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第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 数学试题 一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的． 1. 福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为01 ∶，丙队与丁 队的比赛结果为2 0 ∶．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作1 −，则丙队的净胜球数应记作（ ） A. 2 − B. 1 − C. 1 + D. 2 + 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026 年5 月24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行 速度接近地球第一宇宙速度7900 米/秒．数据7900 用科学记数法表示为（ ） A. 4 0.79 10 B. 3 7.9 10 C. 2 7.9 10 D. 2 79 10 4. 福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期．土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西 南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念．图1 是福建众多土楼中的一座圆形土楼．图2 为其示 意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 0 a b + B. 0 a b − C. 0 ab D. 0 a b 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 6. 下列各点中，在函数 1 y x = 图象上的点是（ ） A. ( ) 1,1 B. ( ) 1,2 C. ( ) 2,1 D. ( ) 2,2 7. 古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已 知秋千的绳索长𝑂𝐴= 6 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点A处，𝑂𝐴 与地面BD 垂直，踏板离地面的高度 1 AB = 尺．当踏板从A处绕点𝑂 运动到𝐶 处时，踏板离地面的高度 4 CD = 尺， 则秋千的绳索荡过的 AOC 的大小为（ ） A. 30 B. 45 C. 60° D. 75 8. 为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8 个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图 所示．这8 个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（ ） A. 7，7 B. 7，7.5 C. 7.5，7 D. 7.5，7.5 9. 如图，𝐴𝐵 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，𝐴𝐶 交 O 于点D．若AD CD = ，则tanA 的值是 （ ） A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 10. 已知抛物线 2 2 y x nx = − 经过点( ) 3, A a ，( ) 5, B b ．若a b ，且 0 ab ，则𝑛 的取值可以是（ ） 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6 小题，每小题4 分，共24 分． 11. 一组数据9，8，5，2，1，1 的众数是____________． 12. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在𝐴𝐵 外选择一点C，连接𝐴𝐶 和𝐵𝐶 ，分别取𝐴𝐶 和𝐵𝐶 的中点M，N， 测得 100 MN = 米，则A，B 两点间的距离是____________米． 13. 因式分解： 2 2 x y − = __________． 14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中 90 B DFC = = ， 30 BAE = ， 45 CDF = ，四边形ABCD 恰好为矩形，点E，F 分别在BC ，AE 上，则 AFD 等于____________ 度． 15. 已知实数p ，q 满足1 1 1 p q + = ，则( )( ) 1 1 p q − − 的值为____________． 16. 由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的19 20 和9 10 ．一件重80 克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的15 16 ，若实心的纯金和纯 银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的19 20 和9 10 计算，则这件金银饰品中含金____________克． 三、解答题：本题共9 小题，共86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 2 4 3 2 + −− ． 18. 如图，ABC 是等边三角形，BD BC ⊥ ，CE BC ⊥ ，BD CE = ．求证：AD AE = ． 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 19. 解不等式组： ( ) 2 1 3 5 2 1 x x x − − + ① ② 20. 如图，四边形ABCD是矩形，AB BC ，点𝐸 在AD 的延长线上． （1）求作点F ，使点F 在AD边上，且 2 AFB EBC = ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹） （2）在（1）的条件下，若 4 AB = ， 6 BC = ， 2 DE = ，求AF 的长． 21. 一个不透明的盒子中有1 个标号为0 的黄球 0a ，2 个标号分别为1，2 的红球 1b ，2b ，1 个标号为3 的白 球 3c ，这些球除颜色和标号外无其他差别． （1）从盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黄球的概率； （2）从盒子中随机摸出1 个球，不放回，再从中随机摸出1 个球．求摸出的2 个球颜色不同且标号之和小 于4 的概率． 22. 如图，在四边形ABCD 中，𝐸 是𝐴𝐵 上的一点， 90 ADC BCD CED = = = ，CE DE = ．四边 形A B CD 由四边形ABCD 沿𝐶𝐷 翻折得到，点A ，𝐵 ，𝐸 的对应点分别为𝐴′，𝐵′，E．F 是AD 延 长线上的一点，且FE AB ． （1）求证：EA EF = ； （2）若 2 AD = ， 4 DE = ，求AF 的长． 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 23. 阅读下列材料，回答问题． 主 题 探究形如( ) 2 2a b + 的数的整数部分与小数部分的特征 提 出 问 题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式 p 为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的 和，即 p m n = + ，其中𝑚 为整数，0 1 n ．如 ( ) 2 1 2 1 = + − ， ( ) 1 5 2 3 5 − − = + − ．那 么形如( ) 2 2a b + 的数，其整数部分𝑚 与小数部分𝑛 各有什么特征呢？ 探 究 发 现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）( ) ( ) 2 2 1 0 3 2 2 − = + − ；（2）( ) 2 2 1 3 2 2 + = + = ① ( ) 2 2 2 + − ； （3）( ) ( ) 2 2 2 2 0 12 8 2 − = + − ；（4）( ) 2 2 2 2 12 8 2 23 + = + = + ② ； （5）( ) ( ) 2 3 2 4 0 34 24 2 − = + − ；（6）( ) ( ) 2 3 2 4 34 24 2 67 24 2 33 + = + = + − ． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数a ，b 满足0 2 1 a b − ，且( ) 2 2a b + 的整数部分为𝑚 ，小数部分为𝑛 ，则𝑚 必为奇数，且( ) 2 2 1 a b n − − = ． 命 题 证 明 证明：因为( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b a ab b + = + + ，( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b a ab b − = − + ， 所以( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 a b a b a b − + + = + ，即( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 2 a b a b a b − + = + − ． 又因为( ) 2 2a b m n + = + ，且0 1 n ， 所以 ( ) 2 2 2 4 2 2 a b a b m n − + − = + ． 又根据0 2 1 a b − ，可得 ( ) 2 0 2 1 a b − ． 因此，m = ③ ，n = ④ ． 又因为a ，b 均为整数，所以 2 2 4 2 a b + 为偶数， 故𝑚 必为奇数，且( ) 2 2 1 a b n − − = ． 拓 展 问题1 若整数a ，b 满足1 2 2 a b − ，那么( ) 2 2a b + 的整数部分𝑚 是否仍为奇数？证明 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 延 伸 你的结论； 问题2 若整数a ，b 满足 2 1 k a b k − + ，其中k 为整数，且 2 k ，试探究：( ) 2 2a b + 的整数部分𝑚 是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． （1）补全①②③④所缺的内容； （2）解决问题1； （3）解决问题2． 24. 如图，四边形ABCD 内接于 O ，𝐸 是DC 延长线上的一点，𝐸𝐵 的延长线交 O 于点F ， AB BD = ， 60 CBE ABD = = ． （1）求 E 的度数； （2）求证：四边形AFEC 是平行四边形； （3）设CF 交BD 于点𝐺 ，且 2 3 CG FG = ，求BD AC 的值． 25. 已知抛物线 2 y x bx c − = + + ． （1）若 1 b = ， 2 c = ，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线上存在一点( ) 0 0 , P x y 在𝑥 轴上方，求证：抛物线与𝑥 轴有两个交点； （3）抛物线与𝑥 轴交于A，𝐵 两点，与y 轴交于点 ( ) 0,2 C ，直线 2 y bx = + 与 1 y bx − − = 相交于点 𝐷 ，𝐸 是y 轴上不与点𝐶 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA MB MC ME = = = ，试探究𝐶𝐷 和𝐷𝐸 的数量关系，并证明．
