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数学
第Ⅰ卷 选择题（共30 分）
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 如果水库的水位升高0.06 米时水位变化记作
米，那么水位下降0.05 米时水位变化记作（ ）
A.
米
B.
米
C.
米
D.
米
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵水位升高
米时水位变化记作
米，说明升高用正数表示，
∴与升高意义相反的下降应用负数表示，
因此水位下降
米时水位变化记作
米．
2. 学校开展非遗文化体验活动．下列是同学们设计的活动项目图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、 ∵
，∴ A 错误；
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B ∵
，∴ B 正确；
C 、∵
，∴ C 错误；
D 、∵
，∴ D 错误．
4. 一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据左视图定义解答即可．
【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆
孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A．
5. 图1 为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2 所示的平面图形．为验证
与
是否平行，已测得
，仅用下列一个测量结果即可判定
与
平行的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定判断选项即可．
【详解】解：A 选项，若
，无法判断
与
平行；
B 选项，若
，则
，
由内错角相等，两直线平行，可得
与
平行；
C 选项，若
，无法判断
与
平行；
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D 选项，若
，无法判断
与
平行 ．
6. 如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用
表示赏荷栈道的位
置，用
表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题干给出的坐标确定平面直角坐标系，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∴中国共产党太原历史展览馆的位置表示为
．
7. 已知点
，点
，点
都在反比例函数
的图象上，则
，，的关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用反比例函数的性质直接判断．
【详解】解：∵点
，
，
都在反比例函数
的图象上，
∵
，
∴函数图象在一三象限，且在每个象限内
随
的增大而减小，
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∵
，
∴
．
8. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3 月份此款飞行器产量为1200
台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为
，则下列方程正确
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5 月份实际产量列出等式即可．
【详解】解：∵3 月份产量为
台，月平均增长率为
，
∴4 月份产量为
台 ，
∴5 月份产量为
台 ，
又∵5 月份实际产量为
台 ，
∴可列方程为
．
9. 如图，在正方形
中，对角线
，
交于点
．将线段
沿射线
方向平移，点
，
的
对应点分别为点
，
，线段
分别与
，
交于点
，
．当点
是
的中点时，
的值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由四边形
是正方形得
，由点
是
的中点得
，由平移得
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，进而得
，得出
，代换即可求出
．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
由平移得
，
∴
，
∴
,
又∵
，
∴
．
10. 用
、
分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3 倍与个位数字的8 倍相加得到
一个新数，新数与原两位数的差可能是（ ）
A. 6
B. 13
C. 31
D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7 的倍
数，再判断选项中符合的结果即可．
【详解】解：∵原两位数的十位数字为
，个位数字为
，
∴原两位数可表示为
，其中
，
，
，
均为整数，
由题意得新数为
，
则新数与原数的差为：
∵
，
是整数，
∴差一定是
的整数倍，
观察选项，只有
是
的倍数，因此答案选D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90 分）
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
11. 比较大小：
_____6（填“>”“<”或“=”）．
【答案】
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【解析】
【分析】先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小．
【详解】解：
．
12. 计算
的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式．
【详解】解：
．
13. 小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，
其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放
回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可．
【详解】解：分别用A，B，C 表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表
法表示所有等可能结果如下，
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共有6 种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2 种，即
，
∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是
．
14. 某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超过20000 册时，投入成本
（元）与印刷数量
（册）之
间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示．当印刷数量为5000 册时，投入成本是________元．
印刷数量
（册）
0
500
1000
1500
…
20000
投入成本
（元）
24000
27000
30000
33000
…
144000
【答案】54000
【解析】
【分析】根据表格数据可判断投入成本
与印刷数量
满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析
式，再将
代入解析式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意，设
，将
，
代入解析式得：
解得
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∴函数解析式为
，
当
时，
．
15. 如图，在四边形
中，
，
，
．点
是
边上的一点，且
，
连接
，过点
作
的垂线，交
的延长线于点
，交
边于点
．若
，则线段
的长为________．
【答案】14
【解析】
【分析】过点E 作
，交
于点
．通过等角对等边证明
，过点
作
于点
，作
于点
，证明
，根据平行线分线段成比例求出
，进而得出
，证明四边形
是矩形得到
，根据勾股定理求出
，得到
的长，从而可得
的值，进而在
中解直角三角形即可求解．
【详解】过点E 作
，交
于点
．
，
，
，
，
，
．
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，
，
，
，
，
．
过点
作
于点
，作
于点
，则
．
，
，
∴
，
，
，
，
，
．
，
四边形
是矩形，
，
在
中，
，
．
在
中，
，
在
中，
，
．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算、解不等式组：
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（1）计算：
；
（2）解不等式组：
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1 详解】
解：原式
．
【小问2 详解】
解：解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
所以，原不等式组的解集是
．
17. 《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例
制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12 千克铜和2 千克锡，制作一面铜镜需要1 千克铜和1 千克锡，现用60 千
克铜和20 千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？
【答案】可制作4 个鼎和12 面铜镜
【解析】
【分析】设制作x 个鼎、y 面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答．
【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作
个鼎和
面铜镜．根据题意，得
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解得
答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4 个鼎和12 面铜镜．
18. 某校开展“讲绿水青山故事·绘美丽中国画卷”公益短视频评选活动．现有甲、乙、丙三个短视频作品参
加校级评选，由
位评委对参选作品进行评分（满分为
分），最终推荐一个作品参加公益展播．
数据整理：评委对三个短视频作品的评分数据如下：
分析决策：为确定最终参加公益展播的作品，对评委评分数据分析如下：
作品
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
甲
8.5
8.5
2
乙
7.5
6
3.5
丙
8
8
0.5
（1）表中
_____，
_____，
_____；
（2）根据上表中对评委评分数据的分析，你认为应推荐哪个短视频作品参加公益展播？请选择两个统计
量说明推荐理由．
【答案】（1）
，
，
（2）
我推荐丙作品参加公益展播．
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理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为
分、
分、
分，
，
从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；
甲、乙、丙三个作品评委评分的方差分别为
，
，
，
，
从方差的角度看，评委对丙作品的评分更一致．
推荐丙作品参加公益展播．
我推荐甲作品参加公益展播．
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为
分、
分、
分，
，
从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；
甲、乙、丙三个作品评委评分的中位数分别为
分、
分、
分，
，
从中位数的角度看，评委对甲作品的评分更高．
推荐甲作品参加公益展播．
【解析】
【分析】（1）根据众数，中位数以及平均数的概念求解即可；
（2）由平均数可判断评委对甲作品和丙作品的评分较高；再由方差角度可推荐丙作品参加公益展播；由中
位数的角度可推荐甲作品参加公益展播．
【小问1 详解】
解：根据甲作品评委评分统计图可知，
分占比最大，
甲作品的众数为
分，即
；
根据乙、丙作品评委评分统计图可知，
乙作品的分数从小到大排序为：
，
，
，
，
，
，
，
，位于第
位和第
位的数据为
和
，
乙作品的中位数为
，即
；
丙作品的分数为：
，
，
，
，
，
，
，
，
丙作品的平均数为
，即
；
【小问2 详解】
略
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19. 如图，
是
的直径，点
，
是
上的两点，且
，过点
作
的切线与
的延
长线交于点
，连接
，
．若
，
，求扇形
（即阴影部分）的面积（结果
保留
）．
【答案】扇形
（即阴影部分）的面积为
【解析】
【分析】连接
，先根据切线性质得到
，进而得到
，然后根据等弧所对的圆心角
相等得到
，继而得到
，最后根据扇形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接
．
与
相切于点
．
．
．
，
．
，
．
．
，
．
，
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．
20. 项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此
地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．
项目主题
藻井的调查与测算
驱动任务
调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活动
过程
调查
工艺
该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等
工艺形成逐层向上收缩的三层结构．
造型
该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱
形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形
井．
测算
对象
中间层菱形井中较长对角线的长
图示
图1 为藻井仰视平面图，其中线段
为中
间层菱形井较长的对角线（点
，
在同一
水平直线上）；图2 为测量方案示意图，其中
测量点
，
在同一水平直线上，且点
，
，
，
在同一竖直平面内．
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数据
在点
处测得点
的仰角为
，
米；在点
处测得点
的仰角为
，
米．
结果
…
活动反思
…
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线
的长（结果精确到0.1 米，参考数据：
）．
【答案】该藻井中间层菱形井对角线
的长约为
米
【解析】
【分析】过点
作
于点
，过点
作
于点
，则四边形
为矩形，在
中根据正弦、余弦的计算得到
， 在
中得到
，由此即可求解．
【详解】解：过点
作
于点
，过点
作
于点
，
∴
，则四边形
为矩形，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
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在
中，
，
，
，
，
，
（米）．
答：该藻井中间层菱形井对角线
的长约为
米．
21. 阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考
【工匠智慧】
如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图1 的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板
中，以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；以点
为圆心，
长为半径作弧，与
交于点
；连接
，
，
，即可得到特定度数的角，如
和
等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知
，作图步骤如下：①以点
为圆心，任意长为半径作弧，分别交
，
于点
，
；②分别以点
，
为圆心，
长为半径作弧，两弧在
内部交于点
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；③连接
，可得
．
结论“
”成立的理由如下：
连接
．
由步骤①可知，
．…
任务：
（1）图2 中
_____ ，
_____ ；
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4，四边形
表示一块木板，
，
．现要将此木板裁割成两部
分，裁割线为线段
（点
在
上），使
．请用尺规在木板上作出裁割线
（要求：
在木板上保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）45，15
（2）解：连接
，
，如图，
由步骤①可知，
．
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∴
．
在
中，
，
∴
．
∴
．
由步骤②可知，
．
∴
为等边三角形．
∴
．
∴
；
（3）解：如图，线段
即为所求作的裁割线．
【解析】
【分析】（1）判断出
为等腰直角三角形，由此可得
的度数，判断出
为等边三角形，
由此可得
的度数；
（2）添加辅助线，连接
，
，先由等边对等角得到
．再得到
为等边三角形，
由此可得到结论；
（3）作图步骤如下：①以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；②分别以点
，
为圆心，
长为半径作弧，两弧在
内部交于点
；③连接
交
于点
，由“推广迁移”中的结论
可得
．
【小问1 详解】
解：∵以点
为圆心，
长为半径作弧，交
于点
，
∴
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
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∴
；
∵以点
为圆心，
长为半径作弧，与
交于点
，
∴
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
略
22. 综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同
的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩
的产量
（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中
．设
中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为
（千克）．已知点
，
，
均在描述
与
关系的抛物线上，且点
是这条抛物线的顶点．
（1）建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量
与
的函数关系式；
（2）应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量
与
的函数关系式为
．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及
此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最
大时，两块麦田的总产量为
千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为
千克．经
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判断
小于
，请直接写出
与
的差．
【答案】（1）
（
）
（2）①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5
千克；②15
【解析】
【分析】（1）根据点
是描述
与
关系的抛物线的顶点，则设
，将点
代入即可求解；
（2）①根据二次函数的性质得到当
时，
取得最大值，此时
，求出当
时，
的值，
计算
即可求解；
②根据二次函数的性质求出
，
的最大值，即可得到m 的值，令
，求出y 的最大值，即可
得到n 的值，计算
即可．
【小问1 详解】
解：由题意得，点
是描述
与
关系的抛物线的顶点，
设
，
点
在描述
与
关系的抛物线上，
，解得
，
与
的函数关系式为
；
【小问2 详解】
解：①
．
∴
，开口向下，
又
，
当
时，
取得最大值，此时
．
两种麦田每亩施氮量相同，
当
时，
，
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此时
．
答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5 千
克．
②∵
，
，
∴
的最大值为646，
的最大值为309．
．
令
，
当
时，
有最大值，为940．
，
．
23. 综合与探究
问题情境：如图1，在
中，
，
是
的中线．将
绕点
顺时针旋转得到
，
其中点
，
的对应点分别为点
，
，线段
分别与线段
，
交于点
，
，线段
与
交于点
．
（1）推理证明：求证：
；
（2）拓展延伸：在旋转过程中，当
时，探究下列问题．
①如图2，判断
与
的数量关系，并说明理由；
②已知
，
．在射线
上取一点
，在射线
上取一点
，使
．当以点
，
，
为顶点的三角形是直角三角形，且
为直角边时，请直接写出线段
的长．
【答案】（1）证明：
，
是
的中线，
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，
，
，
绕点
顺时针旋转得到
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
（2）①解：
，
理由如下：
，
是
的中线，
，
绕点
顺时针旋转得到
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
是菱形，
；
②线段
的长为
或
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出
，结合图形得到
，运用“角边角”即可求证；
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（2）①根据旋转得到
，由平行线的判定得到
，可证四边形
是菱形，由
此即可求解；
②证明
在以
为圆心，
为半径的圆上，即图中的
，可得四边形
为矩形，
可得当以点
，
，
为顶点的三角形是直角三角形，且
为直角边时，当
，则
一定过点
，不符合题意；只有
或
，此时
三点共线，再进一步求解
即可.
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
①略
②解：∵
，
∴
在以
为圆心，
为半径的圆上，即图中的
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴当以点
，
，
为顶点的三角形是直角三角形，且
为直角边时，
当
，则
一定过点
，不符合题意；
∴只有
或
，
此时
三点共线，
如图所示，当点
在线段
上时，
，且点G 在线段
上，过点
作
于点
，
，
∵
，
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，
，
，
∴
，
，
设
，
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得：
或
（舍去），
此时
，
.
综上所述，
或
．
