1−a
2)
2(1+a
2)=1−a
2−a
4+a
6，
故a
4+a
2−1>0，故a
2> √5−1
2
或a
2< −√5−1
2
（舍去），
又a
2<1，则asinB =a
2∈( √5−1
2
,1).
27．在△ABC 中，√3sin(B+π
6 )=−cos(B+π
6 )．
(1)求B 的值；
(2)给出以下三个条件：①a
2−b
2+c
2+3c =0；②a=√3，b=1；③S△ABC = 15√3
4
，若这三个条件中仅有
两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求sin A的值；
（ii）求∠ABC 的角平分线BD 的长．
【答案】(1)B = 2π
3
(2)正确条件为①③，（i）sinA = 3√3
14 ，（ii）BD = 15
8
【分析】（1）利用和角正弦公式可得2sin(B+π
3 )=0，结合三角形内角和性质即可求B 的值；
（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦
定理求sinA；
（ii）由角平分线性质求得∠ABD =π
3 ，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出sin ∠ADB，
再根据正弦定理求BD 的长．
【详解】（1）由题设√3sin(B+π
6 )+cos(B+π
6 )=2sin(B+π
3 )=0，
而π
3 <B+π
3 < 4 π
3 ，
36
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所以B+π
3 = π，故B = 2π
3 ；
（2）若①②正确，则c
2+3c +2=(c +1)(c +2)=0，得c =−1或c =−2，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则S△ABC = 1
2 absinC = 15√3
4
，可得sinC = 15
2 >1，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由2accosB =a
2+c
2−b
2，则c(3−a)=0，即a=3，
又S△ABC = 1
2 acsinB = 15√3
4
，可得c =5，
所以9−b
2+25+15=0，可得b=7，则a
sinA =
b
sinB = 14
√3，
故sinA = 3√3
14 ；
（ii）因为sinA = 3√3
14 且A ∈(0,π
3 )，得cosA =√1−sin
2 A = 13
14 ，
由BD平分∠ABC得∠ABD =π
3 ，
在△ABD中，sin ∠ADB =sin (∠ABD+ A)= √3
2 × 13
14 + 1
2 × 3√3
14 = 4√3
7
，
在△ABD中，由BD
sinA =
AB
sin ∠ADB ，得BD =
5× 3√3
14
4√3
7
= 15
8 ．
28．在锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且__________.在下列两个条件中选择一个补充在
横线上：①b=ccos A + 1
2 a；②sin
2C =sin
240
∘−sin 40
∘sin80
∘+sin
280
∘
(1)求出角C的大小；
(2)若角C的平分线交边AB于点D，且c =2，求|CD|的取值范围.
37
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【答案】(1)π
3
(2)(
4
3 ,√3]
【分析】（1）由选择的条件,结合正余弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C的大小；
（2）设|CD|=m，由三角形面积公式得m= √3ab
a+b ，再由余弦定理得m= 1
√3[(a+b)−
4
a+b]，构造函数，
利用单调性求取值范围.
【详解】（1）若选①b=ccosA + 1
2 a，由正弦定理边化角，
得sinB=sin( A +C)= sinAcosC + sinCcosA = sinCcosA + 1
2 sinA，
锐角△ABC中sinA>0，则cosC= 1
2，所以C =π
3 .
若选②sin
2C =sin
240
∘−sin 40
∘sin80
∘+sin
280
∘
余弦定理有c
2=a
2+b
2−2abcosC，由正弦定理边化角，
得sin
2C =sin
2 A +sin
2B−2sinAsinBcosC，
可取A = 40
∘,B =80
∘,C =60
∘，
则sin
260
∘=sin
240
∘−2sin 40
∘sin80
∘cos60
∘+sin
280
∘=sin
240
∘−sin 40
∘sin80
∘+sin
280
∘，
又sin
2C =sin
240
∘−sin 40
∘sin80
∘+sin
280
∘，则sin
2C =sin
260
∘，
故锐角△ABC中C =60
∘ ，即C =π
3 .
（2）由C =π
3 ，令|CD|=m，则S = 1
2 absinπ
3 = 1
2 amsinπ
6 + 1
2 bmsinπ
6 ，得m= √3ab
a+b ，
由余弦定理c
2= 4 =a
2+b
2−ab=(a+b)
2−3ab，得3ab=(a+b)
2−4，
所以m= 1
√3[(a+b)−
4
a+b]，
t =a+b=
c
sinC
(sinA+sinB)= 4
√3(sinA+sin(
2π
3 −A))
= 4(
√3
2 sinA + 1
2 cosA)= 4 sin(A +π
6 )，
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锐角△ABC中A ∈(
π
6 ,π
2 )，则sin(A +π
6 )∈(
√3
2 ,1]，∴t ∈(2√3,4]，
函数y =t −4
t 在(2√3,4]上单调递增，则t −4
t ∈(
4√3
3
,3]，
∴|CD|∈(
4
3 ,√3]
29．已知向量⃗m=(2√3cos x
2 ,−2sin x
2)，⃗n=(cos x
2 ,cos x
2)，函数y = f (x)=⃗m⋅⃗n.
(1)设θ∈[−π
2 ,π
2 ]，且f (θ)=√3+1，求θ的值；
(2)在△ABC中，AB =1，f (C)=√3+1，且△ABC的面积为√3
2 ，求sin A +sin B的值.
【答案】(1)−π
2 或π
6
(2)1+ √3
2
【分析】（1）化简得到f ( x)=2cos(x +π
6 )+√3，代入数据得到cos(θ+π
6 )= 1
2，得到
θ+π
6 =2kπ ±π
3 (k ∈Z )，根据范围得到答案.
（2）确定C =π
6 ，根据面积公式得到ab=2√3，根据余弦定理得到a
2+b
2=7，得到a+b=2+√3，再根
据正弦定理得到答案.
【详解】（1）f ( x)=2√3cos
2 x
2 −2sin x
2 cos x
2 =√3(1+cosx)−sinx =2cos(x +π
6 )+√3.
f (θ)=2cos(θ+π
6 )+√3=√3+1，得cos(θ+π
6 )= 1
2，
故θ+π
6 =2kπ ±π
3 (k ∈Z )，θ∈[−π
2 ,π
2 ]，故θ =−π
2 或π
6 .
（2）C ∈(0,π )， 由（1）知C =π
6 ，
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a,b，则S = √3
2 = 1
2 absinπ
6 ，故ab=2√3.
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由余弦定理得1=a
2+b
2−2abcosπ
6 =a
2+b
2−6，故a
2+b
2=7.
解得¿ 或¿，于是a+b=2+√3，
由正弦定理得 sinA
a
= sinB
b
= sinC
1
= 1
2，故sinA + sinB = 1
2 (a+b)=1+ √3
2 .
30．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且满足a−3b+6bsin
2 A + B
2
=0．
(1)求证：a+3bcosC =0；
(2)求tan A的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
4
【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，结合半角公式，
可得答案；
（2）利用正弦定理，三角函数内角性质以及同角三角函数的基本关系，整理出关于角B 的函数解析式，
利用基本不等式，可得答案.
【详解】（1）∵a−3b+6bsin
2 A + B
2
=0，
∴a−3b+6bsin
2π-C
2
=a−3b+6bcos
2 C
2 =0，
∴a−3b+6b⋅1+cosC
2
=0，
∴a+3bcosC =0．
（2）由（1）可得：sinA +3 sinBcosC =0，且C 为钝角，
即4 sinBcosC +cosBsinC =0，
即4tanB+tanC =0，tanC =−4 tanB，
tanA =−tan (B+C)=−tanB+tanC
1−tanBtanC =
3tanB
4 tan
2B+1
=
3
4tanB+
1
tanB
≤
3
2√4tanB×
1
tanB
= 3
4 ，
当且仅当4tanB =
1
tanB ，即tanB = 1
2时取等号．
故tanA的最大值为3
4 ．
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31．在①tan A + tan B+√3=√3 tan A tan B；②(c +a−b)(sinC −sin A +sin B)=asin B；
③√3c sin B =b(cosC +1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在
△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若△ABC的内切圆半径为√3
2 ,b= 4，求a−c．
【答案】(1)π
3
(2)−1
【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求
解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.
【详解】（1）选择①：由已知得tanA +tanB =√3(tanAtanB−1)，
所以tanC =−tan( A + B)=−tanA +tanB
1−tanAtanB =√3，
在△ABC中，C ∈(0,π )，所以C =π
3 ．
选择②：由已知及正弦定理得(c +a−b)(c−a+b)=ab，
所以a
2+b
2−c
2=ab，所以cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，
因为0<C <π，所以C =π
3 ．
选择③：由正弦定理可得√3 sinBsinC = sinB(cosC +1)，
又B∈(0,π )，所以sinB>0，则√3 sinC −cosC =1，
则2sin(C −π
6 )=1，故sin(C −π
6 )= 1
2．
又因为−π
6 <C −π
6 < 5 π
6 ，所以C −π
6 =π
6 ，
解得C =π
3 ．
（2）由余弦定理得c
2=a
2+b
2−ab=16+a
2−4 a，①
由等面积公式得1
2 (a+b+c)r = 1
2 absinC．
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即1
2 (a+b+c)× √3
2 = 1
2 ×4 a× √3
2 ．
整理得3a= 4 +c，②
联立①②，解得a= 5
2 ,c = 7
2，
所以a−c =−1．
32．设函数f (x)=2sin x cos(x−π
3 )−√3
2 ，若锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
△ABC 外接圆的半径为R，acos B−bcos A = R．
(1)若f ( A)=1，求B；
(2)求R−c
b
的取值范围．
【答案】(1)π
4
(2)(−1,0)
【分析】(1)先利用三角恒等变换化简f (x)，解出A = 5 π
12 ，再用正弦定理解三角形即可；
(2)先得出B∈(
π
6 ,π
3 )，再利用正弦定理将R−c
b
化为2sin(B−π
3 )，最后利用三角函数的性质得出范
围即可.
【详解】（1）由题意得f (x)=2sinx⋅(
1
2 cosx + √3
2 sinx)−√3
2 = sinx⋅cosx −√3
2 (1−2sin
2 x)
= 1
2 sin 2 x−√3
2 cos2 x =sin(2 x−π
3 )
f ( A)=1,∴sin(2 A −π
3 )=1,又0< A < π
2 ，所以2 A −π
3 = π
2 ，解得A = 5
12 π．
又根据正弦定理a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2 R，有a=2 RsinA，b=2 RsinB，c =2 RsinC，
由acosB−bcosA = R，有2 RsinAcosB−2 RsinBcosA = R，得sin ( A −B)= 1
2，
因为A，B∈(0,π
2 )，所以A −B∈(−π
2 ,π
2 )，
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∴A −B =π
6 ,∴B =π
4 ．
（2）由（1）知，A =π
6 + B，
所以C = π −( A + B)= 5 π
6 −2B，
因为¿，即¿，所以B∈(
π
6 ,π
3 )，
则R−c
b
= R−2 RsinC
2 RsinB
= 1−2sinC
2sinB
=
1−2sin(
5 π
6 −2B)
2sinB
= 1−cos2B−√3sin 2B
2sinB
= 2sin
2B−2√3 sinBcosB
2sinB
= sinB−√3cosB =2sin(B−π
3 )，
B∈(
π
6 ,π
3 )，有B−π
3 ∈(−π
6 ,0)，
所以2sin(B−π
3 )∈(−1,0)，
所以R−c
b
的取值范围为(−1,0)．
33．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①S = √3
4 (b
2+c
2−a
2)，其中S为△ABC的面积，②a+b
sinC =
c−b
sin A −sin B ，③√3sinC +cosC = c +b
a
．
在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．
(1)求角A；
(2)若D为边AB的中点，CD =2√3，求b+c的最大值．
【答案】(1)A =π
3
(2)4√7
【分析】（1）选①，利用余弦定理可得b
2+c
2−a
2=2bccosA，再结合面积公式S = 1
2 bcsinA，可得
tanA =√3，进而求解；
选②，由a+b
sinC =
c−b
sinA −sinB 结合正弦定理可得b
2+c
2−a
2=bc，再结合余弦定理可得cosA = 1
2，进而求
解；
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选③，由√3 sinC +cosC = c +b
a
结合正弦定理可得√3 sinCsinA +cosCsinA = sinC + sinB，进而得到
2sin(A −π
6 )=1，进而求解.
（2）在△ACD中，设∠ADC =θ，由正弦定理可得AC = 4 sinθ，AD = 4 sin(
2π
3 −θ)，进而得到
b+c =8 sinθ+ 4√3cosθ = 4√7sin (θ+φ)，进而求解.
【详解】（1）选①，由余弦定理得：b
2+c
2−a
2=2bccosA，
又S = 1
2 bcsinA，所以1
2 bcsinA = √3
4 ×2bccosA，
得tanA =√3，
因为0< A <π，所以A =π
3 ．
选②，因为a+b
sinC =
c−b
sinA −sinB ，由正弦定理得：a+b
c
= c−b
a−b，
整理得：b
2+c
2−a
2=bc，
由余弦定理得：cosA = b
2+c
2−a
2
2bc
= 1
2，
因为0< A <π，所以A =π
3 ．
选③，因为√3 sinC +cosC = c +b
a
，由正弦定理得：√3 sinC +cosC = sinC + sinB
sinA
，
即√3 sinCsinA +cosCsinA = sinC + sinB，
又因为A +C = π −B，
所以sinB =sin ( A +C)= sinAcosC + sinCcosA，
所以√3 sinCsinA −sinCcosA = sinC，
因为0<C <π，所以sinC ≠0，
所以√3 sinA −cosA =2sin(A −π
6 )=1，
因为0< A <π，所以−π
6 < A −π
6 < 5
6 π，
所以A −π
6 =π
6 ，即A =π
3 ．
（2）在△ACD中，设∠ADC =θ，
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由正弦定理得
AC
sinθ =
AD
sin(
2π
3 −θ)
= 2√3
√3
2
= 4
，
所以AC = 4 sinθ，AD = 4 sin(
2π
3 −θ)，
∴b+c = 4 sinθ+8sin(
2π
3 −θ)=8 sinθ+ 4√3cosθ = 4√7sin (θ+φ)≤4√7，其中tanφ = √3
2 ，
当θ+φ=π
2 时取等号，所以b+c的最大值是4√7．
34．在△ABC中，D是边BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍.
(1)如图1，若∠BAC =120
°，且| AD|=1，求△ACD的面积；
(2)如图2，若点E在边AB 上，且|BC |=√3| AC |，| AE|= √3−1
2
| AB|，求tan∠BCE的值.
【答案】(1)3√3
8
(2)1
【分析】（1）由条件，结合三角形面积公式，得|AB|=2|AC|，并结合三角形面积的关系，列式求|AC|，
即可求△ACD的面积；
（2）首先根据边的关系，结合勾股定理，判断∠ACB为直角，在△ACE和△BCE中，根据正弦定理，求
∠BCE，即可求解.
【详解】（1）因为△ABD的面积是△ACD的面积的两倍，∠BAC =120
∘，且|AD|=1，AD平分∠BAC.
所以S△ABD= 1
2|AD|⋅|AB|⋅√3
2 =2S△ACD=2⋅1
2|AD|⋅|AC|⋅√3
2 ，所以|AB|=2|AC|，
又因为S△ABC =3 S△ACD=3⋅1
2|AD|⋅|AC|⋅√3
2 = 3√3
4 |AC|= 1
2|AB|⋅|AC|⋅√3
2 = √3
4 ⋅2| AC |
2，
所以|AC|= 3
2，所以S△ACD= 1
2|AC||AD|⋅√3
2 = 3
2 × √3
4 = 3√3
8
，
所以△ACD的面积为3√3
8
；
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（2）由（1）知|AB|=2|AC|.设|AC|=b，则|AB|=2b，
又因为|BC|=√3|AC|=√3b，
|AC |
2+|BC |
2=b
2+3b
2= 4 b
2=| AB|
2，
所以△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
在△ACE中，由正弦定理可得
b
sin∠AEC =
AE
sin∠ACE = (√3−1)b
sin∠ACE
在△BCE中，由正弦定理可得
√3b
sin∠BEC =
BE
sin∠BCE = 2b−(√3−1)b
sin∠BCE
= (3−√3)b
sin∠BCE
，
因为sin∠AEC=sin∠BEC，所以sin∠ACE=sin∠BCE，
又因为∠ACE，∠BCE均为锐角，
所以∠ACE =∠BCE =π
4 ，所以tan∠BCE的值为1.
35．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=2，bsin A +2√3cos B =√3c．
(1)求A；
(2)设C =π
12，D 为边BC 上一点，且∠BAD =∠CAD，求AD．
参考数据：sin 7π
12 = √6+√2
4
，sinπ
12 = √6−√2
4
．
【答案】(1)A =π
3
(2)√6
3
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理将C用A ,B表示，结合两角和的正弦公
式化简即可得解；
（2）法一：先利用等面积法将AD用b,c表示，再在△ABC中，由正弦定理求得b,c，代入化简即可得解.
法二：在△ABD和△ACD中，分别利用正弦定理求出BD ,CD，再根据BD+CD =2即可得解.
【详解】（1）因为a=2，所以bsinA +√3acosB =√3c，
所以由正弦定理得sinBsinA +√3 sinAcosB =√3 sinC，
又sinC =sin( A + B)= sinAcosB+cosAsinB，所以√3cosAsinB = sinAsinB，
因为0<B<π，所以sinB>0，所以√3cosA = sinA，即tanA =√3，
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又0< A <π，所以A =π
3 ；
（2）法一：由题意，得1
2 b× ADsin∠CAD + 1
2 c× ADsin∠BAD = 1
2 bcsin∠BAC，
结合∠BAC =π
3 ，∠BAD =∠CAD =π
6 ，解得AD = √3bc
b+c ，
在△ABC中，由正弦定理得b
sinB =
c
sinC =
a
sin ∠BAC = 4
√3，
则b= 4 sinB
√3
，c = 4 sinC
√3
，
从而AD = √3bc
b+c = 4 sinBsinC
sinB+ sinC =
4 sin 7 π
12 sin π
12
sin 7 π
12 +sin π
12
=
4× √6+√2
4
× √6−√2
4
√6+√2
4
+ √6−√2
4
= √6
3 ．
法二：由题意，得∠BAD =∠CAD =π
6 ，又C =π
12，所以B = 7 π
12 ，
在△ABD中，由正弦定理，得AD
sinB =
BD
sin ∠BAD ，
则BD = ADsin∠BAD
sinB
=
ADsinπ
6
sin 7 π
12
=
AD
2sin 7 π
12
，
在△ACD中，由正弦定理得AD
sinC =
CD
sin ∠CAD ，
则CD = ADsin∠CAD
sinC
=
AD
2sinπ
12
，
由BD +CD =2，得
AD
2sin 7 π
12
+
AD
2sinπ
12
=2
，
解得AD =
4 sin 7 π
12 sinπ
12
sin 7 π
12 +sinπ
12
=
4× √6+√2
4
× √6−√2
4
√6+√2
4
+ √6−√2
4
= √6
3 ．
36．在锐角三角形ABC中，sin A −sin ∠ACB = sin
2B−sin
2∠ACB
sin (∠B+∠ACB) ，AB =1．
(1)求∠B．
(2)求AB边上的高的取值范围．
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【答案】(1)∠B =π
3
(2)(
√3
4 ,√3)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设AB边上的高为h，则h=asinB，再利用正弦定理及三角函数求出a的范围，即可得解，注意三角形
为锐角三角形.
【详解】（1）设△ABC的内角∠A，∠B，∠ACB的对边分别为a，b，c，
因为sin (∠B+∠ACB)=sin (π-A)= sinA，sinA −sin ∠ACB = sin
2B−sin
2∠ACB
sin (∠B+∠ACB) ，
所以sinA (sinA −sin∠ACB)=sin
2B−sin
2∠ACB，
由正弦定理，得a(a−c)=b
2−c
2，整理得a
2+c
2−b
2=ac，
由余弦定理得cosB = a
2+c
2−b
2
2ac
= ac
2ac = 1
2，
又∠B∈(0,π
2 )，所以∠B =π
3 ；
（2）设AB边上的高为h，则h=asinB =asin π
3 = √3
2 a，
由正弦定理，得a=
csinA
sin ∠ACB =
sin(
2π
3 −∠ACB)
sin ∠ACB
=
√3
2tan ∠ACB + 1
2
，
由△ABC为锐角三角形，
得¿，得π
6 <∠ACB< π
2 ，则tan ∠ACB> √3
3 ，
所以a=
√3
2tan ∠ACB + 1
2 ∈(
1
2 ,2)，从而√3
4 <h<√3，
故AB边上的高的取值范围是(
√3
4 ,√3)．
37．已知在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，且
a
√3cos A =
c
sinC
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围．
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【答案】(1)π
3
(2)(6,12]
【分析】（1）根据正弦定理即可得tanA =√3，可求得A =π
3 ；
（2）利用正弦定理计算得b= 4√3 sinB ,c = 4√3 sinC，再由三角形内角和可知C =2π
3 −B，根据辅助角
公式整理得b+c =12sin(B+π
6 )，根据三角函数单调性和值域即可得b+c∈(6，12].
【详解】（1）根据
a
√3cosA =
c
sinC ，由正弦定理得
sinA
√3cosA = sinC
sinC ，
整理得sinA =√3cosA，即tanA =√3，
又A ∈(0,π )，所以A =π
3 ；
即A 的大小为π
3 .
（2）因为
a
sinA =
c
sinC =
b
sinB = 6
√3
2
= 4√3
,
所以b= 4√3 sinB ,c = 4√3 sinC，又A + B+C = π，所以C =2π
3 −B；
所以b+c = 4√3 sinB+ 4√3 sinC = 4√3[sinB+sin(
2
3 π-B)]
= 4√3(sinB+cosBsin 2
3 π-sinBcos 2
3 π)
= 4√3(
3
2 sinB+ √3
2 cosB)
=12sin(B+π
6 )
又因为0<B<2π
3 ，
则π
6 <B+π
6 <5π
6 ，所以1
2 <sin(B+π
6 )≤1（当且仅当B =π
3 时，等号成立），
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可得b+c =12sin(B+π
6 )∈(6，12]，
即b+c的取值范围是(6,12]
38．已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2c−a
b
+cosC = tan BsinC．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC面积S的最大值．
【答案】(1)B =π
3
(2)√3
【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B
的值；
（2）利用余弦定理可求出ac的最大值，再利用三角形的面积公式可求得S的最大值.
【详解】（1）解：因为2c−a
b
+cosC =tanBsinC = sinCsinB
cosB
，
所以，2c−a
b
= sinBsinC
cosB
−cosC = sinBsinC −cosBcosC
cosB
=−cosBcosC −sinBsinC
cosB
=−cos(B+C)
cosB
=−cos (π-A)
cosB
= cosA
cosB ，且cosB≠0，
由正弦定理可得2sinC −sinA
sinB
= cosA
cosB ，
即2sinCcosB = sinAcosB+cosAsinB =sin ( A + B)= sinC，
因为C ∈(0,π )，则sinC >0，则cosB = 1
2，
又因为B∈(0,π
2 )∪(
π
2 ,π)，故B =π
3
.
（2）解：由余弦定理b
2=a
2+c
2−2accosB，可得4 =a
2+c
2−ac≥2ac−ac =ac.
当且仅当a=c时取得等号，所以ac≤4.
所以，△ABC面积S = 1
2 acsinB = √3
4 ac≤√3，
所以，△ABC面积S的最大值为√3．
39．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
√3a
1+cos A =
c
sinC .
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(1)求角A 的大小；
(2)若a=√3，c−b= √6−√2
2
，求△ABC的面积.
【答案】(1)π
3
(2)3+√3
4
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换即可得角A 的大小；
（2）由余弦定理可得bc的值，结合面积公式即可得面积.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理得：a
sinA =
c
sinC .
又√3a
1+cosA =
c
sinC ，所以，√3a
1+cosA =
a
sinA .
所以，√3 sinA =1+cosA，即√3 sinA −cosA =1，
即sin(A −π
6 )= 1
2，又A ∈(0,π )，所以A −π
6 ∈(−π
6 , 5 π
6 )，所以A −π
6 =π
6 ，即A =π
3 .
（2）由（1）及题意知△ABC中，a=√3，c−b= √6−√2
2
，A =π
3 .
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bccosA，即3=(c−b)
2+bc.
所以bc =1+√3，所以S△ABC = 1
2 bcsinA = 1
2 ×(1+√3)× √3
2 = 3+√3
4
.
40．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线BD 交AC 于点D．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求∠ABC的大小．
①2(bcosC −a)=c；②2a+c =√3bsin A +bcos A；③a+c cos∠ABC =bcosC −c．
(2)若AD =2CD，求
BD
AB+ BC 的取值范围．
【答案】(1)三个条件任选其一都有∠ABC = 2π
3
(2)(0, 4
9)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据∠ABC的取值范围求出其大小．
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（2）运用角平分线的条件求出AB
BC = AD
CD ，然后利用面积公式求出
BD
AB+ BC 的取值范围．
【详解】（1）选①，
因为2(bcosC −a)=c，所以a+ c
2 =bcosC．
由正弦定理得sin A + sinC
2
=sin ∠ABC cosC．
即sin(∠ABC +C )+ sinC
2
=sin ∠ABC cosC，
故sinC
2
+sinC cos∠ABC =0 ，
因为∠ABC ∈(0,π)，C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，
所以cos∠ABC =−1
2，所以∠ABC = 2π
3 ．
选②，
由2a+c =√3bsin A +bcos A及正弦定理，得
2sin A +sinC =√3sin ∠ABC sin A +sin ∠ABC cos A，
即2sin A +sin( A +∠ABC )=√3sin ∠ABC sin A +sin ∠ABC cos A，
2sin A +sin A cos∠ABC +cos A sin ∠ABC =√3sin ∠ABC sin A +sin ∠ABC cos A，
所以2sin A =√3sin ∠ABC sin A −sin A cos∠ABC．
因为A ∈(0,π)，所以sin A ≠0，
所以2=√3sin ∠ABC −cos∠ABC =2sin(∠ABC −π
6 )，即sin(∠ABC −π
6 )=1．
又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC −π
6 =π
2 ，所以∠ABC = 2π
3 ．
选③，
由a+c cos∠ABC =bcosC −c及正弦定理，得
sin A +sinC cos∠ABC =sin ∠ABC cosC −sinC，
sin(∠ABC +C )+sinC cos∠ABC =sin ∠ABC cosC +cos∠ABC sinC +sinC cos∠ABC
=sin∠ABC cosC −sinC
即2cos∠ABC sinC =−sinC．
因为C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，所以cos∠ABC =−1
2．
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又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC = 2π
3 ．
（2）因为BD 平分∠ABC，所以∠ABD =∠CBD，
在△ABD中，
AD
sin ∠ABD =
AB
sin ∠ADB ，即AD
AB = sin ∠ABD
sin ∠ADB ，
在△BCD中，
CD
sin ∠CBD =
BC
sin ∠BDC ，即CD
BC = sin ∠CBD
sin ∠BDC ，
因为∠ADB+∠BDC =π，所以sin ∠ADB =sin ∠BDC，
所以AD
AB = CD
BC ，所以AB
BC = AD
CD =2，故
BD
AB+ BC = BD
3 BC ．
因为S△ABC = 1
2 AB⋅BC ⋅sin∠ABC，S△ABD= 1
2 AB⋅BD⋅sin∠ABD，
S△ABD
S△ABC
= AD
AC = 2
3，
所以BD⋅sin ∠ABD
BC ⋅sin ∠ABC = 2
3，
又∠ABD = ∠ABC
2
，
所以BD
BC = 2sin ∠ABC
3sin ∠ABC
2
=
4 sin ∠ABC
2
cos ∠ABC
2
3sin ∠ABC
2
= 4
3 cos ∠ABC
2
．
又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC
2
∈(0,π
2 )，
所以cos ∠ABC
2
∈(0,1)，
所以BD
BC ∈(0, 4
3)，BD
3 BC ∈(0, 4
9)，
即
BD
AB+ BC 的取值范围为(0, 4
9)．
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