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2026 年秋季九年级开学学情自测卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：新教材北师大版九上第一、二、三章
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．下列方程是关于
的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在
中，若点
、
分别是
、
的中点，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．菱形的两条对角线长分别为
、
，则它的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，
与
位似，点
为位似中心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第2 题 第4 题 第6 题
5．已知矩形的两条邻边长是方程
的两个根，则矩形的周长是（ ）
A．10
B．12
C．20
D．24
6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为
的正方形按如图所示的方式摆放，
，
分别是
正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．如图，在
中，
，
，
，点E 在边
上，以
为对角线作
，则
的长度的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．6.5
D．10
8．如图，菱形
的边长为
，
，点
从点
出发，沿
匀速运动，终点为
，
设点
运动的路程为
，
的面积为
（不妨设当点
与点
或点
重合时，
），则
关于
的
函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在
中，
，
，
，
为边
上一动点，
于
，
于
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知关于x 的一元二次方程
的两根之差为2，则代数式
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．10
二、填空题（本大题有6 个小题，每小题3 分，共18 分）
11．若
，且面积比为
，则其对应边上的高的比为_______．
12．已知菱形的两条对角线的长分别为
和
，则菱形的面积为________
．
13．若
是一元二次方程
的两实数根
，则
的值是___________．
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14．如图，一块矩形纸片
，长
，宽
，将这块矩形纸片沿对角线
对折（折痕
与折叠后得到的图形用虚线表示），得到
，则
______．
第14 题 第15 题
15．如图，
中，
是
的延长线上一点，
与
交于点
，
．若
的面积为，
则
的面积为_______．
16．已知a，b 是一元二次方程
的两根，则
的值是 _____．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，
每题12 分；共9 小题，共72 分）
17．解方程
(1)
；
(2)
18．在
的网格图中，已知
和点
．
(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出
的位似图形
；
(2)写出
的各顶点坐标．
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19．如图，
是等腰三角形，
，点D、E 分别是
、
的中点，连接
并延长至点F，
使
，连接
、
、
．
(1)求证：四边形
是矩形；(2)若
，
，求矩形
的周长．
20．已知关于
的一元二次方程
有两个实数根．
(1)求实数
的取值范围；(2)若
，
是该方程的两个根，且满足
，求
的值．
21．如图，在
中，D 为
边一点，E 为
边中点，过C 作
交
的延长线于点F，延长
与
延长线交于点G．
(1)求证：
．(2)若
，求
的长．
22．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020 年有会员200 人，其中男、
女会员人数之比为
．
(1)求该健身俱乐部2020 年男、女会员各有多少名？
(2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k 人和（
）人递增，这样到2022 年该俱乐部
男、女人数之比将变为
．
①求k 的值；
2020
②
年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000 元和900 元，若每个男会员的年会费每年增加300
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元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022 年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到
2020 年全体男会员年会费总量的
．问2022 年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相
等？
23．如图1，在平行四边形
中，
，
，
，
，
相交于点
，且
，
，连接
．
(1)求
的长；
(2)求证：
；
(3)如图2，设
与
相交于点
，连接
，求
的长．
24．对于关于
的代数式
，若存在实数
，使得当
时，代数式的值等于
，则称
为这
个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式
，当
时，代数式的值等于
；当
时，代数式的值
等于，我们就称
和
都是这个代数式的“镜像值”．
(1)代数式
的镜像值是________；
(2)判断代数式
是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由；
(3)关于
的代数式
，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数
的值．
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25．如图，平面直角坐标系中，四边形
为矩形，点A，B 的坐标分别为
，
，动点M 从点O
出发，以每秒1 个单位的速度沿线段
向终点A 运动，同时点N 以相同速度从点B 出发，沿线段
向终
点C 运动，过点N 作
，交
于点P，连接
，设运动时间为t 秒．
(1)求直线
的解析式．
(2)用含t 的代数式表示P 的坐标 （直接写出答案）．
(3)是否存在t 的值，使以P，A，M 为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请
说明理由．
