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2026 年秋季八年级开学·学情自测卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：七下全册+八上第13 章三角形
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．（3 分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14
B．
C．
D．
2．（3 分）下列调查中，选用的调查方式合理的是（ ）
A．统计全班45 名学生的身高，选择抽样调查
B．检测同一批次一万架无人机的使用寿命，计划采用全面普查
C．了解全省中小学生的睡眠时间大致情况，打算采用全面普查
D．了解全市三万名14 周岁学生的身高大致情况，选用科学的抽样调查
3．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（3 分）等腰三角形周长为
，一边长为
，该等腰三角形的底边长为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
5．（3 分）如图，在
中，从顶点
引出三条线段
、
、
，其中：
是
边上的高，
是
角平分线，
是
边上的中线．下列说法错误的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（3 分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行
者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100 步，走路慢的人只
能走60 步．走路慢的人先走100 步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解
决此问题，设走路快的人走
步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了
步，则可列方程组
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）如图，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值
”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果
得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3 分）如图，在三角形纸片
中，
，
，点
在
上且
．若在
上找一
点
，将纸片沿
折叠，点
落在点
处，
恰好与三角形
的一边平行，则满足所有平行条件的
度数为（ ）
A．
或
B．
或
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C．
或
或
D．
或
或
10．（3 分）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为
格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：
．（其中
是三角形内部格点数目，
是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点
，
，
，三角形
的内部比
边上多个格点，求三角形
内部格点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．（3 分）
的负的平方根是______．
12．（3 分）非遗油纸伞的伞骨设计暗藏数学智慧，艺人通过伞骨的拼接，让伞柄、伞骨和支撑条共同形成了
如图的三角形结构．这其中蕴含的数学原理是_____．
13．（3 分）统计某班同学的身高（单位：
），得到的数据中，最小值是149，最大值是178，取组距为
5，可将数据分为_________组．
14．（3 分）在平面直角坐标系中，已知
，平移线段
至
（A 与C 对应），使得C，D 两
点都在坐标轴上，此时，C 点坐标为______．
15．（3 分）已知方程组：
的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：①
；②当
时，方程组的解也是方程
的解；③当
时，
；④若
，则
；其中正
确的是______（填写正确选项的番号）．
16．（3 分）如图，已知
，点
在
上，点
在
和
之间，点
在
下方，
；点
在
上，点
在
的延长线上，
．设
，则
的度数用
含
的式子表示为________．
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三、解答题：本题共8 小题，共72 分。其中：17-21 每题8 分，22-23 题每题10 分，24 题12 分。
17．（8 分）计算
(1)计算：
；
(2)解方程组：
．
18．（8 分）解不等式组
，并将它的解集在数轴上表示出来．
19．（8 分）如图，在
中，
．求
的度数．
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20．（8 分）如图是由边长为1 的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A，B，C 三
点都是格点，且
，
．请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图：
(1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点
的坐标 ；
(2)将三角形
平移，得到三角形
，其中三角形
内任意一点
平移后的对应点为
．
①在网格中画出三角形
（点
与
对应，点
与
对应）；
②如图，若线段
与一水平网格线交于点
，直接写出点
的坐标 ；画点
使
，且
．
21．（8 分）如图，已知点
、
在直线
上，点
在线段
上，
与
交于点
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
，求
的度数．
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22．（10 分）人工智能在中小学应用实践中正逐渐展现出其巨大的潜力和价值．为促进学生运用人工智能技
术获得更多学习机会和资源，某中学七年级举行了满分为100 分的“人工智能通识知识竞赛”．比赛结束
后，老师对学生成绩进行统计，分为A 等级（大于或等于80 分），B 等级（大于或等于70 分但小于80
分），C 等级（大于或等于60 分但小于70 分），D 等级（小于60 分），并随机抽取了
名参赛学生的成
绩作为样本，整理绘制成如下不完整的统计图表．
成绩等级
频数
A
20
B
32
C
a
D
b
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
(1)
_____，
_____，
_____，
_____；
(2)七年级共有1800 名学生参加比赛，请你估计成绩不低于60 分的学生人数．
(3)针对本次统计的结果，你对D 等级的同学提出至少一条合理化建议．
23．（10 分）【初步认识】
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(1)如图1，在
中，
平分
，
平分
，若
，则
_____；
_____；
【继续探索】
(2)如图2，
，
的平分线
，
相交于点
，若
，
，求
的度
数；
【拓展应用】
(3)如图3，在
中，
平分
，
平分
，
平分外角
，
平分外角
，延
长
，
交于点
．在
中，有一个内角为
，直接写出
的度数．
24．（12 分）某校为表彰在“书香校园活动”中的先进班集体，请一家公司制作活动的展板，宣传册和横
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幅．在沟通过程中获取如下信息：
信息：宣传册的数量（本）是展板（个）的倍；
信息
：制作个展板需小时，制作本宣传册需
分钟，制作个横幅需
分钟．制作三种产品共需
小
时；
信息：制作个展板可获利
元，制作本宣传册可获利元，制作个横幅可获利
元．该公司为该校本
次活动制作的三种产品共可获利
元．
解决问题：
(1)设学校准备制作展板的数量为
，制作横幅的数量为
，直接用含有
，
的式子表示制作三种产品的总
时间和制作三种产品的总利润；
(2)当
时，求制作三种产品的总件数．
(3)若该校制作的产品总件数不少于
，但又不超过
，试说明共有几种制作方案．
