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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 27 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十九章 圆 建议用时：120 分钟，满分：150 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 1．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④过圆内一 点可以画无数条弦．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故此说法错误；②同圆或等圆中相等 的圆心角所对的弧相等，故此说法错误；③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故此说法错误；④过圆内一 点可以画无数条弦，故此说法正确．∴正确的共1 个． 2．点 是 外一点， 的半径是 ，则 的长可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的半径是 ，点 是 外一点， ， 只有 满足 ， 故选：D． 3．如图，点O，I 分别是 的外心、内心，连接 ， ．若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 27 ∵I 是 的内心， ， ∴ ， ∵点O 是 的外心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 4．如图，四边形 内接于 ，连接 ．若 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 四边形 内接于 ， ， 由圆周角定理可得： ． 5．如图， 直径 ，弦 ，垂足为 ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 27 弦 ， ， ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得： ． 6．如图，四边形 内接于 ，点 是 的中点， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵点 是 中中点， ∴ ， 故选：C． 7．如图，从半径为 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）， 则这个圆锥的高是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 27 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为 ， ， 阴影扇形的弧长是 ， ， ， ． 8．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A 是底面圆周上一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧 面一圈再回到A 点，则这根绳子的最短长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接 ，过B 作 于D， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 27 设圆锥侧面展开图的圆心角为 ， 圆锥底面圆周长为 ， ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， 由 ，可求得 ， ∴ ， ， 即这根绳子的最短长度是 ． 9．如图，在扇形 中， ，半径 ，将扇形 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在 弧 上的点D 处，折痕交 于点C，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接 ，交 于E， ∵沿 对折O 和D 重合， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 27 ∴ ， ∴阴影部分的面积 ． 10．用四个面积为 的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”，已知正方形 的面积为 ， 则风车绕着正方形的中心旋转形成的圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设正方形 的中心为点O，连接 ，过点O 作 于点M， 由正方形 的面积为 ，得 ， 根据正方形的性质，得 ， 设 ， 根据题意，四个面积为 的全等的直角三角形拼成如图所示的“风车”， 故直角三角形的另一条直角边的长为 ， 根据题意，得 ， 整理，得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 27 解得 ， 根据长度不能为负数，故 舍去， ∴ ， ， ， 根据勾股定理，得 ， 故圆的面积为： ． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11．已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 【答案】 【详解】解： 扇形弧长为，半径为， 扇形面积 ． 12．已知 的半径为 ，是 内一点， ，则点 到 上各点的最大距离是_________ ． 【答案】 【详解】解： 的半径为 ， ， ，即点 在 内， 点 到 上各点的最大距离为 ． 13．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如 图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m． 【答案】 【详解】解：如图：连接 、 相交于O， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 27 由题意得，四边形 为矩形， ， ， ， 是等边三角形， 的半径是2， ， 改建后门洞的圆弧所对的圆心角为 ， 改建后门洞的圆弧长是 （ ）． 故答案为 ． 14．圆锥绣球是虎耳草料绣球属植物，圆锥状聚伞花序见塔形，长达 ，胸径约 ，其寓意着希望、 永恒、美满与团聚．小然按照其形状制作了如下：母线长为 ，底面直径长为 的圆锥绣球模型， 则此圆锥的侧面积为______． 【答案】 【详解】解：∵底面直径长为 ， ∴底面圆周长为 ，即展开图扇形的弧长为 ， ∵母线长为 ， 此圆锥的侧面积为 ． 故答案为： ． 15．某同学观察家中桌面上的瓯绣摆件，发现是由圆的绣面和一段劣弧支架组成，外部框架关于两圆圆心 所在直线对称，通过测量得知， 长 ，绣面（圆）最高点E 到桌面距离 为 ，到劣弧 最 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 27 高点M 的距离 为 ，则支架劣弧 所在圆的半径是______ ． 【答案】5 【详解】如解图，设P，Q 分别为两圆圆心，连接 ， ． 由题意可知， ， ， ． 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得 ， 支架劣弧 所在圆的半径是5cm． 16．如图，直线与圆 没有公共点，从点 向直线引垂线 ，垂足为 ，线段 交圆 于点 ， 若 ，圆 的半径为 ．点 为圆 上一动点，且 于点 ，则 最大值为 ____ ． 【答案】 【详解】解：过点 作 于点 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， 设 ， ∵在 中， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ∴ ， 当 在 的左侧时， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大， 即当 时， 最大为：； 当 在 的右侧且不在直线 上时， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 最大时， 最大， 令 ， 则 ， ∴当 ，即 时， 有最大值， ∴故当 时， 最大为 ，此时 最大值为： ； ∵ ∴当 时， 最大为 ，此时 最大值为： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9 小题，共86 分） 17．（8 分）如图， 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径的圆交 于点 ，且 ． (1)求弧 的弧长； (2)求弦 的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）作 ，则： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / ∴ ，即： ， 作 于点 ，则 ， ， ， ． 18．（8 分）如图，弦 和弦 相交于 内一点E， ． (1)求证： ； (2)若点C 是 的中点， ，求 的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / ∵C 是 的中点， ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是 的外角， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ，则 ， 在 中有， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 19． （8 分）如图，在 中，直径 垂直弦 于点E，过点D 作 ，在直径 上取点F，使 ， 连结 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的半径． 【答案】(1) 证明：连 ∵直径 垂直弦 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / ， 连接 ， ， ， ， ， ， ， ． AI (2)5 【详解】（1） 略 （2）解：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∵ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / ， ， ， ， ， ， ， ， ． 的半径为 ． 20．（8 分）如图， 是边长为 的正方形 的外接圆． (1)求 的半径； (2)求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】(1) ； (2) ． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴ ， 又∵ ， ∴在 中， ， ∴ ，即 ， ∴ （负值舍去）； （2）解：由（）得： ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ ． 21．（8 分）如图， 是 的直径， 是 延长线上一点， 切 于点 ，连接 ， 为 上一 点，射线 交 于点 ，已知 ． (1)求证： ； (2) ，求直径 长． 【答案】(1)证明：如图，连接 ， ． 为 的切线， ． ． ， ． ． ， ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． ． (2) 【详解】（1）略 （2）解： ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / ∴ ． ∵ ， ． ， ． ∴ ． ， ∴ ，解得 （负值舍去）． ． 22．（10 分）如图， 是 的直径，点C 是 上异于A，B 的一动点，点E 为 的中点．作 ， 垂足为点F，连接 并延长交 的延长线于点P． (1)求证： ； (2)如图2，延长 交 于点M，若 ， ，求 的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 点 为 的中点， ， ． 是直径， ， ． ， ， ， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接 ．设 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ， ． ， ． 在 中， ， ∴ ， 解得 或 （舍去）． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ， ， ． ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / ， ． 23．（10 分）如图，在 中， ， ． (1)尺规作图：作 的外接圆 （不写作法，保留作图痕迹）； (2)求所作 的半径． 【答案】(1) 如图所示， 即为所求； (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴所作 的半径为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 24．（12 分）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可 以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在 中， ， ，D 是 外一点，且 ， 求 的度数． 解：若以点 （定点）为圆心， （定长）为半径作辅助圆 ，（请你在图1 上画圆）则点C、D 必在 上， 是 的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得到 ______ ②类型二，“定角+定弦”：如图， 中， ， ， ，P 是 内部的一个动点， 且满足 ，求线段 长的最小值． 解： ， ， ， ， ______，（定角） 点P 在以 （定弦）为直径的 上 如图2，连接 交 于点P，此时 最小， 点O 是 的中点， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 在 中， ， ， ， ， 最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形 中，已知 ， ，点P 是 边上一动点点P 不与B，C 重合，连接 ， 作点B 关于直线 的对称点M，则线段 的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形 中， ，动点E，F 分别在边 ， 上移动，且满足 连接 和 ， 交于点 ①请你写出 与 的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E 从点D 开始运动到点C 时，点P 也随之运动，点P 的运动路径长为______． 【答案】(1)① ；② ； (2)4； (3)① ；② 【详解】（1）① ， 点B，点C，点D 在以点A 为圆心， 为半径的圆上， 如图1， ， 故答案为： ； ② ， ， ， ， 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / ， 点P 在以 定弦为直径的 上， 如图2，连接OC 交 于点P，此时 最小， 点O 是 的中点， ， 在 中， ， ， ， ， 最小值为2， 故答案为： ； （2）如图3，连接 ， 点B，点M 关于直线 对称， ， 点M 在以点A 为圆心， 为半径的圆上运动， 当点M 在线段 上时， 有最小值， ， ， ， 的最小值为 ， 故答案为：4； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / （3）① 四边形 是正方形， ， ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ； ②连接 ， 交于点O， 点P 在运动中保持 ， 点P 的运动路径是以 为直径的圆的 ， 点P 的运动路径长为 ， 故答案为： 25．（14 分）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 右侧一点，连结 、 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 / (1)求线段 的长度． (2)当点D 落在线段 上时，求 的长． (3)连结 ，求 面积的最大值． (4)当点D 在边 上时，点E 是边 上一动点（不与点A、B 重合），将 沿 翻折，当点B 的对应 点 落在 的角平分线上时，直接写出点 到边 的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) 或 【详解】（1）解： ， 在 中， ； （2）解： 点 在线段 上， ， ， 如图， 在 中， ， ， ， ； （3）解： ， ，定弦定角，满足条件的动点 的轨迹是圆，设圆心为 ， 点 在以 为弦的 上， 如图， 为 的直径，过圆心 作 于点 ，延长 交 于点 ，点 ， ， ， 均在 上， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26 / 同弧 所对的圆周角相等， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径为 ， ， ， 在 中， ， ， 圆 上的点到 的最大距离为 ， 面积为 动点 到 边的距离， ， 当点 在点 处时， 面积最大， 面积的最大值为 ； （4）解：如图，过点 作 于点 ， 点 在 的角平分线上， ， ， 是等腰直角三角形， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 / 由（2）得 ， 又 ， ， 由折叠得 ， 设 ， 当点 在点 和点 中间时， ， 当点 在点 和点 中间时， ， ， ， ， 在 中， ， ，化简得 ， ， 或 ， 点 到边 的距离为 或 ．
