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2026 年安徽省初中学业水平考试数学
（试题卷）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
每小题都给出A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列比0 小的数是（ ）
A. 2
B. 0
C.
2
−
D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意得，2
0
2
6
−
，
∴比0 小的数是2
−．
2. 《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文AI 模型“星衍”，可探测到距地球
超过130 亿光年的星系，其中130 亿用科学记数法表示为（ ）
A.
10
.13
0
10
B.
10
1.3 10
C.
9
1.3 10
D.
9
13 10
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的形式为
10n
a
，要求满足1
10
a
，n 为整数，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，130 亿
10
13000000000
1.3 10
=
=
．
3. 一个几何体如图水平放置，其主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】该几何体的主视图如图所示．
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4. 下列各式中，计算结果等于
2
a 的是（ ）
A. a
a
+
B.
3
a
a
−
C. (
) (
)
a
a
−
−
D. (
)
(
)
6
3
a
a
−
−
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则与幂的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、
2
a
a
a
+
=
，
2
2a
a
，
该选项不符合题意；
B、
3
a
与a 不是同类项，不能合并，
该选项不符合题意；
C、
(
) (
)
(
) (
)
2
1
1
a
a
a a
a
−
−
= −
−
=
，
该选项符合题意；
D、(
)
(
)
(
)
6
3
3
3
2
a
a
a
a
a
−
−
= −
= −
，
该选项不符合题意．
5. 已知一组数据：1，2，9，5，2，3，6．该组数据的中位数是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】将原数据按从小到大排序，得1，2 ，2 ，3，5，6 ，9，
该组数据共有7 个，为奇数个，
中位数为排序后第4 个数据， 第4 个数据为3，
该组数据的中位数是3．
6. 两个直角三角板如图摆放，其中
90
BAC
AEF
=
=
，
60
AFE
=
，
45
ABC
=
，AE
BC
⊥
，
边BC 分别与AE ，AF 相交于点M ，N ．若
12
BC =
，则MN = （ ）
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A. 2 3
B. 3 3
C. 4 3
D. 6 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长，根据直角三角形两锐角互余求出
FAE
的度数，最
后在Rt AMN
中利用勾股定理和含30角的直角三角形性质求解 ．
【详解】解：
90
BAC
=
，
45
ABC
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
AE
BC
⊥
于点M ，
AM
是斜边BC 上的高，也是中线，
1
1 12
6
2
2
AM
BC
=
=
=
，
在Rt AEF
中，
90
AEF
=
，
60
AFE
=
，
90
60
30
FAE
−
=
=
即
30
MAN
=
，
在Rt AMN
中，
90
AMN
=
，
2
AN
MN
=
，
根据勾股定理得
2
2
2
AM
MN
AN
+
=
，
∴62 + 𝑀𝑁2 = (2𝑀𝑁)2，
解得
2 3
MN =
．
7. 已知关于x 的一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
b
a
a
−
−
+
=
有两个相等的实数根，则b
a = （ ）
A.
2
−
B.
1
2
−
C. 1
2
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式Δ
0
=
，整理等式即可求出
b
a
的值．
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【详解】解：∵一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
b
a
a
−
−
+
=
有两个相等的实数根，
∴根的判别式
(
)
(
)
2
Δ
4
0
b
a b
a
−
−
=
−
=
，
展开整理得
2
2
4
4
0
b
ab
a
−
+
=
，
即
2
2
)
0
( a
b
−
=
，
∴2
0
a
b
−
=
，得
2
b
a
=
，
∵
0
a
，
等式两边同除以a 得
2
b
a =
．
8. 如图，矩形ABCD中，六个小正方形的边长均为1，正方形AFGD 的各边与
HNM 所在的圆分别相切
于点E ，M ，H ，N．BH ，BM 所在圆的圆心分别是E ，F ．则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 3π
1
2 −
B. 5π
1
4
−
C.
3π
7
2
−
D.
5π
7
4
−
【答案】A
【解析】
【分析】设EH 与MN 交于点O，先得出
HNM 所在的圆为以点O为圆心、OE 长为半径的
O
，再根据图
中阴影部分的面积等于
(
)
O
OEFM
EBH
FBM
OEM
S
S
S
S
S
+
−
−
−
半
正方形
扇形
扇形
扇形
求解即可．
【详解】解：如图，设EH 与MN 交于点O，
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由题意得：
1
OE
ON
OH
OM
BF
FM
EF
=
=
=
=
=
=
=
，
90
BFM
BEH
=
=
，
,
,
,
OE
AB ON
AD OH
CD OM
FG
⊥
⊥
⊥
⊥
，
∴
2
BE
EH
=
=
，
∵正方形AFGD 的各边与
HNM 所在的圆分别相切于点
,
,
,
E M H N ，
∴
HNM 所在的圆为以点O为圆心、OE 长为半径的
O
，
∴图中阴影部分的面积为
(
)
O
OEFM
EBH
FBM
OEM
S
S
S
S
S
+
−
−
−
半
正方形
扇形
扇形
扇形
2
2
2
2
1
90π 2
90π 1
90π 1
π 1
1 1
2
360
360
360
=
+
−
−
−
1
π
π
π
π
1
2
4
4
−
=
+
−+
1 π
π 1
2
=
+
−
3π
1
2
=
−．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
y
kx
=
−（
0
k
）的图象分别与x 轴和y 轴交于点A和
B ，与反比例函数
m
y
x
=
（
0
m
）在第一象限内的图象交于点P ．若OP
OB
=
，
3
5
PA
AB =
，则m =
（ ）
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A. 3
4
B. 4
3
C. 12
25
D. 25
12
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点B 的坐标，然后结合已知可求出OP ，过点P 作PD
y
⊥
轴于D ，则OA
PD
∥
，根据平
行线分线段成比例求出OD ，根据勾股定理求出PD，从而求出点P 的坐标，即可得解．
【详解】对于一次函数
1
y
kx
=
−，当
0
x =
时，
1
y = −，
(
)
0, 1
B
−
，
1
OB
= ，
OP
OB
=
，
1
OP
= ，
过点P 作PD
y
⊥
轴于D ，
OA
PD
，
OD
PA
OB
AB
=
，即
3
1
5
OD =
，
3
5
OD
=
，
2
2
2
2
3
4
1
5
5
PD
OP
OD
=
−
=
−
=
，
4 3
,
5 5
P
，
4
3
12
5
5
25
m
=
=
．
10. 如图，点C ，E 分别为等腰直角
ABC
与等腰直角DBE
的直角顶点，且点C 在边DE
上．AF
DE
⊥
，垂足为F ．边AB 的中点为M ，线段MC ，AC 分别交BD于点N ，H ，连接AD ，
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AN ．若AD
DC
=
，则下列结论错误
．．的是（ ）
A. DF
CE
=
B.
2
CM
DN
=
C. CH
CN
=
D.
2
AN
CD
=
【答案】B
【解析】
【分析】对于A ，证明
(
)
AAS
ACF
CBE
≌
即可判断；对于C ，根据角度关系，可得
67.5
CHN
CNH
=
=
，得到CH
CN
=
；对于D，证明
ADN
△
为等腰直角三角形即可得到
2
AN
CD
=
；
对于B，由
ADN
△
为等腰直角三角形，可得
2
AN
DN
=
，再结合
,
CM
AM AN
AM
=
即可判断．
【详解】解：对于A，由题可知
90 ,
,
ACB
E
F
CA
CB BE
DE
=
=
=
=
=
，
90 ,
90
ACF
BCE
BCE
CBE
+
=
+
=
，
ACF
CBE
=
，
在
ACF
△
和
CBE
△
中，
F
E
ACF
CBE
CA
BC
=
=
=
，
(
)
AAS
ACF
CBE
≌
，
CF
BE
=
，又BE
DE
=
，
CF
DE
=
，即CD
DF
CD CE
+
=
+
，
DF
CE
=
，故A 正确，不符合题意；
对于B，
(
)
ACF
CBE AAS
≌
，
AF
CE
=
，
ACF
CBE
=
，
AF
DF
=
，
45
FAD
FDA
=
=
，
AD
DC
=
，
DAC
DCA
=
，又
45
FDA
DAC
DCA
=
+
=
，
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22.5
DAC
DCA
=
=
，
22.5
CBE
CBD
ABD
=
=
=
，
90
22.5
67.5
CDH
ACD
CHN
+
=
=
−
=
，
边AB 的中点为M ，
,
45
CM
AB
BCM
ACM
⊥
=
=
，则
67.5
CNH
BCM
CBD
=
+
=
，
CHN
CNH
=
，
CH
CN
=
，故C 正确，不符合题意；
45 ,
45
FDA
BDE
=
=
，
90
ADN
=
，
CM
垂直平分AB ，
AN
BN
=
，
22.5
NAB
NBA
=
=
，
45
DAN
=
，即
ADN
△
为等腰直角三角形，
2
AN
AD
=
，即
2
AN
CD
=
，故D 正确，不符合题意；
ADN
△
为等腰直角三角形，
AD
DN
=
，即
2
AN
DN
=
，
又
1
2
CM
AB
AM
=
=
，且
90
AMC
=
，
AN
AM
，即
2
AN
DN
CM
=
，故B 错误，符合题意．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11. 因式分解：
2
25
x −
=_____．
【答案】(
)(
)
5
5
x
x
+
−
【解析】
【分析】根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
(
)(
)
2
25
5
5
x
x
x
−
=
+
−
．
12. 如图，点F 在正五边形ABCDE 的边AB 的延长线上，则
CDE
CBF
−
= _____．
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【答案】36
【解析】
【详解】解：五边形ABCDE 是正五边形，
(
)
5
2
180
108
5
CDE
ABC
−
=
=
=
，
点F 在正五边形ABCDE 的边AB 的延长线上，
180
72
CBF
ABC
=
−
=
，
36
CDE
CBF
−
=
．
13. 中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九
章算术》中挑选出4 个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2 个．在某次活
动中，从这4 个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为_____．
【答案】1
2 ##0.5
【解析】
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利
用概率公式计算即可．
【详解】解：所有可能出现的结果共4 种，且每种结果发生的可能性相等，
其中抽取到“开平方”问题的结果有2 种．
根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为2
1
4
2
=
．
14. 图1 是轨道示意图，其中A，B ，C ，D 是矩形的四个顶点，E 为AC ，BD的交点，
1m
AB
AE
=
=
．机器人以1m/min 的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B ，C ，D ，
E 处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A．
（1）若机器人到点A的距离y （单位：m ）关于运动时间x （单位：min ）的函数图象如图2 所示，则
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y 取最大值时，x =_____；
（2）将机器人在运动过程中经过点B ，C ，D ，E 的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方
式共有_____种．
【答案】 ①. 1
3
+
## 3
1
+ ②. 4
【解析】
【分析】（1）首先由矩形得到
1m
EC
BE
AE
=
=
=
，
90
ABC
=
，然后结合图象判断出机器人从点A
出发，运动到点B，然后运动到点C 时y 取得最大值，然后利用勾股定理求解；
（2）根据题意分情况讨论，分别求出所有运动方式的用时，然后比较求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴
1m
EC
BE
AE
=
=
=
，
90
ABC
=
，
由图象可得，当
1
x =
时，
1
y = ，
∴当
1
x =
时，机器人从点A 运动到点B，或点A 运动到点E，
∵从
1
x =
到y 取最大值时，y 随x 的增大而增大，
∴机器人从点B 运动到点C，或从点E 运动到点C，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴若机器人从点E 运动到点C，接下来运动到点B 或点D 都不符合题意，
∴机器人应从点B 运动到点C，此时y 取最大值，
∵
2m
AC
AE
EC
=
+
=
，
1m
=
AB
，
90
ABC
=
，
∴
( )
2
2
2
2
2
1
3
BC
AC
AB
m
−
=
=
−
=
，
∴y 取最大值时，
1
3
1
AB
BC
x
+
=
= +
；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴
1m
EC
ED
=
=
，
1m
CD
AB
=
=
，
3m
AD
BC
=
=
，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴机器人的运动方式有：
①A
B
C
E
D
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
1
3 1 1
3
1
2 3
3 min
AB
BC
CE
DE
AD
+
+
+
+
=
+
+ + +
=
+
；
②A
B
C
D
E
A
→
→
→
→
→
，
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∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
1
3 1 1 1
1
3
4 min
AB
BC
CD
DE
EA
+
+
+
+
=
+
+ + +
=
+
；
③A
B
E
C
D
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
1 1 1 1
3
1
3
4 min
AB
BE
EC
CD
DA
+
+
+
+
=
+ + + +
=
+
；
④A
E
B
C
D
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
1 1
3 1
3
1
2 3
3 min
AE
EB
BC
CD
DA
+
+
+
+
=
+ +
+ +
=
+
；
⑤A
E
D
C
B
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
1 1 1
3 1
1
3
4 min
AE
ED
DC
CB
BA
+
+
+
+
=
+ + +
+
=
+
；
⑥A
D
C
E
B
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
3 1 1 1 1
1
3
4 min
AD
DC
CE
EB
BA
+
+
+
+
=
+ + + +
=
+
；
⑦A
D
E
C
B
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
3 1 1
3 1
1
2 3
3 min
AD
DE
EC
CB
BA
+
+
+
+
=
+ + +
+
=
+
；
⑧A
D
C
B
E
A
→
→
→
→
→
，
∴运动时间为(
)
(
)
(
)
1
3 1
3 1 1
1
2 3
3 min
AD
DC
CB
BE
EA
+
+
+
+
=
+ +
+ +
=
+
；
∵
(
)
2 3
3
3
4
+ −
+
2 3
3
3
4
=
+ −
−
3 1
0
=
−
∴2 3
3
3
4
+
+
∴
3
4
+
为最短用时，共4 种．
三、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15. 计算：
(
)
0
1
3
1
2−
−+ −
−
．
【答案】7
2
【解析】
【详解】解：
(
)
0
1
3
1
2−
−+ −
−
1
3 1
2
= + −
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7
2
=
．
16. 如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，
ABC
的顶点均
为格点（网格线的交点），点A，B ，C 的坐标分别为(
)
3, 2
−
−
，(
)
1, 1
−−
，(
)
3,3
−
．
（1）画出
ABC
关于y 轴对称的
1
1
1
A BC
△
；
（2）将线段AB 向右平移1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到线段
2
2
A B ，画出线段
2
2
A B ；
（3）以点B 为旋转中心，将线段BC 按顺时针方向旋转90，得到线段
2
BC ，直接写出点
2
C 的坐标．
【答案】（1）解：下图
1
1
1
A BC
△
为所求：
（2）解：下图线段
2
2
A B 为所求：
（3）
下图线段
2
BC 为所求，点
2
C 的坐标为(
)
3,1
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【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
略
四、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17. 广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D 四个小矩形组成，如图所示．C 的面积比A
的面积的2 倍多
2
2m ，D 的面积比B 的面积的3 倍少
2
3m ．设A 的面积为
2
m
x
，B 的面积为
2
m
y
．
（1）C 的面积为_____
2
m （用含x 的代数式表示），D 的面积为_____
2
m （用含y 的代数式表示）；
（2）若A 的面积与B 的面积之和为
2
10m ，C 的面积比D 的面积少
2
5m ，求x 和y ．
【答案】（1）(
)
2
2
x +
；(
)
3
3
y −
；
（2）x 和y 的值分别为4 和6
【解析】
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据题意可得
10
x
y
+
=
和(
) (
)
3
3
2
2
5
y
x
−
−
+
=
，再进行求解即可．
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【小问1 详解】
解：∵C 的面积比A 的面积的2 倍多
2
2m ，A 的面积为
2
m
x
，
∴C 的面积为(
)
2
2
2 m
x +
；
∵D 的面积比B 的面积的3 倍少
2
3m ，B 的面积为
2
m
y
，
∴D 的面积为(
)
2
3
3 m
y −
；
【小问2 详解】
解：∵A 的面积与B 的面积之和为
2
10m ，
∴
10
x
y
+
=
，
∵C 的面积比D 的面积少
2
5 m ，
∴(
) (
)
3
3
2
2
5
y
x
−
−
+
=
3
3
2
2
5
y
x
−−
−
=
2
3
10
x
y
−
+
=
，
∴
10
2
3
10
x
y
x
y
+
=
−
+
=
，
解得
4
6
x
y
=
=
．
18. 某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为A，B，
C，D，E 五个等级．现随机抽取n 位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息
如图所示．
已知抽取的样本中，E 等级的人数为2．
请根据以上信息，完成下列问题：
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（1）扇形统计图中a =_____；
（2）n = _____；
（3）每位学生的测试结果按下表进行评分：
等级
A
B
C
D
E
分值
5
4
3
2
1
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于3.5，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数
据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
【答案】（1）4 （2）50
（3）解：5 18%
4 40% 3 32%
2 6% 1 4%
3.62
+
+
+
+
=
（分），
∵3.62
3.5
，
∴该校七年级学生体能训练整体情况良好．
【解析】
【分析】（1）用1 减去其他四个等级的百分数即可求解；
（2）用E 等级的人数除以所占百分比即可求得n 的值；
（3）根据加权平均数的公式求得平均分，与3.5作比较即可．
【小问1 详解】
解：1 18% 40% 32% 6%
4%
−
−
−
−
=
，
∴
4
a =
；
【小问2 详解】
解：E 等级的人数为2，
∴
2 4%
50
n =
=
；
【小问3 详解】
解：略．
五、（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19. 湖中有两个小岛，分别用点A，B 表示，B 在A的北偏东37方向上．为了测量A，B 间的距离，综
合实践小组在观测点C 处测得A在C 的正北方向，沿着北偏东56方向行走至另一观测点D ，测得A在
D 的正西方向，B 在D 的北偏西53方向上，平面示意图如图所示．已知C ，D 间的距离为660 m ，求
A，B 间的距离（精确到0.1m ）．参考数据：sin56
0.83
，cos56
0.56
，sin53
0.80
，
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cos53
0.60
，sin37
0.60
，cos37
0.80
．
【答案】A，B 间的距离约为328.7m
【解析】
【分析】由题意可得
90
CAD
=
，结合三角形的内角和定理可得
90
ABD
=
，解Rt
CAD
△
可得AD
的长，解Rt
ABD
△
可得AB 的长．
【详解】解：由题意可得
90
CAD
=
，
90
37
53
BAD
=
−
=
，
90
53
37
BDA
=
−
=
，
660
CD
m
=
，
180
37
53
90
ABD
=
−
−
=
，
在Rt
CAD
△
中，
56
ACD
=
，sin56
0.83
，
0
0.83
sin
66
AD
AD
ACD
CD
=
=
，
( )
0.83 660
547.8
AD
m
=
，
在Rt
ABD
△
中，
37
BDA
=
，sin37
0.60
，
sin
0.60
AB
BDA
AD
=
，
( )
( )
0.60
0.60 547.8
328.68
328.7
AB
AD
m
m
=
=
，
A
，B 间的距离约为328.7m ．
20. 如图，AB 为
O
的直径，点C 在
O
上，点A，B 分别在CDEF
的边CD，CF 上，DE ，EF
分别与
O
相切于点M ，N ．
（1）求证：四边形OMEN 为正方形；
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（2）若
9
CD =
，
10
AB =
，求CF 的长．
【答案】（1）证明：∵AB 为
O
的直径，
∴
90
C
=
，
∵四边形CDEF 是平行四边形，
∴
90
=
=
E
C
，
∵DE ，EF 分别与
O
相切于点M ，N ，
∴
90
OME
ONE
=
=
，
∴
90
E
OME
ONE
=
=
=
，
∴四边形OMEN 为矩形，
∵OM
ON
=
，
∴四边形OMEN 为正方形；
（2）8
【解析】
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到
90
C
=
，然后根据平行四边形的性质得到
90
=
=
E
C
，再由圆的切线的性质证明即可；
（2）过点O作OT
BC
⊥
于点T ，由垂径定理得
=
BT
CT ，然后求出
1
5
2
EN
ON
OB
AB
=
=
=
=
， 再
证明四边形ONFT 是矩形，则
5
TF
ON
=
=
，
9 5
4
OT
NF
EF
EN
−
=
=
= −=
，再由勾股定理求解
BT ，最后由CF
CT
TF
=
+
求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：过点O作OT
BC
⊥
于点T ，则
90
OTF
=
，
∵OT 经过圆心，
∴
=
BT
CT ，
∵在CDEF
中，
90
C
=
，
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∴四边形CDEF 是矩形，
9
EF
CD
=
=
，
∴
90
F
=
，
∵
10
AB =
，四边形OMEN 为正方形，
∴
1
5
2
EN
ON
OB
AB
=
=
=
=
，
∵
90
ONE
=
，
∴
180
90
ONF
ONE
=
−
=
，
∴
90
F
OTF
ONF
=
=
=
，
∴四边形ONFT 是矩形，
∴
5
TF
ON
=
=
，
9 5
4
OT
NF
EF
EN
−
=
=
= −=
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
BT
OB
OT
=
=
−
−
=
，
∴
3
CT =
，
∴
3 5
8
CF
CT
TF
=
+
= + =
．
六、（本题满分12 分）
21. 项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股
数，记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为
勾股数．本项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
2
1
(
)
3,4,5
1
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3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
（1）
5
m =
，
1
n =
对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
（2）勾股数(
)
35,12,37 对应的m = _____，n = _____；
（3）序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的
增大而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请
问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】（1）24，10，26，7
（2）6，1 （3）11，60，61
（4）不正确，
理由：当
5
m =
，
4
n =
时，
2
2
2
2
5
4
41
m
n
，序号为(
) (
)
5 1
5
2
4
10
2
−
−
+
=
；
当
6
m =
，
1
n =
时，
2
2
2
2
6
1
37
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
6 1
6
2
1
11
2
−
−
+ =
；
∵41 37
，10
11
，
∴序号从10 增加到11 时，
2
2
m
n
+
的值减小，
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∴他的猜想不正确．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，把
2
2
35
m
n
−
=
、
2
2
37
m
n
+
=
两式相加并结合已知条件则求出m 的值，然后把m 的值代入2
12
mn =
求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m 对应的勾股数组数为(
)
1
m −
组，从得出m 值从2 取到k 时，勾股
数的总组数为(
)
1
2
k k −
组，然后根据题意得出(
)
1
15
2
k k −
=
，求出k 的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【小问1 详解】
解∶当
5
m =
，
1
n =
时，
2
2
2
2
5
1
24
m
n =
−
=
−
，2
2 5 1 10
mn = =
，
2
2
2
2
5
1
26
m
n =
+
=
+
，
∴
5
m =
，
1
n =
对应的勾股数是(
)
24,10,26 ，序号为7；
【小问2 详解】
解：根据题意，得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，
∴
2
2
2
2
35
37
m
n
m
n
+
=
+
−
+
，即
2
2
72
m =
，
又
0
m
，
∴
6
m =
，
把
6
m =
代入2
12
mn =
，得2 6
12
n
=
，
解得
1
n =
，
∴勾股数(
)
35,12,37 对应的
6
m =
，
1
n =
；
【小问3 详解】
解：由表格知，当
2
m =
时，符合题意的勾股数有2 1 1
−= 组；
当
3
m =
时，符合题意的勾股数有3 1
2
−=
组；
当
4
m =
时，符合题意的勾股数有4 1
3
−=
组；
……
当m
k
=
（
2
k
的整数）时，符合题意的勾股数有(
)
1
k −
组；
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此时一共有
(
)
(
)
1
1 2
3
1
2
k k
k
−
−
+
+ +
+
=
组勾股数，
当(
)
1
15
2
k k −
=
时，解得
6
k =
或
5
k = −（舍去），
∴序号为15 时，
6
m
k
=
= ，
1
5
n
k
=
−=
，
∴
2
2
2
2
6
5
11
m
n =
−
=
−
，2
2 6 5
60
mn = =
，
2
2
2
2
6
5
61
m
n =
+
=
+
，
序号为15 的勾股数是(
)
11,60,61 ；
【小问4 详解】
略
七、（本题满分12 分）
22. 如图1，在
ABCD
中，
2
CD
AD
=
，边CD的中点为M ，连接AM ．
（1）求证：
2
C
AMD
=
；
（2）如图2，MN
BC
⊥
，垂足为N ．点P 在线段AM 上，PE
CD
⊥
，PF
BC
⊥
，垂足分别为E 、
F ．
（ⅰ）求证：PF
PE
MN
−
=
；
（ⅱ）若
4
PF
PE
=
，求AP
PM
的值．
【答案】（1）证明：∵在
ABCD
中，
∴CD
AB
∥
，
C
DAB
=
，
∴
DMA
MAB
=
，
∵
2
CD
AD
=
，边CD的中点为M ，
∴
1
2
DM
CD
AD
=
=
，
∴
DMA
DAM
=
∠
∠
，
∴
2
DAB
DAM
MAB
AMD
=
+
=
，
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∴
2
C
AMD
=
；
（2）（ⅰ）证明：作MG
PF
⊥
于G ，
∵MN
BC
⊥
，PF
BC
⊥
，
∴
90
MNF
NFP
MGF
=
=
=
，
∴四边形MNFG 为矩形，
∴
,
90
MN
GF
GMN
=
=
，
∴
90
NMC
C
+
=
，
90
NMC
EMG
+
=
，
∴
C
EMG
=
，
∴
2
EMG
EMA
=
，
∴
EMA
GMA
=
，
∵PE
CD
⊥
，
∴
90
MEP
MGP
=
=
，
∵MP
MP
=
，
∴
(
)
MEP
MGP AAS
≌
，
∴PE
PG
=
，
∵PF
PG
GF
−
=
，
∴PF
PE
MN
−
=
；
（ⅱ）2
【解析】
【分析】
（1）由题意，AD
DM
=
，AB
CD
∥
，则可证
DMA
DAM
MAB
=
=
，则
2
C
DAB
AMD
=
=
；
（2）（ⅰ）作MG
PF
⊥
于G ，可证
EMA
GMA
=
，则可证明MEP
MGP
≌
，所以PE
PG
=
，通
过证明四边形MNFG 为矩形，得MN
GF
=
，则题目可证；
（ⅱ）作MG
PF
⊥
于G 并延长交AB 于Q ，过A作AH
MG
⊥
交MG 于H ，因为
4
PF
PE
=
，设
PE
a
=
，则
,
4 ,
3 ,
PG
a PF
a FG
MN
a
=
=
=
=
，可证明AHQ
MNC
≌
，所以
3
AH
MN
a
=
=
，且可
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证PG
AH
∥
，则所以MPG
MAH
∽
，所以
1
3
3
MP
PG
a
MA
AH
a
=
=
=
，则题目可证．
【小问1 详解】
证明：略；
【小问2 详解】
（ⅰ）证明：略；
（ⅱ）解：作MG
PF
⊥
于G 并延长交AB 于Q ，过A作AH
MG
⊥
交MG 于H ，
由（ⅰ）知，MG
NF
∥
，
∵在
ABCD
中，
∴AD
BC
∥
，AB
CD
∥
，
C
DAB
=
，
∴MQ
AD
∥
，
∴
DAB
AQH
=
，
∴
C
AQH
=
，
∵MQ
AD
∥
，AB
CD
∥
，
∴四边形AQMD 为平行四边形，
∴AQ
DM
=
，
∵M 为边CD的中点，
∴CM
DM
AQ
=
=
，
又∵
90
H
MNC
=
=
，
∴
(
)
AHQ
MNC AAS
≌
，
∴AH
MN
=
，
∵
4
PF
PE
=
，
设PE
a
=
，则
4 ,
,
3 ,
PF
a PG
a FG
MN
a
=
=
=
=
，
∴
3
MN
AH
a
=
=
，
∵
,
MH
PF MH
AH
⊥
⊥
，
∴PG
AH
∥
，
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∴MPG
MAH
∽
，
∴
1
3
3
MP
PG
a
MA
AH
a
=
=
=
，
∴
1
2
MP
PA =
，
即
2
AP
PM =
．
八、（本题满分14 分）
23. 已知抛物线
(
)(
)
2
3
2
0
y
x
a
x
a
a
−
=
．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点
1
3
, 2
A x
，
2
3
, 2
B x
，（
1
2
x
x
）都在抛物线上．
（i）求
1x
a 的值；
（ⅱ）设a 为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m ，请比较m 与2
2
a −
的大小，并说明理
由．
【答案】（1）3
（2）（i）2
2
2
−
；（ⅱ）当
1,2,3
a =
时，
2
2
m
a
−
；当
4
a
时，
2
2
m
a−
．
理由如下：由（i）得
2
1
2
AB
x
x
a
=
−
=
，已知2
1.414
，
2
1
m
a
+ 显然成立，
令2
1
2
2
a
a−
+
，解得
3 2
3
5.121
2
a
+
，
也就是说，当
6
a
时，
2
2
m
a−
恒成立，
故只用讨论
1,2,3,4,5
a =
的情形：
1
a = 时，
1
2
2
2
1
0.293,
1
1.707
2
2
x
x
= −
= +
，故整数点只有
1
x =
，
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1,2
2
0
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
2
a =
时，
1
2
2
2
0.586,
2
2
3.414
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
1,
2,
3
x
x
x
=
=
=
，
3,2
2
2
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
3
a =
时，
1
2
3 2
3 2
3
0.879,
3
5.121
2
2
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
1,
2,
3,
4,
5
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
5,2
2
4
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
4
a =
时，
1
2
4
2 2
1.172,
4
2 2
6.828
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
5,2
2
6
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
5
a =
时，
1
2
5 2
5 2
5
1.465,
5
8.535
2
2
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
，
7,2
2
8
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
综上所述，当
1,2,3
a =
时，
2
2
m
a
−
；当
4
a
时，
2
2
m
a−
．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与x 轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出
顶点纵坐标；
（2）（i）根据点
,
A B 的纵坐标，令
3
2
y =
求出
1
2
,
x x ，即可求出
1x
a
（ⅱ）根据（i）求出
2
1
2
AB
x
x
a
=
−
=
，那么m 不可能超过2
1
a + ，令2
1
2
2
a
a−
+
，可知
6
a
时，
2
2
m
a−
恒成立，故只用对
1,2,3,4,5
a =
依次分类讨论即可．
【小问1 详解】
解：令
0
y =
，求得抛物线与x 轴的两个交点为(
) (
)
0,0 , 2 ,0
a
，
则抛物线的对称轴为
0
2
2
a
x
a
+
=
=
，
把x
a
=
代入抛物线解析式得
(
)
2
3
2
y
a
a
a
a
−
=
解得
3
y =
，即为抛物线顶点的纵坐标．
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【小问2 详解】
解：（i）令
3
2
y =
，可得(
)
2
2
2
a
x
a
x
−
=
，
即
2
2
2
0
2
a
x
ax
−
+
=
，
1
2
x
x
，
故解得
1
2
2
2
2
2
,
2
2
x
a x
a
−
+
=
=
，
1
2
2
2
x
a
−
=
；
（ⅱ）略
