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2026 年广西初中学业水平考试
数学
（全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡
．．．．．．．一并交回．
一、单项选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题列出的四个备选项中，
只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．）
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. 8
B. 5
C. 0
D.
3
−
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的性质：正数大于0，0 大于负数，两个正数比较，数值大的数更大即可求
解．
【详解】解：∵ 8
5
0
3
−
∴ 四个数中最大的数是8．
2. 亮亮计划购买6 筒羽毛球，若每筒a 元，则共需（ ）
A. (
)
6
a +
元
B. (
)
6
a −
元
C. 6a 元
D.
6
a 元
【答案】C
【解析】
【详解】∵购买羽毛球的数量是6 筒，每筒单价是a 元，
又∵总价=单价×数量，
∴总费用为6
6
a
a
=
元．
3. 如图，直线a ，b 相交于点O，若
1
50
=
，则
2
=（ ）
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A. 130
B. 90
C. 50
D. 40
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵直线a ，b 相交于点O，
∴1
与
2
是邻补角，
∵
1
50
=
，
∴
2
180
50
130
=
=
−
．
4. 我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示：
年份x
2021
2022
2023
2024
2025
国内生产总值y /亿元
1173823
1234 029
1294 272
1348 066
1401879
国内生产总值y 随年份x 的变化而变化，当
2025
x =
时，y = （ ）
A. 1173823
B. 1294 272
C. 1348 066
D. 1401879
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查表格数据的读取，只需从表格中找到
2025
x =
对应的y 值即可得到答案．
【详解】解：由题中表格可知，x 表示年份，y 表示对应年份的国内生产总值．
当
2025
x =
时，
1401879
y =
．
5. 为促进学生全面而有个性的发展，某校开设了“书法”“武术”“剪纸”“ AI 启蒙”等四门校本特色课
程，学生选课结果的统计图如图所示，则选择“ AI 启蒙”课程的占比为（ ）
A. 40%
B. 30%
C. 25%
D. 20%
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【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形统计图中各部分百分比之和为1，用1减去其他三门课程的占比即可求解．
【详解】解：由图可知，书法占比20%，武术占比20%，剪纸占比30%．
扇形统计图中各部分占比之和为1，
选择“ AI 启蒙”课程的占比为1 20% 20% 30%
30%
−
−
−
=
．
6. 计算：
3
10·
m
m = （ ）
A.
3
m
B.
7
m
C.
10
m
D.
13
m
【答案】D
【解析】
【详解】解：
10
3
10 3
13
m
m
m
m
+
=
=
．
7. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是ABC
的高的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断．
【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断：
A．作的是
BAC
的角平分线，AD是ABC
的角平分线，不符合题意；
B． 作的是AD
BC
⊥
，AD是ABC
的高，符合题意；
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C． 作的是BC 边上的垂直平分线，AD是ABC
的中线，不符合题意；
D． 作的是
BAD
B
=
，AD不是ABC
的高，不符合题意．
8. 因式分解：
2
2
3
a
a
−
= （ ）
A.
(
)
2
3
a
a −
B.
(
)
2
3
a
a +
C.
(
)
3
a a −
D.
(
)
3
a a +
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果．
【详解】解：
(
)
2
2
3
2
3
a
a
a
a
−
=
−
．
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于y 轴对称，点M 与点N 是对应点，则下列选项中的点，
到M ，N 两点的距离相等的是（ ）
A. 点
(
)
2,2
P
B. 点
(
)
1, 2
Q
−
C. 点
(
)
0, 1
R
−
D. 点(
)
1, 2
S −−
【答案】C
【解析】
【分析】根据蝴蝶图关于y 轴对称，点M 与点N 是对应点，所以线段MN 被y 轴垂直平分，结合选项，即
可求解．
【详解】解：因为蝴蝶图关于y 轴对称，且点M 与点N 是对应点，所以线段MN 被y 轴垂直平分．
根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等．
选项中只有
(
)
0, 1
R
−
位于y 轴上，因此
(
)
0, 1
R
−
到M，N 两点的距离相等．故选C．
10. 方程
1
2
x
x
+ =
的解是（ ）
A.
4
x =
B.
3
x =
C.
2
x =
D.
1
x =
【答案】D
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【解析】
【分析】本题考查分式方程的求解，按照解分式方程的步骤，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解
后检验即可得到结果．
【详解】解：
1
2
x
x
+ =
，
方程两边同乘x 得，
1
2
x
x
+ =
解得，
1
x =
，
检验，当
1
x =
时，分母
1
0
x =
，符合要求，
因此
1
x =
是原方程的解．
11. 已知点(
)
1
2,
A
y
−
，(
)
2
1,
B
y
在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，则
1y ，
2y 满足（ ）
A.
1
2
2
0
y
y
+
=
B.
1
2
2
0
y
y
+
=
C.
1
2
2
0
y
y
−
=
D.
1
2
2
0
y
y
−
=
【答案】A
【解析】
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用k 表示出
1y 和
2y ，再整理得到二者的
关系式即可．
【详解】解：∵点(
)
1
2,
A
y
−
，(
)
2
1,
B
y
在反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象上，
∴将点坐标代入解析式得：
1
2
2
k
k
y =
= −
−
，
2
1
k
y
k
=
=
，
由
1
2
k
y = −
变形得
1
2
k
y
= −
，
又∵
2
k
y
=
，
∴
2
1
2
y
y
= −
，
移项得
1
2
2
0
y
y
+
=
．
12. 在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形ABCD中剪去一
个菱形EMFD 得到如图2 的基本图形，图2 经过旋转、拼接得到图3，图3 经过平移、拼接得到图4．若
2
AB =
，点E ，F 分别为AD，CD的中点，则图1 中阴影部分的面积是（ ）
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A. 2 3
B. 3 3
2
C.
3
D.
3
2
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得
120
B
D
=
=
，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积
减去小菱形的面积即可．
【详解】解：由图3 可得3
360
B
=
，
120
B
=
，
在菱形ABCD中，
,
,
AB
BC
CD
AD AD
BC AB
CD
=
=
=
∥
∥
，
180
120
60
A
=
−
=
，
作DG
AB
⊥
于G ，交EM 于H ，
四边形EMFD 是菱形，
EM
CD
∥
，
EM
AB
CD
∥
∥
，
DH
EM
⊥
，
60
DEM
A
= =
，
Rt ADG
中，
3
sin
2
3
2
DG
AD
A
=
=
=
，
点E ，F 分别为AD，CD的中点，
1
DE
MF
EM
DF
=
=
=
= ，
同法可求得
3
2
DH =
，
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3
3 3
2
3
1
2
2
ABCD
DEMF
S
S
S
=
−
=
−
=
形
形
阴影
菱
菱
．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分．）
13. 计算：(
)
2
6
= ___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：(
)
2
6
6
=
，
故答案为：6 ．
14. 四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同．将风景面朝
下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是__________．
【答案】1
4
【解析】
【分析】本题考查简单概率的计算，先确定所有等可能结果的总数，再确定符合要求的结果数，代入概率
公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，共有4 张不同的明信片，抽取时每张被抽到的可能性相等，
即共有4 种等可能的结果，其中抽到涠洲岛明信片的结果只有1种，
∴抽到涠洲岛明信片的概率为1
4 ．
15. 二次函数
2
(
20)
26
y
x
=
−
+
的最小值为__________．
【答案】26
【解析】
【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最
小值．
【详解】解：由二次函数解析式
2
(
20)
26
y
x
=
−
+
可知，该解析式为顶点式，二次项系数
1
0
a =
，
因此抛物线开口向上，函数存在最小值，
该二次函数的顶点坐标为(
)
20,26 ，
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因此当
20
x =
时，二次函数取得最小值26 ．
16. 如图，在正方形ABCD中，E 为CD边上一点，连接AE ，BE ．若
4
AB =
，
1
tan
4
DAE
=
，则BE =
___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB
BC
CD
AD
=
=
=
，根据
1
tan
4
DAE
=
可求得DE ，进而可求得CE ，
根据勾股定理即可求得BE ．
【详解】解：在正方形ABCD中，
4
AB =
，
4
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
90
C
D
=
=
，
1
tan
4
DAE
=
，即
1
4
DE
AD =
，
1
DE
= ，
3
CE
CD
DE
=
−
= ，
Rt
CBE
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
BE
BC
CE
=
+
=
+
=
．
三、解答题（本大题共7 小题，共72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算和解不等式
（1）计算：
(
)
9
4
2
+ −
；
（2）解不等式：2
1
5
x −
．
【答案】（1）1
（2）
3
x
【解析】
【小问1 详解】
解：
(
)
9
4
2
+ −
9 8
= −
1
= ；
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【小问2 详解】
解：2
1
5
x −
移项得，2
5 1
x + ，
合并同类项得，2
6
x
，
系数化成1 得
3
x
．
18. 广西横州拥有全球规模最大的茉莉花生产基地，通江达海的平陆运河将助力茉莉花香飘世界．某校组织
八年级7 个班到茉莉园开展“香约茉莉·跃动韶华”主题研学．研学期间，恰逢茉莉园举行茉莉花美食评选
活动，应园区邀请，每班各派一名学生代表本班对茉莉花饼、茉莉奶冻、茉莉蛋糕、茉莉茶酥等四种美食进
行评分（10 分制），结果汇总如下：
美食
名称
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
学生7
茉莉
花饼
9
8
8
9
10
9
7
茉莉
奶冻
8
9
8
10
9
10
9
茉莉
蛋糕
10
8
8
8
9
9
7
茉莉
茶酥
7
7
10
9
9
7
8
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出茉莉茶酥评分的中位数、众数；
（2）每道美食的得分为去掉一个最低分和一个最高分后的平均分，得分越高说明该美食越受学生欢
迎．已知茉莉花饼、茉莉蛋糕、茉莉茶酥的得分分别为8.6，8.4，8，请计算茉莉奶冻的得分，并指出最
受学生欢迎的茉莉花美食．
【答案】（1）中位数为8 分，众数为7 分；
（2）茉莉奶冻的得分为9分，最受学生欢迎的茉莉花美食是茉莉奶冻．
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
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（2）根据题意求出茉莉奶冻的得分，再把四种美食的得分进行比较即可得到答案．
【小问1 详解】
解：把茉莉茶酥评分按照从低到高的顺序排列，第4 个数据为8 分，
∴茉莉茶酥评分的中位数为8 分，
∵茉莉茶酥评分中，得分为7 分的学生人数最多，
∴茉莉茶酥评分的众数为7 分；
【小问2 详解】
解：8
9
9
9 10
9
7
2
+
+
+
+
=
−
（分），
∴茉莉奶冻的得分为9 分，
∵8
8.4
8.6
9
，
∴茉莉奶冻的得分最高，
∴最受学生欢迎的茉莉花美食是茉莉奶冻．
19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长AB 至点E ，使得BE
AB
=
，连接BD，CE ．
（1）求证：ABD
BEC
≌
；
（2）若
30
A
=
，AD
DB
⊥
，
1
BD = ，求四边形AECD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
,
AD
BC AD
BC
=
∥
∴
A
CBE
=
∵BE
AB
=
∴
(
)
SAS
ABD
BEC
≌
（2）3
7
+
【解析】
【分析】（1）通过平行四边形的性质结合SAS证明即可；
（2）先根据30 度直角三角形的性质以及勾股定理求解
2,
3
AB
AD
=
=
，再由平行四边形的性质以及全
等三角形的性质求解即可．
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【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：∵
30
A
=
，AD
DB
⊥
，
1
BD = ，
∴
2
2
AB
BD
=
=
∴
2
2
2
2
2
1
3
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
∵四边形ABCD是平行四边形，ABD
BEC
≌
∴
2,
1
CD
AB
BE
BD
CE
=
=
=
=
=
∴四边形AECD的周长
3
2 1 2
2
3
7
AD
DC
CE
BE
AB
=
+
+
+
+
=
+ + + +
=
+
20. 图1 是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度MN ．
如图2，MN 所在直线垂直地面于点A，甲把光源放置于点B 处，BC 垂直地面于点C ，点A，C 在同一
水平线上，乙沿CA 方向移动平面镜，移到点D 时，从点B 发出的光线反射到点M 处；移到点E 时，从点
B 发出的光线反射到点N 处．经测量：
1.5
BC =
米，
12
AC =
米，
2
CD =
米，
2
DE =
米，记点D ，E
处的法线分别为SD ，TE ，即SD
AC
⊥
，TE
AC
⊥
，根据光的反射定律，MDS
BDS
=
，NET
BET
=
．
（1）求证：
MDA
BDC
=
；
（2）求此公益广告牌的高度MN ．
【答案】（1）
证明：∵SD
AC
⊥
，
∴
90
SDC
SDA
=
=
，
∵
MDS
BDS
=
，
∴
SDC
BDS
SDA
MDS
−
=
−
，
∴
MDA
BDC
=
；
（2）4.5 米
【解析】
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【分析】（1）根据垂直的意义得到
90
SDC
SDA
=
=
，得到结合
MDS
BDS
=
进行求证即可；
（2）通过MDA
BDC
∽
和
BCE
NAE
△
∽△
求出
,
MA NA，再由MN
MA
NA
=
−
求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：由题意得，
,
BC
AC MA
AC
⊥
⊥
，
∴
BCD
MAD
=
，
∵
MDA
BDC
=
，
∴MDA
BDC
∽
，
∴BC
CD
MA
AD
=
，
∵
1.5
BC =
米，
12
AC =
米，
2
CD =
米，
∴1.5
2
12
2
MA =
−
，
∴
7.5
MA =
（米），
同理可得，
BCE
NAE
△
∽△
，
∴BC
CE
NA
AE
=
，
∵
2
DE =
米，
∴1.5
2
2
12
2
2
NA
+
=
−−
，
∴
3
NA =
（米），
∴
7.5 3
4.5
MN
MA
NA
=
−
=
−=
（米）．
答：公益广告牌的高度MN 为4.5 米．
21. 综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100 米和200 米、110 米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风
速超过2 m/s ，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100 米比
赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
【模型假设】假设1：用w （单位：m/ s ）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
（1）逆风风速1 m / s 记为____m/ s ．
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假设2：风速w 影响下的成绩记为T（单位：s ），零风速状态下的成绩记为
0T （单位：s ）．成绩变化量
0T
T
−
记为y ，y 与w 的关系用函数近似描述．
（2）描述y 与w 关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合
0T 和T 的关系解释原因．
假设3：用二次函数
2
y
aw
bw
=
+
描述y 与w 的关系．
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：
2
0.004
0.07
y
w
w
= −
+
．
【模型应用】
（3）请你估计顺风风速2 m / s 时的成绩变化量y ．
（4）某运动员在专项训练前后各参加了一次100 米比赛，第一次在顺风2 m / s 的条件下跑出11.12 s 的成
绩，第二次在逆风1 m / s 的条件下跑出11.30 s 的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的
竞技水平是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2 m / s 以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函
数模型．
【答案】（1）1
−
（2）
理由如下：∵坐标原点为(0,0) ，对应风速
0
=
w
表示零风速，此时风速影响下的成绩T 就是零风速下的成
绩
0T ，即
0
T
T
=
∴
0
0
y
T
T
=
−
=
∴函数图象经过坐标原点
（3）0.124s
（4）该运动员训练后的竞技水平有提升
【解析】
【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果；
（2）根据原点对应的风速w 和y 的实际意义，结合
0T 与T 的关系推导说明.；
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量；
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升．
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【小问1 详解】
解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示，
∴逆风风速1m/ s 记为1m/s
−
．
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
已知二次函数模型为
2
0.004
0.07
y
w
w
= −
+
，
将
2
w =
代入得：
2
0.004 2
0.07 2
0.016
0.14
0.124
y = −
+
= −
+
=
即顺风风速2m / s 时的成绩变化量y 为0.124s．
【小问4 详解】
解：由题意得
0
y
T
T
=
−
，变形得
0T
T
y
=
+
第一次比赛：顺风
1
2m / s
w =
，成绩
1
11.12s
T =
，
由（3）得
1
0.124s
y =
，则零风速成绩
( )
'
0
11.12
0.124
11.244 s
T =
+
=
第二次比赛：逆风
2
1m / s
w = −
，成绩
2
11.30s
T =
，将
2
1
w = −代入函数得：
2
2
0.004 ( 1)
0.07 ( 1)
0.004
0.07
0.074
y = −
−
+
−
= −
−
= −
则零风速成绩
(
)
( )
''
0
11.30
0.074
11.226 s
T =
+ −
=
∵11.226
11.244
，100 米跑成绩越小说明竞技水平越高
∴该运动员训练后的竞技水平有提升．
22. 如图1，
O
是锐角三角形ABC 的外接圆，
45
BAC
=
，
2
BC =
，BD
AC
⊥
于点D ．
（1）求证：OD 平分
ADB
；
（2）如图2，若以O为圆心，OD 为半径的圆与BC 相切于点E ，求AC 的长及
CBD
的度数．
【答案】（1）证明：连接OA，OB ，
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BD
AC
⊥
，
45
BAC
=
，
90
45
ABD
BAC
BAC
=
−
=
=
，
DA
DB
=
，
OA
OB
=
，DO
DO
=
，DA
DB
=
，
(
)
SSS
DOA
DOB
≌
，
ADO
BDO
=
，
OD
平分
ADB
；
（2）
6
AC =
，
15
CBD
=
【解析】
【分析】（1）连接OA，OB ，证明
(
)
SSS
DOA
DOB
△
≌△
即可；
（2）连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，根据圆周角定理先确定BOC
为等腰直角三
角形，
45
OCB
OBC
=
=
，然后解Rt
BOC
△
求出OC ，再由圆的切线的性质求解OD
OE
=
，再解
Rt ODF
求出OF ，解Rt OCF
求出
OCF
，CF 最后根据垂径定理以及角度和差计算即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，
45
BAC
=
，
2
90
BOC
BAC
=
=
，
OB
OC
=
，
BOC
为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，
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2
sin 45
2
2
2
OC
OB
BC
=
=
=
=
，
以O为圆心，OD 为半径的圆与BC 相切于点E ，
OE
BC
⊥
，
OEB
，OEC
均为等腰直角三角形，
1
1
2
OE
EC
BE
BC
=
=
=
=
，
1
OD
OE
=
=
，
BD
AC
⊥
，OD 平分
ADB
，
45
ODF
ODB
=
=
，
OF
AC
⊥
，
ODF
为等腰直角三角形，
2
2
sin 45
1
2
2
OF
OD
=
=
=
，
2
1
2
sin
2
2
OF
OCF
OC
=
=
=
，
(
)
2
2
2
2
2
6
2
2
2
CF
OC
OF
=
−
=
−
=
，
30
OCF
=
，
OF
AC
⊥
，
2
6
AC
CF
=
=
，
30
OCF
=
，
45
OCB
=
，
30
45
75
ACB
OCF
OCB
=
+
=
+
=
，
BD
AC
⊥
，
90
15
CBD
ACB
=
−
=
．
23. 关于x 的一次函数
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，O是坐标原点．
【性质初探】
（1）y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）；
（2）求证：AOB
的面积为1；
【归纳提炼】我们把形如
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
的一次函数称为“正向积1”函数．
【深入探究】
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（3）图象经过点(
)
2,2 的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理
由；
（4）已知点(
)
,
P m n 不在坐标轴上，若图象过点P 的“正向积1”函数有且只有一个．
①求n 关于m 的函数解析式；
②选取一个符合条件的点P ，并验证该点是线段AB 的中点．
【答案】（1）增大 （2）证明：函数与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，
令
0
x =
，得y
k
=
，
(0, )
B
k
，
|
|
OB
k
=
，
令
0
y =
，得
2
1
0
2 k x
k
=
+
，
0
k
，两边除以k 得1
1
0
2 kx + =
，
解得
2
x
k
= −
，
2 ,0
A
k
−
，
2
|
|
OA
k
=
，
1
1
2
|
| 1
2
2
|
|
AOB
S
OA OB
k
k
=
=
=
（3）存在，函数解析式为
1
1
2
y
x
=
+ 和
2
2
y
x
=
−
（4）①
(
)
1
0
2
n
m
m
= −
；② 示例：点
1
1,
2
P
−
符合条件，验证见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由
0
k
得一次项系数
2
1
0
2 k
，可直接判断增减性；
（2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即
可证明结论；
（3）将点坐标代入函数解析式，得到关于k 的一元二次方程，求解得到非零的k ，即可得到对应函数解析
式；
（4） ① 将点
( , )
P m n 代入函数，整理得到关于k 的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个
相等实根，利用判别式为0 整理即可得到n 关于m 的解析式；
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② 任意取符合条件的点，求出对应函数和
,
A B 坐标，计算中点验证即可．
【小问1 详解】
一次函数为
(
)
2
1
0
2
y
k x
k k
=
+
，
0
k
，
2
0
k
，即
2
1
0
2 k
，
y
随x 的增大而增大.
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解： 将(2,2) 代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得：
2
1
2
2
2 k
k
=
+
，
整理得
2
2
0
k
k
+
−
=
，
解得
1
1
k =
，
2
2
k = −，均满足
0
k
， 因此存在符合要求的函数，
当
1
k = 时，解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
当
2
k
−
=
时，解析式为
2
2
y
x
=
−
.
【小问4 详解】
① 解： 将
( , )
P m n 代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得：
2
1
2
n
k m
k
=
+
，
整理得
2
2
2
0
mk
k
n
+
−
=
，
函数有且只有一个，即关于k 的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式
2
Δ
2
4
( 2 )
4 8
m
n
mn
=
−
−
=
+
，
令Δ
0
=
得4 8
0
mn
+
=
，
P
不在坐标轴上，
0
m
，
整理得
1 (
0)
2
n
m
m
= −
.
② 验证： 取
1
m = ，得
1
1
2 1
2
n = −
= −
，即
1
1,
2
P
−
，
代入
2
1
2
y
k x
k
=
+
得
2
2
1
0
k
k
+
+ =
，
解得
1
k = −，满足
0
k
， 函数解析式为
1
1
2
y
x
=
−，
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令
0
y =
得
2
x =
，
(2,0)
A
，
令
0
x =
得
1
y
−
=
，
(0, 1)
B
−
，
AB 中点坐标为2
0 0
( 1)
1
,
1,
2
2
2
+
+ −
=
−
，与P 坐标一致，因此P 是AB 的中点.
