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第1页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 2026 年北京市初中学业水平考试 数学试卷 考生须 知 1．本试卷共6 页，共两部分，三道大题，28 道小题满分100 分．考试时间120 分钟 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作 答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16 分，每题2 分） 第 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，三角尺的直角顶点在直线l 上．若 ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中仅有 个球，其中有个白球、个黄球，其余都是红球，这 个球除颜色外无其他 差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 第2页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 5. 方程组 的解为（ ） A. B. C. D. 6. 再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水 厂建成后每天能够供应 高品质再生水．若一年按365 天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的 高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点 在射线 上，在射线 上截取 ，分别以 、为圆心， 长为半径画弧，两 弧相交于点 ．连接 ， ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系 中，点 ， ．若点C 不与点A 重合，且以B，O，C 为顶点的 三角形与 全等，则称C 为B 的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y 轴上都有B 的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x 轴上有B 的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B 的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B 的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16 分，每题2 分） 9. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是________． 10. 分解因式： ________． 11. 在凸五边形 中， ， ，则 ________ ． 12. 某学校共有2000 名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽 取了100 名学生进行调查，数据整理如下： 第3页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 每周体育活动时间 学生人数 3 7 55 24 11 学校建议，每周体育活动时间小于 的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000 名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________． 13. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．若 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）． 14. 如图， 的两条对角线相交于点O．已知 的面积为 ， 的长为 ，当 的长为 ________时， 是菱形． 15. 如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正半轴上的点 作 轴的平行线，分别交函数 和 的图象于点 、，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 交 轴于点 ，则 的 值为________． 16. 如图所示，公路旁自西向东依次有 ， ，…， 共6 处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住 宅各有1 名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自 家住宅沿公路步行至该车站乘车，6 名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为 ，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为 ， 校车从 处至学校的行驶时间为 ．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行 第4页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在 处，则住在 处的学生的理想通勤时间为________ ； （2）若当车站设在 处时这6 名学生的理想通勤时间之和最小，则 ________． 三、解答题（共68 分，第17~19 题每题5 分，第20 题6 分，第21 题5 分，第22 题6 分，第 23 题5 分，第24 题6 分，第25 题5 分，第26 题6 分，第27~28 题每题7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： ． 18. 解不等式组： ． 19. 已知 ，求代数式 的值． 20. 如图，在 中， ，D，E 分别为 ， 的中点， ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ， ，求四边形 的面积． 21. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ． （1）求 ， 的值； （2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写出 的取值范围． 22. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A 类机器人）与遥控机器人（以下称B 类机器人） 在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A 类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B 类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的 倍． 第5页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 已知比赛中，一台A 类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为 ；一台B 类机器人起跑 后，前 保持匀速，速度是这台A 类机器人的 倍，之后原地维护 ，维护后匀速跑至终点， 速度比维护前增加了 ，完赛成绩为 ．求这台A 类机器人的速度和此次比赛从起点到终点 的路程． 23. 若干名学生参加编程比赛，比赛共8 轮，每轮有3 道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分 为整数）．已知甲、乙两名学生8 轮得分的情况如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲8 轮得分的平均数为________，乙8 轮得分的平均数为________； （2）记甲、乙8 轮得分的方差分别为 和 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）； （3）如果丙8 轮得分的中位数为 ，那么丙8 轮得分的平均数是不是一定大于乙8 轮得分的平均数？若 是，请说明理由；若不是，请举出反例． 24. 如图，过点P 作 的两条切线，切点分别为A，B， 为 的直径，过点B 作 的垂线，垂足 为E，交 于点D，连接 ， ． （1）求证： ； （2）连接 交 于点F，若 ， ，求 的长． 25. 在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的 饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在 溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小 第6页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝 酸钠）的溶解度曲线，如下所示： 温度 甲的 溶解 度 （1）根据表中数据，在图中画出 范围内甲的溶解度曲线； （2）当温度为________ （精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为 ．在该温度下．将 乙加 入 水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至 ，此时会有________ （精确到个位）乙从水 中析出； （3）当温度为 时，小云将 甲加入到装有 水的号杯中，将 乙加入到装有 水的 号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两 种方案： 方案一：将温度提升至 ，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解； 方案二：保持温度不变，向号杯中再加入 水，向 号杯中再加入 水，充分搅拌后使两种物质均 能全部溶解． 第7页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 ①方案一中， 的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中， 的最小值为________（精确到个位）． 26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，对称轴为 ． （1）求b 的值，并用含a 的式子表示c； （2）已知M 是抛物线 上的点，M 的横坐标为t，抛物线 的顶点为M，且可以由抛物线 平移得到 （特别地，当M 是 的顶点时， 即为 ）．若无论t 为何值，抛物线 都不经过点O，求a 的取值范 围． 27. 在 中， ， ，过 的中点 作 的垂线，交 于点 ，点 在 的延长线上， ． （1）如图， ，求证： ； （2）如图 ，点 在 的延长线上， ，连接 ， ，直接写出 的大小，并证 明． 28. 对于不共线的三点A，B，C，连接 ， ，并作劣弧 ，使得 所在圆的圆心在过点A 且与 平行的直线上，称由 ， 和 组成的图形为单弧三角形，记作 ，其中 所在圆的圆心 称为 的弧心． 在平面直角坐标系 中， 第8页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 （1）如图1，点 ， ， ，直接写出 的弧心的坐标及 的长； （2）如图2，点 ， ，当 的弧心为O 时，求点F 的坐标； （3）已知点 ，对于平面内的点N，存在点P，Q 满足 和 的弧心均为O， 和 都不是钝角三角形，且 ，记N 的横坐标为t，直接写出t 的取值范围．
