第1页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
数学试题
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
1. 福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为01
∶，丙队与丁
队的比赛结果为2 0
∶．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作−1 ，则丙队的净胜球数应记作（ ）
A.
2
−
B. −1
C.
1
+
D.
2
+
【答案】D
【解析】
【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数= 进球数−失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计
算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案．
【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数= 进球数−失球数，
∵甲队与乙队的比赛结果为01
∶，即甲队进球数为0 ，失球数为1，
∴甲队的净胜球数为0 1
1
−= −，记作−1 ，
∵丙队与丁队的比赛结果为2 0
∶，即丙队进球数为2 ， 失球数为0 ，
∴丙队净胜球数为2 0
2
−
= + ，即丙队的净胜球数应记作2
+ ．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先明确两个概念，轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对
称图形：绕图形中心旋转180后，能和原图形完全重合的图形．逐个分析选项判断是否符合这两个概念即
可．
【详解】选项A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符
合要求．
选项B：是轴对称图形，旋转180后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
第2页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
选项C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转180后和原图形完全重合，
是中心对称图形，符合要求．
选项D：是轴对称图形，旋转180后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
3. 2026 年5 月24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行
速度接近地球第一宇宙速度7900 米/秒．数据7900 用科学记数法表示为（ ）
A.
4
0.79 10
B.
3
7.9 10
C.
2
7.9 10
D.
2
79 10
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据科学记数法的定义，对7900 进行改写，要满足1
10
a
，可得
7.9
a =
，
∵7900 变为7.9 ，小数点向左移动了3位，
∴
3
n =
，
因此7900 用科学记数法表示为
3
7.9 10
4. 福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期．土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西
南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念．图1 是福建众多土楼中的一座圆形土楼．图2 为其示
意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图相同
B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同
D. 三种视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图（从物体的正面向后方投影得到的视图）、左视图（从物体的左侧方向右方投影得到的
视图）、俯视图（从物体的上方向下方投影得到的视图）的定义，分析从三面看的几何特征，将其对比即可
求出答案．
【详解】解：∵ 主视图和左视图是相同的图形，俯视图是两个同心圆即圆环．
∴ A 正确，B、C、D 项错误．
第3页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
5. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
0
a
b
+
B.
0
a
b
−
C.
0
ab
D.
0
a
b
【答案】D
【解析】
【分析】先利用数轴确定a、b 的取值范围，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得：
1
0
1
b
a
−
，
∴
0
a
b
+
，
0
a
b
−
，
0
ab
，
0
a
b
，
∴选项A、B、C 说法错误；选项D 说法正确．
6. 下列各点中，在函数
1
y
x
=
图象上的点是（ ）
A. (
)
1,1
B. (
)
1,2
C. (
)
2,1
D. (
)
2,2
【答案】A
【解析】
【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式
1
y
x
=
，将各选项点的横坐标代入解析式，
计算对应的y 值，和点的纵坐标对比即可得出结论．
【详解】解：对于函数
1
y
x
=
A、∵ 当
1
x =
时，
1
1
1
y =
= ，
∴ 点(
)
1,1 在函数
1
y
x
=
的图象上，此选项符合题意；
B、∵ 当
1
x =
时，
1
1
2
1
y =
=
，
∴ 点(
)
1,2 不在函数
1
y
x
=
的图象上，此选项不符合题意；
C、∵ 当
2
x =
时，
1
1
2
y =
，
∴ 点(
)
2,1 不在函数
1
y
x
=
的图象上，此选项不符合题意；
D、∵ 当
2
x =
时，
1
2
2
y =
，
∴ 点(
)
2,2 不在函数
1
y
x
=
的图象上，此选项不符合题意．
7. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已
第4页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
知秋千的绳索长𝑂𝐴= 6 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，𝑂𝐴 与地面BD
垂直，踏板离地面的高度
1
AB = 尺．当踏板从A处绕点𝑂 运动到C 处时，踏板离地面的高度
4
CD =
尺，
则秋千的绳索荡过的
AOC
的大小为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60°
D. 75
【答案】C
【解析】
【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段OE 的长度，再结合秋千绳索长度得到
斜边𝑂𝐶 ，最后根据余弦函数值求出
AOC
的度数．
【详解】解：如图，过点C 作CE
OB
⊥
，
由题意OA
BD
⊥
，CD
BD
⊥
，
∴ 四边形EBDC 是矩形，
4
EB
CD
=
=
尺，
6 1
7
OB
OA
AB
=
+
= + =
尺，
7
4
3
OE
OB
EB
−
=
=
−
=
尺，
6
OC
OA
=
=
尺，
在Rt OCE
中：
3
1
cos
6
2
OE
AOC
OC
=
=
=
，
60
AOC
=
．
8. 为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8 个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图
所示．这8 个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（ ）
第5页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
A. 7，7
B. 7，7.5
C. 7.5，7
D. 7.5，7.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据条形统计图的数据分析，按照中位数和平均数的定义求解即可．
【详解】解：由8 个班级分别制作了若干张宣传图片，
∴中位数为第4、5 个班级的图片数，
从小到大排列后：第4、5 个班级的图片数为6,8 ，
∴中位数为：6
8
7
2
+
=
；
平均数为：4 6
2 8
2 10
7.5
8
+ +
=
．
9. 如图，𝐴𝐵 是
O
的直径，BC 是
O
的切线，𝐴𝐶 交
O
于点D．若AD
CD
=
，则tanA 的值是
（ ）
A.
2
2
B. 1
C.
2
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD ，根据切线的性质得出
90
ABC
=
，再由直角三角形斜边中线的性质确定
AD
BD
CD
=
=
，利用圆周角定理得出
90
ADB
=
，得出
45
A
ABD
=
=
，再由正切函数即可求解．
【详解】解：连接BD，如图所示：
第6页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
∵BC 是
O
的切线，
∴
90
ABC
=
，
∵AD
CD
=
，
∴点D 为𝐴𝐶 的中点，
∴AD
BD
CD
=
=
，
∵𝐴𝐵 是
O
的直径，
∴
90
ADB
=
，
∴
45
A
ABD
=
=
，
∴tan
1
A = ．
10. 已知抛物线
2
2
y
x
nx
=
−
经过点(
)
3,
A
a ，(
)
5,
B
b ．若a
b
，且
0
ab
，则𝑛 的取值可以是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先将A、 B 两点横坐标代入抛物线解析式，得到,a b 关于n 的表达式，再结合a
b
和
0
ab
的条件列不等式，求出n 的取值范围，即可判断符合条件的选项．
【详解】解：∵ 抛物线
2
2
y
x
nx
=
−
经过点(
)
3,
A
a ，(
)
5,
B
b ，
∴将
3
x =
代入解析式得
23
2
3
9
6
a
n
n
=
−
=
−
，
将
5
x =
代入解析式得
2
5
2
5
25 10
b
n
n
=
−
=
−
，
∵a
b
， 且
0
ab
，
∴
0
a
b
，
∴ 9
6
0
25 10
0
n
n
−
−
解得1.5
2.5
n
观察选项，只有
2
n =
符合该范围．
第7页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
二、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
11. 一组数据9，8，5，2，1，1 的众数是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，据此求解即可．
【详解】解：在数据9，8 ，5 ，2 ，1，1中，1出现的次数最多，
因此这组数据的众数是1．
12. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在𝐴𝐵 外选择一点C，连接𝐴𝐶 和BC ，分别取𝐴𝐶 和BC 的中点M，N，
测得
100
MN =
米，则A，B 两点间的距离是____________米．
【答案】200
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到
2
AB
MN
=
即可得出答案．
【详解】解：点M，N 分别是𝐴𝐶 和BC 的中点，
∴𝑀𝑁 是ABC
的中位线，
∵
100
MN =
米，
∴
2
200
AB
MN
=
=
（米）．
13. 因式分解：
2
2
x
y
−
= __________．
【答案】(
)(
)
x
y
x
y
+
−
【解析】
【详解】解：
(
)(
)
2
2
x
y
x
y
x
y
−
−
=
+
．
14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中
90
B
DFC
=
=
，
30
BAE
=
，
45
CDF
=
，四边形ABCD 恰好为矩形，点E，F 分别在BC ，AE 上，则
AFD
等于____________
度．
第8页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】75
【解析】
【分析】根据矩形性质可得
90
BAD
ADC
=
=
，进而求出
FAD
，
FDA
，再根据三角形内角和求
出
180
75
AFD
FAD
FDA
−
−
=
=
．
【详解】解：∵，四边形ABCD为矩形，
∴
90
BAD
ADC
=
=
，
又∵
30
BAE
=
，
45
CDF
=
，
∴
90
60
FAD
BAE
−
=
=
，
90
45
FDA
CDF
−
=
=
，
∴
180
75
AFD
FAD
FDA
−
−
=
=
.
15. 已知实数p ，q 满足1
1
1
p
q
+
= ，则(
)(
)
1
1
p
q
−
−
的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】对1
1
1
p
q
+
= 进行变形得到p
q
pq
+
=
，再对代数式进行变形，代入计算即可．
【详解】解：∵1
1
1
p
q
+
= ，
∴
1
p
q
pq
+
= ，
∴pq
p
q
=
+
，
∴ (
)(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
p
q
pq
p
q
pq
p
q
pq
pq
−
−
−
−
=
+ =
−
+
+ =
−
+ =
．
16. 由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的19
20
和9
10
．一件重80 克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的15
16
，若实心的纯金和纯
第9页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的19
20
和9
10
计算，则这件金银饰品中含金____________克．
【答案】60
【解析】
【分析】设这件金银饰品中含金𝑥 克，则含银(
)
80
x
−
克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示
数与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这件金银饰品中含金𝑥 克，则含银(
)
80
x
−
克，
根据题意列方程得：
(
)
19
9
15
80
80
20
10
16
x
x
+
−
=
去括号，得19
9
72
75
20
10
x
x
+
−
=
移项合并同类项，得1
3
20 x =
系数化为1，得
60
x =
．
三、解答题：本题共9 小题，共86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
2
4
3
2
+ −−
．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算算术平方根、绝对值、乘方，再进行加减运算即可．
【详解】解：
2
4
3
2
+ −−
2 3 4
=
+ −
1
= ．
18. 如图，ABC
是等边三角形，BD
BC
⊥
，CE
BC
⊥
，BD
CE
=
．求证：AD
AE
=
．
【答案】证明：
BD
BC
⊥
，CE
BC
⊥
，
90
CBD
BCE
=
=
．
ABC
是等边三角形，
AB
AC
=
，
60
ABC
ACB
=
=
．
第10页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
150
ABD
ACE
=
=
．
在ABD
和ACE
中，
,
,
,
AB
AC
ABD
ACE
BD
CE
=
=
=
(
)
ABD
ACE SAS
≌
．
AD
AE
=
．
【解析】
【分析】先根据BD
BC
⊥
、CE
BC
⊥
的垂直条件，得到
90
CBD
BCE
=
=
．结合等边三角形的性质，
得到AB
AC
=
，
60
ABC
ACB
=
=
．推导
ABD
与
ACE
的大小关系，判断二者是否相等．因为已
知BD
CE
=
，可通过SAS 判定ABD
和ACE
全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证
AD
AE
=
．
【详解】略
19. 解不等式组：
(
)
2
1
3
5
2
1
x
x
x
−
−
+
①
②
【答案】3
7
x
【解析】
【详解】解：
(
)
2
1
3
5
2
1
x
x
x
−
−
+
①
②
解不等式①，得
3
x
，
解不等式②，得
7
x
，
所以原不等式组的解集为3
7
x
．
20. 如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点𝐸 在AD 的延长线上．
（1）求作点𝐹 ，使点𝐹 在AD边上，且
2
AFB
EBC
=
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
（2）在（1）的条件下，若
4
AB =
，
6
BC =
，
2
DE =
，求AF 的长．
第11页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）如图，点𝐹 即为所求．
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用尺规作图作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD的交点即为所求作的点𝐹 ；
（2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得BF
EF
=
，即可求得AE 的长；设AF
x
=
，则
8
BF
EF
x
−
=
=
，在Rt ABF
中，利用勾股定理列方程求解即可．
【小问1 详解】
解：作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD的交点即为所求作的点𝐹 ；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
，
∴
AFB
FBC
=
，
∵
2
FBC
FBE
EBC
EBC
=
+
=
，
∴
2
AFB
EBC
=
，即点𝐹 即为所求．
【小问2 详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
6
BC =
，
AD
BC
，
6
AD
BC
=
=
．
E
EBC
=
，
FBE
EBC
=
，
FBE
E
=
，
BF
EF
=
．
2
DE =
，
8
AE
AD
DE
=
+
=
，
设AF
x
=
，则
8
BF
EF
AE
AF
x
−
=
=
−
=
，
在Rt ABF
中，∠𝐴= 90° ，
4
AB =
，
由勾股定理得
2
2
2
AF
AB
BF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
−
+
=
，解得
3
x =
，
第12页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
即
3
AF =
．
21. 一个不透明的盒子中有1 个标号为0 的黄球
0a ，2 个标号分别为1，2 的红球
1b ，2b ，1 个标号为3 的白
球
3c ，这些球除颜色和标号外无其他差别．
（1）从盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黄球的概率；
（2）从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球．求摸出的2 个球颜色不同且标号之和小
于4 的概率．
【答案】（1）1
4
（2）1
2
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1 详解】
解：从盒子中随机摸出1 个球共有4 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球（记为
事件A）的结果有1 种，所以( )
1
4
P A =
；
【小问2 详解】
解：从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球，列表如下：
第二次
第一次
黄球
0a
红球
1b
红球
2b
白球
3c
黄球
0a
(
)
0
1
,
a b
(
)
0
2
,
a b
(
)
0
3
,
a c
红球
1b
(
)
1
0
,
b a
(
)
1
2
,
b b
(
)
1
3
,
b c
红球
2b
(
)
2
0
,
b a
(
)
2
1
,
b b
(
)
2
3
,
b c
白球
3c
(
)
3
0
,
c a
(
)
3
1
,
c b
(
)
3
2
,
c b
第13页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
共有12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2 个球的颜色不同且标号之和小于4（记为事
件𝐵 ）的结果共有6 种：(
)
0
1
,
a b
，(
)
0
2
,
a b
，(
)
0
3
,
a c
，(
)
1
0
,
b a
，(
)
2
0
,
b a
，(
)
3
0
,
c a
，所以( )
6
1
12
2
P B =
=
．
22. 如图，在四边形ABCD 中，𝐸 是𝐴𝐵 上的一点，
90
ADC
BCD
CED
=
=
=
，CE
DE
=
．四边
形A B CD
由四边形ABCD 沿𝐶𝐷 翻折得到，点A ，𝐵 ，𝐸 的对应点分别为𝐴′，B，E．𝐹 是AD 延
长线上的一点，且FE
AB
．
（1）求证：EA
EF
=
；
（2）若
2
AD =
，
4
DE =
，求AF
的长．
【答案】（1）证明：
FE
AB
，
180
A
F
+
=
．
∵四边形A B CD
由四边形ABCD 翻折得到，点𝐸 的对应点为E，
A
DAE
=
．
180
DA E
FA E
+
=
，
F
FAE
=
．
EA
EF
=
．
（2）2 2
【解析】
【分析】（1）利用平行和折叠的性质证明
F
FAE
=
，即可得出结论；
（2）根据CED
是等腰直角三角形可求
45
A DE
ADE
=
=
，过点E作E G
A F
⊥
，垂足为𝐺 ，再
解三角形即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：过点E作E G
A F
⊥
，垂足为𝐺 ．
第14页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
CE
DE
=
，
90
CED
=
，
45
EDC
ECD
=
=
．
90
ADC
=
，
45
ADE
=
．
∵四边形A B CD
由四边形ABCD 翻折得到，点𝐸 的对应点为E，
45
A DE
ADE
=
=
，
2
A D
AD
=
=
，
4
DE
DE
=
=
．
在Rt DE G
中，
cos
4cos45
2 2
DG
DE
E DG
=
=
=
，
2
A G
DG
A D
−
=
=
．
EA
EF
=
，E G
A F
⊥
，
2
2 2
A F
A G
=
=
．
23. 阅读下列材料，回答问题．
主
题
探究形如(
)
2
2a
b
+
的数的整数部分与小数部分的特征
提
出
问
题
学过“二次根式”，我们知道许多二次根式
p 为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的
和，即
p
m
n
=
+
，其中𝑚 为整数，0
1
n
．如
(
)
2
1
2 1
= +
−
，
(
)
1
5
2
3
5
−
−
=
+
−
．那
么形如(
)
2
2a
b
+
的数，其整数部分𝑚 与小数部分𝑛 各有什么特征呢？
探
究
发
现
小华对此展开研究，其探究过程如下：
（1）(
)
(
)
2
2
1
0
3
2 2
−
=
+
−
；（2）(
)
2
2
1
3
2 2
+
=
+
= ① (
)
2 2
2
+
−
；
（3）(
)
(
)
2
2 2
2
0
12
8 2
−
=
+
−
；（4）(
)
2
2 2
2
12
8 2
23
+
=
+
=
+ ② ；
（5）(
)
(
)
2
3 2
4
0
34
24 2
−
=
+
−
；（6）(
)
(
)
2
3 2
4
34
24 2
67
24 2
33
+
=
+
=
+
−
．
第15页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
据此，小华提出并证明了以下命题．
命题：若整数a ，b 满足0
2
1
a
b
−
，且(
)
2
2a
b
+
的整数部分为𝑚 ，小数部分为𝑛 ，则𝑚
必为奇数，且(
)
2
2
1
a
b
n
−
−
=
．
命
题
证
明
证明：因为(
)
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，(
)
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
−
=
−
+
，
所以(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
a
b
a
b
a
b
−
+
+
=
+
，即(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
−
+
=
+
−
．
又因为(
)
2
2a
b
m
n
+
=
+
，且0
1
n
，
所以
(
)
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
−
+
−
=
+
．
又根据0
2
1
a
b
−
，可得
(
)
2
0
2
1
a
b
−
．
因此，m = ③ ，n = ④ ．
又因为a ，b 均为整数，所以
2
2
4
2
a
b
+
为偶数，
故𝑚 必为奇数，且(
)
2
2
1
a
b
n
−
−
=
．
拓
展
延
伸
问题1 若整数a ，b 满足1
2
2
a
b
−
，那么(
)
2
2a
b
+
的整数部分𝑚 是否仍为奇数？证明
你的结论；
问题2 若整数a ，b 满足
2
1
k
a
b
k
−
+
，其中k 为整数，且
2
k
，试探究：(
)
2
2a
b
+
的整数部分𝑚 是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明．
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2．
【答案】（1）①5 ；②8 2 11
−
；③
2
2
4
2
1
a
b
+
−；④
(
)
2
1
2a
b
−
−
．
（2）𝑚 不是奇数，证明如下：
∵ (
)
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，(
)
2
2
2
2
2
2 2
a
b
a
ab
b
−
=
−
+
，
∴ (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
4
2
a
b
a
b
a
b
−
+
+
=
+
，即(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
−
+
=
+
−
．
第16页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
又∵ (
)
2
2a
b
m
n
+
=
+
，且0
1
n
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
−
+
−
=
+
．
又∵ 1
2
2
a
b
−
，
∴
(
)
2
1
2
2
a
b
−
，
∴
(
)
2
2
2
n
a
b
−
=
−
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
2
2
m
n
a
b
a
b
−
+
=
+
−
+
−
．
故
2
2
4
2
2
m
a
b
=
+
−
．
又∵ a ，b 均为整数，
∴
2
2
4
2
2
a
b
+
−
为偶数，故𝑚 不是奇数．
（3）当k 为偶数，且
2
k
时，𝑚 为奇数；当k 为奇数，且
2
k
时，𝑚 为偶数．
【解析】
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2 ）先求出(
)
(
)
2
2
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
a
b
−
+
=
+
−
，根据(
)
2
2a
b
m
n
+
=
+
，且0
1
n
，得到
(
)
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
−
+
−
=
+
，由1
2
2
a
b
−
可得
(
)
2
1
2
2
a
b
−
，则
(
)
2
2
2
n
a
b
−
=
−
，求
出
2
2
4
2
2
m
a
b
=
+
−
，即可判断；
（3）由（1）知，
(
)
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
−
+
−
=
+
，根据
2
1
k
a
b
k
−
+
，得到
(
)
2
2
1
k
a
b
k
−
+ ，
进而得到
(
)
2
1
2
n
k
a
b
−
=
+ −
，推出
(
)
2
2
4
2
1
m
a
b
k
=
+
−
+
，即可判定．
【小问1 详解】
解：∵ (
)
(
)
2
2
1
3
2 2
5
2 2
2
+
=
+
=
+
−
，
∴ ①5 ；
∵ (
)
2
2 2
2
12
8 2
23
8 2
11
+
=
+
=
+
−
，
∴ ②8 2 11
−
；
∵ 0
2
1
a
b
−
，
第17页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
∴
(
)
2
0
2
1
a
b
−
，
∴
2
2
4
2
1
m
a
b
=
+
−，即③
2
2
4
2
1
a
b
+
−
∴
(
)
2
1
2
n
a
b
−
= −
，即④
(
)
2
1
2a
b
−
−
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
由（1）知，
(
)
2
2
2
4
2
2
a
b
a
b
m
n
−
+
−
=
+
，
∵
2
1
k
a
b
k
−
+
，其中k 为整数，且
2
k
，
∴
(
)
2
2
1
k
a
b
k
−
+ ，
∴
(
)
2
1
2
n
k
a
b
−
=
+ −
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
2
m
n
a
b
a
b
−
+
=
+
−
∴
(
) (
) (
)
2
2
2
4
2
1
1
2
m
n
a
b
k
k
a
b
−
+
=
+
−
+
+
+
−
∴
(
)
2
2
4
2
1
m
n
a
b
k
n
+
=
+
−
+
+
，
∴
(
)
2
2
4
2
1
m
a
b
k
=
+
−
+
，
当k 为偶数，且
2
k
时，
1
k + 为奇数，
∵
2
2
4
2
a
b
+
为偶数，
∴
(
)
2
2
4
2
1
a
b
k
+
−
+
为奇数，即𝑚 为奇数；
当k 为奇数，且
2
k
时，
1
k + 为偶数，
∵
2
2
4
2
a
b
+
为偶数，
∴
(
)
2
2
4
2
1
a
b
k
+
−
+
为偶数，即𝑚 为偶数，
综上，当k 为偶数，且
2
k
时，𝑚 为奇数；当k 为奇数，且
2
k
时，𝑚 为偶数．
24. 如图，四边形ABCD 内接于
O
，𝐸 是DC 延长线上的一点，𝐸𝐵 的延长线交
O
于点𝐹 ，
AB
BD
=
，
60
CBE
ABD
=
=
．
第18页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
（1）求
E
的度数；
（2）求证：四边形AFEC 是平行四边形；
（3）设CF 交BD 于点𝐺 ，且
2
3
CG
FG =
，求BD
AC
的值．
【答案】（1）60°
（2）证明：
60
ACD
ABD
=
=
，
ACD
E
=
．
AC
EF
．
∵四边形AFBD 是
O
的内接四边形，
180
AFB
ADB
+
=
．
ABD
是等边三角形，
60
ADB
=
，
120
AFB
=
．
180
AFB
E
+=
．
AF
CE
．
∴四边形AFEC 是平行四边形．
（3）
7
3
【解析】
【分析】（1）先判定ABD
是等边三角形，得到
60
BAD
BDA
=
=
，利用圆的内接四边形的性质，
证明
60
BCE
BAD
=
=
，最后利用三角形内角和定理解答即可；
（2）先利用
ACD
E
=
判定AC
EF
，利用圆的内接四边形的性质求得
120
AFB
=
，证明
AF
CE
；
（3）过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为𝐻 ，连接𝐷𝐹 ，设CD
a
=
，先判定BCE
是等边三角形，证明
第19页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
(
)
CFE
BDE AAS
≌
，得到EF
ED
=
，再证明DEF
是等边三角形，证明BC
DF
，
BCG
DFG
∽
，BCE
FDE
∽
，得到
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
，接着利用勾股定理表示出
,
CH CF ，利
用平行四边形的性质表示出𝐴𝐶 ，进一步解答即可．
【小问1 详解】
解：
AB
BD
=
，
60
ABD
=
，
ABD
是等边三角形．
60
BAD
BDA
=
=
．
∵四边形ABCD 是
O
的内接四边形，
180
BAD
BCD
+
=
．
又
180
BCE
BCD
+
=
，
60
BCE
BAD
=
=
．
60
CBE
=
，
180
60
E
CBE
BCE
−
−
=
=
．
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为𝐻 ，连接𝐷𝐹 ，设CD
a
=
．
60
E
CBE
BCE
=
=
=
，
BCE
是等边三角形．
BE
CE
=
．
又
CFB
CDB
=
，
E
E
=
，
(
)
CFE
BDE AAS
≌
．
EF
ED
=
．
第20页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
BF
CD
a
=
=
．
60
E
=
，
DEF
是等边三角形．
60
FDE
BCE
=
=
．
BC
DF
．
BCG
DFG
∽
．
2
3
BC
CG
DF
FG
=
=
．
BC
DF
，
BCE
FDE
∽
．
2
3
BE
BC
FE
FD
=
=
．
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
．
∵四边形AFEC 是平行四边形，
3
AC
EF
a
=
=
．
BCE
是等边三角形，CH
BE
⊥
，
1
2
BH
BE
a
=
=
．
在Rt BCH
中，tan
3
CH
CBE
BH
=
=
，
3
3
CH
BH
a
=
=
．
2
FH
BF
BH
a
=
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
7
CF
FH
CH
a
a
a
=
+
=
+
=
．
CFE
BDE
≌
，
7
BD
CF
a
=
=
．
7
7
3
3
BD
a
AC
a
=
=
．
25. 已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+
．
（1）若
1
b = ，
2
c =
，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点(
)
0
0
,
P x
y
在𝑥 轴上方，求证：抛物线与𝑥 轴有两个交点；
第21页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
（3）抛物线与𝑥 轴交于A，𝐵 两点，与y 轴交于点
(
)
0,2
C
，直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
相交于点
𝐷 ，𝐸 是y 轴上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
=
=
=
，试探究𝐶𝐷
和𝐷𝐸 的数量关系，并证明．
【答案】（1）1 9
,
2 4
（2）证明：∵ 抛物线上的点
(
)
0
0
,
P x
y
在𝑥 轴上方，
∴
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
−
=
+
+
，
∴
2
0
0
0
c
x
bx
y
−
=
+
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
4
1
4
4
4
4
2
4
0
b
c
b
c
b
x
bx
y
x
b
y
−
−−
=
+
=
+
−
+
=
+
，
即方程
2
0
x
bx
c
−
+
+
=
有两个不相等的实数根，
∴ 抛物线与𝑥 轴有两个交点．
（3）𝐶𝐷 和𝐷𝐸 的数量关系是CD
DE
=
，
证明：∵ 抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+
与𝑥 轴交于A，𝐵 两点，与y 轴交于点
(
)
0,2
C
，如图，
故可设(
)
1,0
A x
，
(
)
2,0
B x
，𝑥1 > 𝑥2，
则
1x ，
2x 是方程
2
2
0
x
bx
−
+
+
=
的两根，
由求根公式可得
2
1
8
2
b
b
x
+
+
=
，
2
2
8
2
b
b
x
−
+
=
，
又坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
=
=
，
由对称性可设
,
2
b
M
m
，
第22页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
由勾股定理可得，
(
)
2
2
2
2
8
0
2
2
b
b
b
MA
m−
+
+
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
2
b
MC
m−
=
+
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
0
2
2
2
2
b
b
b
b
m
m
−
−
+
+
−
+
=
+
，
解得
1
2
m =
，
∴ 点M 的坐标为
1
,
2 2
b
，
∵ 直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
相交于点𝐷 ，
∴
0
b
，
联立
2
1
y
bx
y
bx
−
−
=
+
=
，解得
3
2
1
2
x
b
y
−
=
=
，
∴ 点𝐷 的坐标为
3
1
,
2
2
b
−
，
由
1
,
2 2
b
M
，
3
1
,
2
2
D
b
−
可知MD
CE
⊥
，
又∵ MC
ME
=
，
∴ MD 垂直平分CE ，
∴ CD
DE
=
．
【解析】
【分析】（1）将
1
b = ，
2
c =
代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可；
（2）由抛物线上的点(
)
0
0
,
P x
y
在𝑥 轴上方得
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
−
=
+
+
，进而得
2
0
0
0
c
x
bx
y
−
=
+
，
进而得判别式为
(
)
2
2
0
0
4
2
4
0
b
c
x
b
y
−
+
=
+
，得
2
0
x
bx
c
−
+
+
=
有两个不相等的实数根，进而判断抛物
线与𝑥 轴有两个交点；
（3）设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，𝑥1 > 𝑥2，由对称性可设
,
2
b
M
m
，根据抛物线与方程的关系可得
1x 、
2x ，
根据勾股定理得
2
MA ，
2
MC ，由MA
MC
=
列式计算可得点M 的坐标，联立直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
可得点𝐷 的坐标，进而得MD
CE
⊥
，由MC
ME
=
得MD 垂直平分CE ，进而得CD
DE
=
．
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
【小问1 详解】
解：
1
b =
，
2
c =
，
2
2
1
9
2
2
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴ 抛物线的顶点坐标为1 9
,
2 4
．
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
略
