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数 学
本试题卷共6 页．时量120 分钟．满分120 分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码
上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 某品牌三角板的售价是每副3元，则买a 副这样的三角板需要（ ）
A. 3a 元
B. （3
a
+
）元
C.
3
a 元
D. 3
a 元
【答案】A
【解析】
【详解】解：总费用为3
3
a
a
=
元．
2. 如图，该电池的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：该电池的主视图是
．
3. 水的化学式是
2
H O ，其中氢元素的化合价是1
+ ，氧元素的化合价是2
−．计算(
)
(
)
1
2
2
+
+ −
的结果
是（ ）
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A.
1
−
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解：(
)
(
)
1
2
2
2
2
0
+
+ −
=
−
=
．
4. 已知点P 在数轴上的位置如图所示，则点P 表示的数可能是（ ）
A. 4
3
B.
2
C. 3
2
D.
5
【答案】D
【解析】
【分析】设点P 表示的数为a，由数轴可知，2
3
a
，根据4
1.333
3
，2
1.414
，3
1.5
2 =
，
5
2.236
即可得出答案，
【详解】解：设点P 表示的数为a，
由数轴可知，2
3
a
，
∵4
1.333
3
，2
1.414
，3
1.5
2 =
，5
2.236
，
∴点P 表示的数可能是5 ．
5. 已知
0
a
，
0
b
，且
2
2
(
)n
ab
a b
=
，则n 的值是（ ）
A.
2
−
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出n 的值．
【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得(
)n
n
n
ab
a b
=
，
又∵
2
2
(
)n
ab
a b
=
，且
0
a
，
0
b
，
∴
2
2
n
n
a b
a b
=
，对应指数相等，可得
2
n =
．
6. 若
1
x = 是分式方程2
3
x
a
x
+
=
的解，则a 的值是（ ）
A.
1
−
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】C
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【解析】
【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于a 的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】
1
x =
是分式方程2
3
x
a
x
+
=
的解，
将
1
x =
代入原方程，可得2 1
3
1
a
+
=
，
整理得2
3
a
+
=
，
解得
1
a = ．
7. 在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上
洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ）
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 3
4
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵ 共有4 张完全相同的卡片，
∴所有等可能的抽取结果总数为4 ，
∵抽中“湘剧”卡片的结果数为1，
∴ 恰好抽中“湘剧”卡片的概率为
1
4
P =
．
8. 如图，在四边形ABCD中，连接BD．若
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，则下列说法
正确的是（ ）
A.
2
BC
AD
=
B.
135
ADC
=
C. AD
BC
D. BD平分
ABC
【答案】B
【解析】
【分析】因为
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，可得
2
BC
BD
=
，
90
30
60
CBD
−
=
=
，
45
ABD
ADB
=
=
，逐项判断即可．
【详解】解：∵
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，
∴
2
BC
BD
=
，
90
30
60
CBD
−
=
=
，
45
ABD
ADB
=
=
，
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∴
90
45
135
ADC
=
+
=
，故B 选项正确；
∵
CBD
ABD
，∴BD不平分
ABC
，故D 选项错误；
∵
CBD
ADB
，∴AD与BC 不平行，故C 选项错误；
∵
2
2
BC
BD
AD
=
，故A 选项错误．
9. 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC 的斜边AB 经过原点O，连接OC ．已知OA
OC
=
，若
点A的坐标为(
)
1,0 ，则点B 的坐标为（ ）
A. (
)
1,0
−
B. (
)
0, 1
−
C. (
)
0,1
D. (
)
2,0
−
【答案】A
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得到
OCA
OAC
=
，可证明
OCB
OBC
=
，得到OB
OC
=
，则可证
明OB
OA
=
，再根据点A 的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵OA
OC
=
，
∴
OCA
OAC
=
，
由题意得
90
ACB
=
，
∴
90
90
OCA
OCB
OAC
OBC
+
=
+
=
，
，
∴
OCB
OBC
=
，
∴OB
OC
=
，
∴OB
OA
=
，
∵若点A的坐标为(
)
1,0 ，
∴
1
OA = ，
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∴
1
OB = ，
∴点B 的坐标为(
)
1,0
−
．
10. 门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC 与AB 垂直，门CD可绕C 旋转，F 是门CD 与门吸
EF 的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF
AB
⊥
于点E ．已知AC
a
=
，EF
b
=
，
ACF
=
，且a
b
，则门吸EF 离墙AC 的距离AE 为（ ）
A.
tan
a
B. (
)sin
a
b
−
C. (
)cos
a
b
−
D. (
)tan
a
b
−
【答案】D
【解析】
【分析】过点F 作FG
AC
⊥
于点G，证明四边形AEFG 是矩形，得到
,
,
AE
FG AG
EF
b
=
=
=
则
,
CG
a
b
−
=
根据tan
GF
CG
=
得到
(
)
tan
tan
FG
CG
a
b
−
=
=
，即可求出AE ．
【详解】解：过点F 作FG
AC
⊥
于点G，
∵
,
,
AC
AB EF
AB FG
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴四边形AEFG 是矩形，
∴
,
,
AE
FG AG
EF
b
=
=
=
∵AC
a
=
，
∴
,
CG
AC
AG
a
b
−
−
=
=
在Rt CGF
中，
GCF
ACF
a
=
=
，
∴tan
GF
CG
=
，
∴
(
)
tan
tan
FG
CG
a
b
−
=
=
，
∴
(
)tan
AE
FG
a
b
−
=
=
．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分．
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11. 化简：3
2
a
a
+
=________
【答案】5a
【解析】
【详解】解：3
2
5
a
a
a
+
=
．
12. 因式分解：
2
25
t −
= ________
【答案】(
)(
)
5
5
t
t−
+
【解析】
【分析】利用平方差公式：
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
−
=
+
进行因式分解．
【详解】
(
)(
)
2
25
5
5
t
t
t−
−
=
+
．
13. 已知
2
4
0
x
x
−
=
，则代数式
2
2
8
2026
x
x
−
+
的值是________．
【答案】2026
【解析】
【分析】将代数式前两项提取2 进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵
2
4
0
x
x
−
=
，
∴
(
)
2
2
2
8
2026
2
4
2026
2 0
2026
2026
x
x
x
x
−
+
=
−
+
=
+
=
．
14. 如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C 是离B 最远的顶点，则
ABC
= ________°．
【答案】120
【解析】
【详解】解：∵图是两个正六边形，
∴每个内角为(
)
6
2
180
120
6
−
=
，
由正六边形的轴对称性可知，
1
60
2
ABD
EBD
=
=
，
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同理可得
60
CBD
=
，
∴
60
60
120
ABC
=
+
=
．
15. 如图，
O
的半径为6 ，若它的周长等于弧AB 的长的6 倍，则阴影部分的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧AB 的长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵
O
的半径为6 ，
∴
O
的周长为2π 6
12
=
，
∵
O
的周长等于弧AB 的长的6 倍，
∴弧AB 的长为2，
∴阴影部分的面积
1
2π 6
6
2
=
=
．
16. 如图，A，B ，C 是反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
图象上三个不同的点，AD
x
⊥
轴于点D．
（1）若C 在OAD
的外接圆上，且A点的坐标是(
)
4,2 ，则tan OCD
= ________；
（2）设E 是线段OA的中点，且BE
y
轴．若BE
mAD
=
，则m = ________．
【答案】 ①. 2 ②. 3
2
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得
OCD
OAD
=
，在Rt OAD
中求tan OAD
即可；
（2）连接BE 并延长，交x 轴于点F ，先根据平行关系得出BE
AD
，根据
, ,
A B E 三点坐标关系得出
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2
BF
AD
=
，再根据相似三角形的相似比得出
1
2
EF
AD
=
，即可求出
3
2
BE
BF
EF
AD
−
=
=
．
【详解】解：（1）
AD
x
⊥
轴，
90
ODA
=
，
4,
2
OD
AD
=
=
，
C
在OAD
的外接圆上，
,
OCD
OAD
所对圆弧均为
OD ，
tan
tan
2
OD
OCD
OAD
AD
=
=
=
．
（2）如图，连接BE并延长，交x 轴于点F ，
设
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，由E 是线段OA的中点得
1
1
,
2
2
x
y
E
，
AD
x
⊥
轴，BE
y
轴，
AD
BE
，
,
B E
两点横坐标相同，
1
2
2
x
x
=
，即
1
2
2
x
x
=
,
A B
都在反比例函数上，
1 1
2
2
x y
x y
k
=
=
，
1
2
1
2
y
y
=
，即
2
BF
AD
=
，
AD
BE
∥
，
OEF
OAD
∽
，
1
2
EF
OE
AD
OA
=
=
，
1
2
2
BF
BE
EF
BE
AD
AD
=
+
=
+
=
，
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3
2
BE
AD
=
，
3
2
m
=
．
三、解答题：本题共8 小题，共72 分．解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤．
17. 计算：
2
2sin30
3
2
+ −+
．
【答案】8
【解析】
【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案．
【详解】解：
2
2sin30
3
2
+ −+
1
2
3
4
2
=
+ +
1 3 4
= + +
8
=
．
18. 解不等式组：
(
)
2
1
2
1
4
x
x
−
+
①
②
【答案】
3
x
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终
解集．
【详解】解：解
2
1
x−
移项得
1 2
x +
解得
3
x
解(
)
2
1
4
x +
两边同时除以2 得
1
2
x+
移项得
2 1
x
−
解得
1
x
根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得
3
x
因此原不等式组的解集为
3
x
．
19. 我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果
大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29 万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第
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一代治沙人的治沙面积．
【答案】第一代治沙人的治沙面积为8 万亩
【解析】
【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x 万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3 倍还多5 万
亩”，列方程求解即可．
【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x 万亩，
根据题意得
3
5
29
x+ =
，
解得
8
x =
，
答：第一代治沙人的治沙面积为8 万亩．
20. 如图，在等腰OAB
中，OA
OB
=
．在OA上取一点E ，以O为圆心，OE 的长为半径画弧，交OB
于点F ；分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，在
AOB
内两弧交于点P ；作射线OP 交
AB 于点C ；以O为圆心，OC 的长为半径作
O
．
（1）求证：AB 与⊙O相切；
（2）已知
10
OA=
，
12
AB =
，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：由尺规作图的作法可知，射线OP 是
AOB
的角平分线，
∵OA
OB
=
，
∴OAB
是等腰三角形，
∴OC
AB
⊥
，
又∵OC 是
O
的半径，且点C 在AB 上，
∴AB 与
O
相切；
（2）
O
的半径为8
【解析】
【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线OP 平分
AOB
；又OA
OB
=
，OAB
为等腰三角形，根据等
腰三角形“三线合一”性质，可得OC
AB
⊥
．因OC 是
O
的半径，且点C 在直线AB 上，即可证AB
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与
O
相切；
（2）由OA
OB
=
、OC
AB
⊥
，根据三线合一可知OC 是底边AB 的中线，则可得
6
AC =
．在
Rt OAC
中，运用勾股定理即可求出
O
的半径．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：∵OAB
是等腰三角形，且OC
AB
⊥
，
∴OC 是底边AB 的中线，
∴
1
1 12
6
2
2
AC
AB
=
=
=
，
在Rt OAC
中，
2
2
2
2
10
6
8
OC
OA
AC
−
=
=
−
=
，
∴
O
的半径为8 ．
21. 科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，
随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下：
调查问卷
整理与描述
学生选择参与的科技活动项
目调查问卷
你选择参与的科技活动项目
是（ ）（单选题）
A．小发明 B．小制作
C．小实验 D．小论文
学生选择参与的科技活动项目统计图
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）本次问卷调查中，参与调查的学生有____人；
（2）在扇形统计图中，项目C 对应的圆心角的度数为____；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校有1200名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该
校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
（5）该学校准备给四个科技活动项目设置80 个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的
奖励名额．
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【答案】（1）100 （2）90
（3）
（4）该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180 人
（5）小发明分配8 个名额，小制作分配40 个名额，小实验分配20 个名额，小论文分配12 个名额
【解析】
【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可；
（2）由项目C 占总人数的百分比即可求出其圆心角；
（3）先求出项目A 的人数，再进行补全即可；
（4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数；
（5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可．
【小问1 详解】
解：由条形统计图可知，选择B 项目的学生有50 人；由扇形统计图可知，B 项目人数占总人数的50%，
∴总人数为50 50%
100
=
（人）；
【小问2 详解】
解：由条形统计图可知，选择C 项目的学生有25 人，
∴其圆心角度数为
25
360
90
100
=
；
【小问3 详解】
解：由题意得，A 项目的人数为100 50
25 15
10
−
−
−
=
（人）；
【小问4 详解】
解：由题意得，选择小论文的人数约为：
15
1200
180
100
=
（人）；
【小问5 详解】
解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80 个奖励名额，
∴A 项目的奖励名额为：
10
80
8
100
=
（个）；
B 项目的奖励名额为：
50
80
40
100
=
（个）；
C 项目的奖励名额为：
25
80
20
100
=
（个）；
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D 项目的奖励名额为：
15
80
12
100
=
（个），
答：小发明分配8 个名额，小制作分配40 个名额，小实验分配20 个名额，小论文分配12 个名额．
22. 某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜
边的等腰直角三角形．如图2 ，该阅读室摆放了5行8 列共40 套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘
制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6 米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁
无间隙．
（1）如图1，连接FH ，则FH =________米，取2
1.414
，EH ________米（结果保留一位小
数）；
（2）求阅读室的长与宽；
【问题解决】
（3）调整桌椅摆放方向如图3所示（EH 平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4 ，相邻两排
桌椅间的过道宽度仍为0.6 米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否
摆下60 套桌椅，并说明理由．
【答案】（1）2.4，1.7
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（2）长为23.4 米，宽为14.4米
（3）解：可以摆下
理由：设横向摆放x 套桌椅，纵向摆放y 套桌椅，
根据题意，得
(
)
1.7
0.6
1
23.4
0.5 2
x
x−
+
−
，
解得
10
x
，
∴最大整数x 为10，
根据题意，得
(
)
1.7
0.6
1
14.4
0.5 2
y
y−
+
−
，
解得
2
6 23
y
，
∴最大整数y 为6，
∵10 6
60
=
，
∴可以摆下．
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出FH ，根据勾股定理求EH 即可；
（2）根据长为8 个FH 的长加上7 个过道；宽为5 个FH 的长加上4 个过道求解即可；
（3）设横向摆放x 套桌椅，纵向摆放y 套桌椅，根据x 个EH 的长加上(
)
1
x−
个过道不超过总长度减去靠
墙的两个过道，列不等式求出整数x 的最大值，根据y 个EH 的长加上(
)1
y−
个过道不超过总宽度减去靠
墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出xy 的最大值，然后与60 比较，即可得出结论．
【小问1 详解】
解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴EA
FA
ED
DH
=
=
=
，
90
E
=
，
∴
2
2.4
FH
AD
=
=
（米），EF
EH
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
2.4
EF
EH
EH
FH
+
=
=
=
，
∴
2.4
1.7
2
EH =
（米）；
【小问2 详解】
解∶阅读室的长为
(
)
2.4 8
0.6
8 1
23.4
+
−
=
（米），宽为
(
)
2.4 5
0.6
5 1
14.4
+
−
=
（米）
【小问3 详解】
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略
23. 如图1，公路1l 与铁路2l 垂直交汇于河岸O点处，公路1l 与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB 段为
抛物线的一部分，AB 段为线段，
7km
OA =
，
5km
AB =
，点B 到公路1l 的距离
3km
BD =
，抛物线的
顶点C 到公路1l 与铁路2l 的距离分别为4 km 与2 km ．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路1l
围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2 ，栅栏EF 紧挨公
路1l （与公路1l 的距离忽略不计），栅栏EH
EF
⊥
，点H 在该段抛物线上；栅栏FG
EF
⊥
，点G 在线段
AB 上．以点O为坐标原点，直线1l 与2l 分别为x 轴与y 轴，规定1个单位长度为1 km ，建立平面直角坐
标系．
（1）请直接写出点B 的坐标；
（2）分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
2
EH
FG
=
，已知建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅
栏需花费17 万元．求栅栏EH 到铁路2l 的距离．
【答案】（1）
(3,3)
B
（2）直线AB 的函数表达式为：
3
21
4
4
y
x
−
=
+
；抛物线OCB 的函数表达式为：
2
4
y
x
x
−
=
+
（3）1 km
【解析】
【分析】（1）由
7km
OA=
确定
(7,0)
A
，利用勾股定理由
5km
AB =
、
3km
BD =
求点B 的横坐标．
（2）用待定系数法分别求直线AB 和抛物线OCB 的解析式．
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为17 km
2
，即
17 km
2
HE
EF
FG
+
+
=
；设
( ,0)
E e
，利用抛物线解
析式写出
(
)
2
,
4
H e
e
e
−
+
，利用直线AB 解析式写出
3
21
,
4
4
G
f
f
−
+
；由
2
EH
FG
=
把f 用e 表示，
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再得到关于e 的一元二次方程，结合
1.5
e
取根，即可得到栅栏EH 到铁路2l （y 轴）的距离．
【小问1 详解】
解：O为原点，1l 为x 轴，
7km
OA=
，
(7,0)
A
，
点B 到1l 的距离
3km
BD =
，
5km
AB =
，
∴
2
2
2
2
5
3
4km
DA
AB
BD
=
−
=
−
=
，
∴
7
4
3km
OD
OA
DA
−
=
=
−
=
，
(3,3)
B
．
【小问2 详解】
解：设直线AB 的函数表达式为：y
kx
b
=
+
，
将
(7,0)
A
、
(3,3)
B
代入得：7
0
3
3
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
3
4
21
4
k
b
−
=
=
，
直线AB 的函数表达式为：
3
21
4
4
y
x
−
=
+
．
顶点C 到1l 的距离为4km，到2l 的距离为2km，
(2,4)
C
，
∴设抛物线OCB 的函数表达式为
2
(
2)
4
y
a x−
=
+
，
将
(0,0)
O
代入得0
4
4
a
=
+
，
解得：
1
a = −，
2
2
(
2)
4
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+
，
抛物线OCB 的函数表达式为：
2
4
y
x
x
−
=
+
．
【小问3 详解】
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解：∵建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费17 万元，
∴栅栏总长为17 km
2
，
17
2
HE
EF
FG
+
+
=
，
设点E 的坐标为( ,0)
e
，且0
3
e
，
点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
1.5
e
，
点H 在抛物线
2
4
y
x
x
−
=
+
上，
(
)
2
,
4
H e
e
e
−
+
，
2
4
HE
e
e
−
=
+
，
设点F 的坐标为( ,0)
f
，且f
e
，
点G 在直线
3
21
:
4
4
AB y
x
−
=
+
上，
3
21
,
4
4
G
f
f
−
+
，
3
21
4
4
FG
f
−
=
+
，
2
EH
FG
=
，
2
3
21
4
2
4
4
e
e
f
−
+
=
−
+
，
整理得：
2
2
8
21
3
e
e
f
−
+
=
，
又
EF
f
e
−
=
，
(
)
2
3
21
17
4
(
)
4
4
2
HE
EF
FG
e
e
f
e
f
−
+
+
= −
+
+
+ −
+
=
，
将
2
2
8
21
3
e
e
f
−
+
=
代入，整理得：
2
5
14
9
0
e
e
−
+
=
，
解得：
1
1
e = ，
2
9
5
e =
，
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1.5
e
，
9
5
e
=
不合题意，舍去，
1
e
= ，
栅栏EH 到铁路2l 的距离为1 km ．
24. 【问题背景】
如图1 ，给定平行四边形ABCD，点P 是AD边上不与A，D 重合的一动点．如图2 ，作XYZ
，使
得XY
AD
=
，且当点P 运动时，保持
X
ABP
=
，
Y
DCP
=
．
【动手操作】
将XYZ
拼接于平行四边形ABCD的上方：
操作一：如图3，使点X 与A重合，点Y 与D 重合，将此时的Z 点记为Q ，作QS
AB
交AD 于点S；
操作二：如图4 ，使点X 与D 重合，点Y 与A重合，将此时的Z 点记为R ，连接RP ．
【问题解决】
（1）如图1 ，当
80
BPC
=
时，
APB
DPC
+
= ________°；
（2）如图3，从结论①，②中选一个给出证明；
①ASQ
BAP
∽
，②DSQ
CDP
∽
；
（3）如图3，在点P 运动过程中，探究线段AP 与线段DS 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4 ，设
4
AD =
，
3
AB =
，当点P 运动时，求PR
PD
+
的最大值．
【答案】（1）100 （2）解：选择①ASQ
BAP
∽
，
证明：∵QS
AB
，
∴
ASQ
BAP
=
，
第19页/共21页
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又
QAS
ABP
=
，
∴ASQ
BAP
∽
；
选择②DSQ
CDP
∽
，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
CD
∥
，AB
CD
=
，
又QS
AB
，
∴QS
CD
，
∴
QSD
PDC
=
，
又
QDS
DCP
=
，
∴DSQ
CDP
∽
；
（3）解：AP
DS
=
，
理由：∵ASQ
BAP
∽
，DSQ
CDP
∽
，
∴SQ
AS
AP
AB
=
①，SQ
DS
DP
CD
=
，
∵AB
CD
=
，
∴SQ
DS
DP
AB
=
②，
由①得AB SQ
AP AS
=
，
由②得AB SQ
DP DS
=
，
∴AP AS
DP DS
=
，
∴
(
)
(
)
AP
AD
SD
AD
AP
DS
−
−
=
，
∴AP AD
AP SD
AD DS
AP DS
−
−
=
，
∴AP AD
AD DS
=
，
∴AP
DS
=
；
（4）49
12
【解析】
【分析】（1）根据平角定义求解即可；
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（2）选择①：根据平行线的性质得出
ASQ
BAP
=
，结合
QAS
ABP
=
即可得证；选择②：根据平
行四边形的性质和平行线的传递性得出QS
CD
，根据平行线的性质得出
QSD
PDC
=
，结合
QDS
DCP
=
即可得证；
（3）根据（2）中∵ASQ
BAP
∽
，DSQ
CDP
∽
，可得出AB SQ
AP AS
=
，AB SQ
DP DS
=
，
则
AP AS
DP DS
=
，
变
形
为
(
)
(
)
AP
AD
SD
AD
AP
DS
−
−
=
，
则
AP AD
AP SD
AD DS
AP DS
−
=
−
，得出AP AD
AD DS
=
，然后根据等式的性质即可得出结论；
（4）根据题意，得图3 中ADQ
和图4 中DAR
全等，得出DQ
AR
=
，由图3 中DSQ
CDP
∽
，得
出QD
DS
PC
CD
=
，结合AP
DS
=
，得出AR
AP
PC
CD
=
，则可证明ARP
CPD
∽
，设PD
x
=
，则
4
AP
x
−
=
，根据相似三角形的性质求出
2
4
3
x
x
PR
−
=
，则
2
4
3
x
x
PR
PD
x
−
+
=
+
，然后根据二次函数
的性质求解即可．
【小问1 详解】
解：∵
80
BPC
=
，
∴
180
100
APB
DPC
BPC
−
+
=
=
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
略
【小问4 详解】
解：根据题意，得图3 中ADQ
和图4 中DAR
全等，
∴DQ
AR
=
，
∵图3 中DSQ
CDP
∽
，
∴QD
DS
PC
CD
=
，
由（3）知：AP
DS
=
，
∴AR
AP
PC
CD
=
，
又
RAP
DCP
=
，
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∴ARP
CPD
∽
，
∴AR
AP
PR
PC
DC
PD
=
=
，
设PD
x
=
，则
4
AP
x
−
=
，
∴4
3
x
PR
x
−
=
，
解得
2
4
3
x
x
PR
−
=
，
∴
2
4
3
x
x
PR
PD
x
−
+
=
+
2
1
7
3
3
x
x
−
=
+
2
1
7
49
3
2
12
x
−
−
=
+
，
∴当
7
2
x =
时，PR
PD
+
取最大值为49
12
．
