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深圳市2026 年初中学业水平考试
数学
说明：全卷共6 页．考试时间90 分钟，满分100 分．答题前，请将姓名、考生号、考点、考
场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束
后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分，每小题有四个选项，其中只有一个
．．是
正确的）
1. 下列四个立体花瓶图形中，主视图与左视图不同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，对各选项中的立体图形进行分析
判断即可．
【详解】A、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意；
B、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意；
C、主视图能看到两侧的装饰物，左视图看到的是瓶身的侧面，轮廓宽度不同，故主视图与左视图不同，
符合题意；
D、主视图与左视图轮廓相同，故不符合题意．
2. 比赛用乒乓球的标准直径规定为
，允许误差为
．现随机抽取4 个乒乓球进行检测，测
得它们的直径（单位：
）如下，其中符合标准的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可
得到答案．
【详解】解：∵标准直径为
，允许误差为
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∴符合标准的直径
满足
即
选项A：
，不符合；
选项B：
，不符合；
选项C：
，符合标准；
选项D：
，不符合．
3. 孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．如图，在平面直角坐标系中，一孔
明灯初始位置为点
，若将该孔明灯向上平移
个单位长度，则平移后对应点
的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移中点的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减）求解即可．
【详解】解：∵孔明灯初始位置为点
，将该孔明灯向上平移
个单位长度，
∴平移后对应点
的坐标是
．
4. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：选项A：根据积的乘方法则，可得
，A 运算正确；
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选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，
B 运算错误；
选项C：根据完全平方公式，
，
C 运算错误；
选项D：根据二次根式性质
，
，
D 运算错误．
5. 如图，一个盛有水的水槽放置在斜坡
上，水槽外侧装有液体水平仪．已知水平仪中液面与水平面的
夹角为
，且
，
，
，则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长
交
的延长线于点F，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长
交
的延长线于点F，
∵
，
，
，
．
6. 如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离（单位：
）随时间
（单位：
）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（
）之差为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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【分析】先分别求出无人机去程速度和回程速度，再相减即可得出结果．
【详解】由图可得，无人机去程速度为：
，
无人机回程速度为：
，
∴根据图中信息，无人机在往返途中的速度之差为
．
7. 不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式
，得
；
解不等式
，得
；
则不等式组的解集为
，
解集在数轴上表示如下：
．
8. 在数学实践课上，老师将一副四巧板中的四块图形按如图1 所示摆放，再将这些图形重新拼接成如图2
所示的图形．已知拼接后点
，
为图2 中图形的顶点，则
的长为（ ）．
A. 2
B.
C. 3
D.
【答案】B
【解析】
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【分析】先根据图 1 给出的边长，确定四块四巧板各边的线段长度，再分析图2 中点
，
的距离．
【详解】解：等腰直角三角形①斜边为
，
由
以及边平行，得到存在一个平行四边形，
则直角梯形下底长与等腰直角三角形①斜边相等，
．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
9. 某班开展“说唱脸谱”主题实践活动，老师准备了“红脸”、“黄脸”、“白脸”、“蓝脸”、“黑脸”
五张脸谱卡片，这些卡片除颜色名称不同外其余完全相同．现从这五张卡片中随机抽取一张，则抽到“蓝
脸”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】∵从五张卡片中随机抽取张，所有等可能的结果共
种，其中抽到“蓝脸”的结果有种，
∴抽到“蓝脸”的概率为
．
10. 已知
，则
的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到
的值．
【详解】解：
，
，
即
，
移项得
，
等号两边都除以2 得
．
故答案为
．
11. 一天正午，太阳光与水平地面的夹角为
．身高为
的小明站在水平地面上，此时他的影长为
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________．（参考数据
，
，
）
【答案】
【解析】
【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为
水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长．
【详解】解：设此时小明的影长为
，
由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的
夹角为
，该角的对边为小明身高
，邻边为影长
，
根据正切的定义得
，将
代入得
，
解得
．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点
，
均在反比例函数
的图象上，且
，
则
的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点
，
在反比例函数图象上，用含
的代数式表示
，
，再根据
结合勾股定
理列出关于
的方程，求解即可．
【详解】解：
点
，
在反比例函数
的图象上，
，
，
，
，
∴
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解得
，
反比例函数图象在第一象限，
，
．
13. 如图，在菱形
中，点
为边
的中点，连接
，
．若
，且
，则
菱形
的边长为________．
【答案】
【解析】
【分析】设菱形的边长为
，根据中点定义和已知条件表示出
和
；过点
作
交
的延
长线于点
，过点
作
于点
，证明
，设
，利用勾股定理分
别表示出
和
，建立关于
和
的方程组，求解即可．
【详解】解：设菱形
的边长为
，
四边形
是菱形，
，
，
点
为边
的中点，
，
，
，
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过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于点
，如图，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
设
，
在
中，
，
在
中，∵
，
，
，
，
在
中，∵
，
，
，
∴
，
∴
，
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将
代入①得
，
即
，
解得
（负值舍去）．
三、解答题（本题共7 小题，共61 分）
14. 计算：
．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
15. 解二元一次方程组：
．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
，
由
得
，
将
代入①得
，
解得
，
∴方程组的解为
．
16. 深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分
别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50 人，各场馆参与
人数如下的条形统计图所示（图1）．
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（1）请根据图中信息，补全条形统计图；
（2）现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10
分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分．
对以上打分数据进行整理，得到如下统计表：
场馆
平均数
众数
中位数
频率（满意度
分）
方差
博物馆
科技馆
求表中的数据
，
；
（3）结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由．
【答案】（1）
（2）
；
（3）博物馆的体验更好，理由：
博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数，
所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）根据总人数减去其他场馆的人数求得植物园的人数，进而补全统计图，即可；
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（2）根据频率以及中位数的定义，结合折线统计图，即可求得
的值；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差等角度分析即可．
【小问1 详解】
解：植物园的人数为：
；
图略；
【小问2 详解】
解：博物馆的满意度
分的频率
，
科技馆的打分为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
从小到大排列为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
中位数
；
【小问3 详解】
略
17. 为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200 万元购
买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的2 倍，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5
万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生
设未知量
所列方程
小丽
设甲型机器人的数量
为
台
小亮
设每台甲型机器人的
价格为
万元
（请补充）
（1）请写出小亮所列的方程；
（2）若购买甲、乙两种型号的机器人共16 台，且总费用不超过420 万元，则最多可购买乙型机器人多少
台？
【答案】（1）
；
（2）最多可购买乙型机器人4 台
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【解析】
【分析】（1）根据“总价
单价
数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方
程；
（2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用
不超过420 万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果．
【小问1 详解】
解：∵设每台甲型机器人的价格为
万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵
万元，
∴每台乙型机器人的价格为
万元，
∵用200 万元购买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的
倍，
∴可得方程：
；
【小问2 详解】
解：由（1）得，
解得
，
经检验
是原方程的解，且符合题意，
则
，
∴每台甲型机器人25 万元，每台乙型机器人30 万元，
设购买乙型机器人
台，则购买甲型机器人
台，
根据题意得
，
解得
，
∵
是非负整数，
∴
的最大值为
，
答：最多可购买乙型机器人
台．
18. 如图，
是
的直径，点
是圆上一点，连接
并延长至点
，使得
．
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（1）求证
是
的切线；
（2）若
，
，求
的长；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图中作出点
关于直线
的对称点
（保留作图痕迹，不要求写出作
法）．
【答案】（1）
证明：∵
∴
∵
∴
∵
是
的直径，
∴
∴
∴
∴
，
∵
为半径，
∴
是
的切线；
（2）
（3）如图，点
即为所求
【解析】
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【分析】（1）由
结合已知条件得到
，然后根据圆周角定理得到
，
再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设
，则
，先对
运用勾股定理求解半径
，然后利用
，以及对
运用勾股定理求解即可．
（3）以点
为圆心，
为半径画弧与
交点即为点
．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：过点
作
于点
，则
设
，则
∵
，
∴
∴
解得
，
∴
，
，
∵
，
∴
∴
∴
∴
，
∴
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∴
．
【小问3 详解】
解：连接
，
由作图可得
，
则
，
再由垂径定理的推论可得
垂直平分
，
即可得到点
关于
对称．
19. 综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益
成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支
平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入
（单位：元）与当日充电汽车数量
（单位：辆）之间的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本
（单位：元）与充电汽车数量
之间满足：
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
（1）根据上表数据，求
与
的函数关系式，并计算当
时，该充电站的收入为多少元？
（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时
的值，并写出该充电站收入
与
的新关系式；
【模型应用】
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（3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为
，成本关系
保持不变．已知当汽车数量为80 辆时，净收益（净收益
收入
成本）取得最大值，请写出符合条件的
值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，
后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【答案】（1）
与
的函数关系式为
，当
时，该充电站的收入为
元
（2）
的值为
或
，收入
与
的新关系式为
（3）
，理由如下：
设净收益为W，
∴
，
，
二次函数图象开口向下，
∴当
时
取得最大值，
由题意得，
时净收益最大，
∴
解得
．
【解析】
【分析】
（1）观察表格数据可判断
是
的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入
计算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结
合顶点横坐标为80 即可求出
的值．
【小问1 详解】
解：由表格数据可知
与
成正比例关系，设
，
将
，
代入得
，
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∴
与
的函数关系式为
，
当
时，
（元）；
【小问2 详解】
解：收支平衡满足
，
∴
解得
，
，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入
与
的新关系式为
；
【小问3 详解】
略
20. 综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为
，则称该四边形为“
倍四边形”．
（1）①如图1，在
中，对角线
与
交于点
，点
为
中点．若四边形
为
倍
四边形，则
的值为__________；
②如图2，在
倍四边形
中，若对角线
被
平分，则
__________；（用含
的代数式
表示）
（2）如图3，四边形
为
倍四边形，其对角线
平分对角线
，且满足
，
，求
的值；
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（3）如图4，已知定点
，
，且
，点
为射线
上一动点，点
为平面内一点，连接
，
，
，
构成四边形
．若
平分
，
，四边形
为2 倍四边
形，求
的值．
【答案】（1）①
；②
（2）
（3）
或
【解析】
【分析】
（1）①根据平行四边形的性质可得
，根据点
为
中点，得出
，
结合
倍四边形的定义，即可求解；
②过点
分别作
的垂线，垂足分别为
，证明
得出
，进而根据三
角形的面积比，即可求解；
（2）过点
作
交
于点
，证明
得出
，设
，进
而表示出
的长，即可求解；
（3）设
交于点
，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
；分两种情况讨论，当
时，设
，证明
得出
，设
，则
，证明
得出
，进而求得
的值，勾股定理求得
，进而根据正切的定义，即可
求解；当
时，同理可得结论．
【小问1 详解】
解：①∵四边形
是平行四边形，
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∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
∵四边形
为
倍四边形，
∴
；
②如图，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
，
∵四边形
为
倍四边形，对角线
被
平分，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∴
，
【小问2 详解】
解：如图，过点
作
交
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
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又∵
，
∴
，
∴
，
∵四边形
为
倍四边形，其对角线
平分对角线
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
设
，
∴
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
【小问3 详解】
解：设
交于点
，过点
分别作
的垂线，垂足分别为
①当
时，设
，如图4，
∵
，
平分
，
∴
，
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∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
，
∴
，
在
中，
，
∴
；
②当
时，设
，如图4，
同①可得
，
，
∴
，
同①可得
，
∴
，
设
，则
，
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∴
，
，
∵
，即
，
解得：
，
∴
,
，
在
中，
，
∴
，
综上所述，
的值为
或
．
