第1页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
二〇二六年全省初中学生学业水平考试（山东统考）
数学试题
注意事项：
1．本试卷共8 页，满分120 分．考试时长120 分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 毫米黑色签字笔将答
案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列实数中，比1 大的数是（ ）
A.
2
−
B. 0
C. 0.5
D.
2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1 比较，即可得出结果
【详解】解：∵负数小于正数，0 小于正数，
∴2
1
−，0
1
，
又∵0.5 1
，2
1.414
1
，
∴只有2 比1 大
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能
够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180° ，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，
进行逐一判断即可．
第2页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
3. 山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16 万平方公里．将160000 用科学记数法表示为（ ）
A.
6
016 10
.
B.
5
1.6 10
C.
6
1.6 10
D.
4
16 10
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的标准形式为
10n
a
，其中1
10
a
，n 为整数，只需按要求确定a 和n 的值即
可．
【详解】解：
5
160000
1.6 10
=
．
4. 如图所示几何体的俯视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可．
【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为：
5. 下列运算正确的是（ ）
A.
3
2
m
m
m
−
=
B.
2 3
6
(
)
m
m
=
C.
9
3
3
m
m
m
=
D. 2
3
6
m
m
m
=
【答案】B
【解析】
【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到
第3页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
正确结果．
【详解】解：A、
3
m 与
2
m 不是同类项，不能合并，∴A 错误；
B、
2 3
2 3
6
(
)
m
m
m
=
=
，运算正确，∴B 正确；
C、
9
3
9 3
6
3
m
m
m
m
m
−
=
=
，∴C 错误；
D、
(
) (
)
2
2
3
2 3
6
6
m
m
m m
m
m
=
=
，∴D 错误．
6. 如图，直线a
b
∥，直线c 分别交a ，b 于点A，B ．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a ，
c 于点M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧在
MAN
的内部交于点
C ；作射线AC 交b 于点D ．若
54
ABD
=
，则∠𝐴𝐷𝐵 的度数是（ ）
A. 36
B. 54
C. 63
D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图痕迹可知AD平分∠𝑀𝐴𝐵 ，利用平行线的性质求出∠𝑀𝐴𝐵 的度数，进而求出
DAB
，
最后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知，AD平分∠𝑀𝐴𝐵 ，
∴
1
2
MAD
DAB
MAB
=
=
，
∵a
b
∥，
∴
180
MAB
ABD
+
=
，
∵
54
ABD
=
，
∴
180
54
126
MAB
=
−
=
，
∴
1 126
63
2
DAB
=
=
；
在△𝐴𝐵𝐷 中，
180
180
54
63
63
ADB
ABD
DAB
=
−
−
=
−
−
=
7. 计算
2
1
1
1
x
x
x
−
+
+ 的结果是（ ）
A.
1
x−
B. 𝑥+ 1
C.
1
1
x −
D.
1
1
x +
第4页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】A
【解析】
【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果．
【详解】解：
2
1
1
1
x
x
x
−
+
+
= 𝑥2 −1
𝑥+ 1
(
)(
)
1
1
1
x
x
x
−
+
=
+
= 𝑥−1 ．
8. 甲、乙两名同学分别记录了自己连续6 天的1 分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．
根据图中信息，下列结论正确的是（ ）
A. 甲的跳绳成绩总是高于乙
B. 甲的跳绳成绩的众数为184
C. 甲的跳绳成绩的中位数小于乙
D. 甲的跳绳成绩的方差小于乙
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进
行判断即可．
【详解】解：由图可知，甲的成绩为：181,180,179,184,186,186；乙的成绩为：
177,179,181,183,188,188 ；
第5页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
对于A，第3 天甲的成绩179小于乙的成绩181，故A 错误；
对于B，甲的成绩中186 出现了2 次，出现次数最多，众数是186 ，故B 错误；
对于C，甲的成绩从小到大排列为179,180,181,184,186,186，中位数为181 184
182.5
2
+
=
；
乙的成绩从小到大排列为177,179,181,183,186,188 ，中位数为181 183
182
2
+
=
；
182.5 182
，
∴ 甲的中位数大于乙，故C 错误；
对于D，甲成绩的波动范围(
)
179 ~ 186 比乙成绩的波动范围(
)
177 ~ 188 小，故甲的跳绳成绩的方差小于
乙，故D 正确．
9. 在2026 年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5 km健步走项
目．两人8:00 从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15 min 后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他
们行走的路程
(km)
y
与时间
(min)
x
之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）
A. 8:25
B. 8:33
C. 9:00
D. 9:17
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25 分钟走了2km，停留15
分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25 分钟走了1.5km ，设出发后x 分钟小英追上小杰，根据两
人路程相等列方程求解即可
【详解】解：由图象可知，小英在0
25min
内行走了2km，
∴ 小英的速度为2 km / min
25
，
∵小杰在25min 内行走了1.5km ，
∴ 小杰的速度为1.5
3 km/ min
25
50
=
，
∵ 小英途中停留了15min ，
∴ 小英再次出发的时刻为第25 15
40(min)
+
=
，此时路程为2km，
第6页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
设小英追上小杰的时刻为出发后min
x
，
根据题意得：3
2
2
(
40)
50
25
x
x−
=
+
，
解得𝑥= 60 ，
∵ 两人8:00 从起点出发，
∴ 小英追上小杰的时刻是9:00．
10. 如图，点P 是抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
（𝑎≠0 ）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A. 2𝑎+ 𝑏= 0
B.
3
1
4
2
a
−
−
C. 对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
a
b
+
+
总成立
D. 若点
1
(1
,
)
A
m y
−
，
2
(1
,
)
B
m y
+
在抛物线上，则
1
2
y
y
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y 轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断
选项．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则𝑎< 0 .
∵ 顶点P 的坐标为(2,3) ，
∴ 对称轴为直线
2
x =
，即
2
2
b
a
−
=
，
4
b
a
−
=
，即4𝑎+ 𝑏= 0 ，故A 错误；
设抛物线的解析式为
2
(
2)
3
y
a x
=
−
+
.
令
0
x =
，得
4
3
y
a
=
+
，即抛物线与y 轴的交点坐标为(0,4
3)
a +
.
由图象可知，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方且在
1
y = 的下方，
第7页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
0
4
3 1
a
+ ， 解得
3
1
4
2
a
−
−
，故B 正确；
根据图象得：当
2
x =
时，
2
y
ax
bx
c
=
+
+
取得最大值为：𝑦= 4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐 ，
对任意实数t ，
2
4
2
at
bt
c
a
b
c
+
+
+
+
，
∴
2
4
2
at
bt
a
b
+
+
，故C 错误；
∵对称轴为
2
x =
，
∴1
2
1
m
m
−
−
=
+
，1
2
1
m
m
−
−
+
=
，
当𝑚= 0 时，两点到对称轴的距离相等，
1
2
y
y
=
，故D 错误．
二、填空题：本题共5 小题，每小题3 分，共15 分．
11. 计算：5
6
ab
ab
+
= ________．
【答案】
11ab
【解析】
【详解】解：
(
)
5
6
5
6
11
ab
ab
ab
ab
+
=
+
=
．
12. 如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________．
【答案】720° ##720 度
【解析】
【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式 (
)
2
180
n −
代入计算即可．
【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数𝑛= 6 ，
根据多边形内角和公式，得(
)
6
2
180
−
4 180
=
720
=
．
13. 若关于x 的一元二次方程(
2)(
)
0
x
x
m
−
−
=
的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
2
第8页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为10，即可求出另一
个根 ．
【详解】解：已知方程为(
2)(
)
0
x
x
m
−
−
=
得
2
0
x−
=
或
0
x
m
−
=
，
解得𝑥1 = 2 ，
2x
m
=
，
∵ 方程的一个根是10，
10
m
=
，
因此方程的另一个根为2．
14. 如图，一组反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
，
nk
y
x
=
，其中
0
x
，𝑘1 = 1 ，
1
n
n
k
k −
，n 为大
于1 的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y
x
=
的图象相交，交点依次记为
1A ，
2
A ，
3
A ，…，
n
A ．若
1
2
2
3
A A
A A
=
= …
1
2
n
n
A
A
−
=
=
，则
6k = ________．
【答案】36
【解析】
【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点𝐴𝑛的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件
1
2
n
n
A
A
−
=
得出
1
1
n
n
k
k −
−
= ，进而发现
nk 的数值规律，求出
6k 的值即可求解．
【详解】解：联立
n
y
x
k
y
x
=
=
，
解得
n
n
x
k
y
k
=
=
（负值舍去）
∴ 点𝐴𝑛的坐标为(
)
,
n
n
k
k
，
∵ 点
1
n
A −的坐标为(
)
1
1
,
n
n
k
k
−
−
，
第9页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
2(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
k
k
k
k
k
k
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
，
1
n
n
k
k −
，
(
)
1
1
2
n
n
n
n
A
A
k
k
−
−
=
−
，
1
2
n
n
A
A
−
=
，
(
)
1
2
2
n
n
k
k −
−
=
，
1
1
n
n
k
k −
−
= ，
1
1
k =
，
1
1
k
= ，
2
1
1
2
k
k
=
+ =
，
3
2
1
3
k
k
=
+ =
，
6
6
k =
，
2
6
6
36
k
=
=
．
15. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，
4 cm
AB =
，
5 cm
AD =
，点E 是边AD 的中点，点𝐹 在边CD
上，连接EF ．将纸片沿EF 折叠，点D 落在纸片上的点G 处，连接𝐴𝐺 ，CG ．若
3 cm
AG =
，GE
AB
，
则△𝐶𝐹𝐺 的面积为________
2
cm ．
【答案】
9
5
【解析】
【分析】先由折叠和GE
AB
推出 EG
ED
DF
GF
=
=
=
，从而四边形𝐷𝐸𝐺𝐹 是菱形，得 DG
EF
⊥
且
第10页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
J 为DG 中点，再利用菱形及中点构造中位线得到I //
J AG 且
3
2
EJ =
，结合
5
AD =
可证AG
DG
⊥
并求
得
4
DG =
，最后通过面积法求𝐹𝐻 ，利用相似三角形FHD
CKF
求出CK ，从而算出△𝐶𝐹𝐺 的面积．
【详解】解：连接DG ，作
,
FH
AD CI
AD
⊥
⊥
，
∵𝐴𝐷= 5 ，点E 是边AD的中点，
5
2
AE
DE
=
=
，根据折叠可知
5
2
GE =
，
GE
AB
，AB
CD
，
∴𝐸𝐺∥𝐶𝐷 ，
GEF
DFE
=
，
由折叠可知
DEF
GEF
=
，
DEF
DFE
=
，
5
2
DE
DE
=
=
，
由折叠可知
5
2
GF =
，
EG
DE
DF
GF
=
=
=
，
∴ 四边形𝐷𝐸𝐺𝐹 是菱形，
DG
EF
⊥
，
设
,
DG EF 交点为J ，
J
为DG 中点，
EJ
AG
，且
1
3
2
2
EJ
AG
=
=
，
AG
DG
⊥
，
5,
3
AD
AG
=
=
，
4,
2
DG
JD
=
=
，
在△𝐸𝐷𝐹 中，1
1
2
2
ED FH
EF JD
=
，
5
3 2
2 FH
=
，
12
5
FH
=
，
第11页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
设
,
GF CI 交点为𝐾 ，
I
FH
C
，KF
HD
，
FDH
CFK
=
，
I
FHD
C D
=
，
I
C D
CKF
=
，
FHD
CKF
=
FHD
CKF
∽
，
CK
CF
FH
DF
=
，
4
CD
AB
=
=
，
3
2
CF
=
3
2
12
5
5
2
CK
=
，
36
25
CK
=
，
1
1
5
36
9
2
2
2
25
5
CGF
S
GF CK
=
=
=
．
【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似
三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形𝐷𝐸𝐺𝐹 为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进
而用面积和相似计算三角形面积．
三、解答题：本题共8 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：
2
2
16
( 3)
−
−−
；
（2）解不等式组：
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
．
【答案】（1）3
第12页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
（2）2 < 𝑥< 3
【解析】
【小问1 详解】
解：
2
2
16
( 3)
−
−−
4 4 3
=
−+
3
=
；
【小问2 详解】
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
①
②
解不等式①得：𝑥> 2 ，
解不等式②得：
3
x
，
∴不等式组的解集为2 < 𝑥< 3 ．
17. 如图，在ABC
中，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 于点D ，点E ，F ，G 分别是边AC 、BC 、AB 的中点．
（1）求证：
EDF
ECF
△
≌△
；
（2）判断四边形𝐴𝐸𝐹𝐺 的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 ，
∴
90
ADC
BDC
=
=
．
在Rt ACD
中，点E 是AC 的中点，
∴
1
2
DE
AC
CE
=
=
．
同理
1
2
DF
BC
CF
=
=
．
∵EF
EF
=
，
∴
(
)
EDF
ECF SSS
≌
；
（2）解：四边形𝐴𝐸𝐹𝐺 是平行四边形，理由如下：
∵点E，F，G 是AC
BC
AB
，
，
的中点，
第13页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
∴EF 是ABC
的中位线，
∴
1
2
EF
AB
AG
EG
AG
=
=
，
∥
，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐺 是平行四边形．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得
,
DE
CE DF
CF
=
=
，结合
EF
EF
=
，根据SSS ，即可证明
EDF
ECF
△
≌△
；
（2）根据三角形中位线的性质可得EF
AG
EG
AG
=
，
，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形，即可得证．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
18. 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，
赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
请根据他们的对话解答下列问题：
（1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
（2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2 倍，则分别购买多
少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】（1）描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
（2）购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
【解析】
【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；
（2）设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个，得出总费用
10
600
W
m
=
+
，再利用一
次函数的性质求解即可．
第14页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【小问1 详解】
解：设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题意列方程组：
2
100
3
4
240
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
40
30
x
y
=
=
，
答：描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
【小问2 详解】
设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个．
(
)
2 20
m
m
−
，
解得
14
m
（m 为整数）．
设总费用为𝑊 ，则
(
)
40
30 20
10
600
W
m
m
m
=
+
−
=
+
．
因10
0
，则𝑊 随m 增大而增大，故当
14
m =
时，𝑊 最小．
10 14 600
740
W =
+
=
（元）
此时内画瓶数量为6 ，最少费用为740 元．
答：购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
19. 如图，AB 是
O
的直径，C ，D 是
O
上的两点，
AC
BD
=
，连接AC ，AD ，CD ，过点A 作
AH
CD
⊥
交DC 的延长线于点H ．
（1）求证：AH 是
O
的切线；
（2）若
2
AH =
，
5
sin
5
CAH
=
，求
O
的半径．
【答案】（1）证明：∵
AC
BD
=
，
∴
ADC
BAD
=
，
∴CD
AB
，
第15页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
∵AH
CD
⊥
，
∴AH
AB
⊥
，
又∵AB 是
O
的直径，
∴AH 是
O
的切线．
（2）
5
2
【解析】
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得
ADC
BAD
=
，进而判断CD
AB
，由AH
CD
⊥
即
可得出AH
AB
⊥
，由此判定AH 是
O
的切线．
（2）连接OC ，过点C 作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵 ，垂足为G ，构造矩形AHCG 和直角三角形Rt
OCG
△
，利用
5
sin
5
CAH
=
求出
1
AG
CH
=
= ，在Rt
OCG
△
中根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：连接OC ，过点C 作𝐶𝐺⊥𝐴𝐵 ，垂足为G ，
∵
90
H
HAG
=
=
，
∴四边形AHCG 是矩形，
∴
2
CG
AH
=
=
，𝐴𝐺= 𝐶𝐻 ，
∵
5
sin
5
CAH
=
，∠𝐻= 90° ，
∴
5
sin
5
HC
CAH
AC
=
=
，
∴
5
AC
HC
=
，
∵在Rt AHC
中，
2
2
2
AH
HC
AC
+
=
，
∴
2
2
2
2
( 5
)
CH
CH
+
=
，解得：𝐶𝐻= 1 ，（负值不合题意已经舍去），
∴
1
AG
CH
=
= ，
第16页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
设
O
的半径为r ，即𝑂𝐴= 𝑂𝐶= 𝑟 ，则
1
OG
OA
AG
r
=
−
= −，
∵在Rt
OCG
△
中，
2
2
2
OG
CG
OC
+
=
，
∴
2
2
2
2
(
1)
r
r
+
−
=
，解得：𝑟=
5
2，
答：
O
的半径为
5
2，
【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角
形，用勾股定理列方程”．
20. 某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分
九年级学生进行如下调查：
【调查内容】
关于项目式学习活动的调查问卷
问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）
①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度
④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究
问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）
A．查阅文献 B．上网查询 C．同伴合作 D．寻求指导 E．专业咨询问题
问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？
【数据处理】
信息1：将问题1 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
信息2：将问题2 的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．
解决困难的
方式
A
B
C
D
E
第17页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
选择人数
32
41
33
35
28
信息3：问题3 调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．
【分析应用】
根据调查信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；
（2）若有500 名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；
（3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列
表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．
【决策建议】
（4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．
【答案】（1）参与调查的学生总数为50 人，补全条形统计图如下：
（2）采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410 人
（3）两人恰好选择同一领域的概率为
1
3
（4）优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活
动中多分组鼓励学生同伴合作探究．（言之有理即可）
【解析】
【分析】（1）由图可知，主题①的人数为5 人，对应占比为10% ，据此即可求解参与调查的总人数，由主
题⑤的占比为12% 可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计
图；
（2）根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解；
（3）通过列表可得一共有9 种等可能的结果，其中选择同一领域的有3 种情况，即可求解；
（4）根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议．
【小问1 详解】
解：参与调查的学生总数为5 10%
50
=
（人），
第18页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
选择项目⑤的学生人数为50 × 12% = 6 (人)，选择项目③的学生人数为50 5 13 14 6
12
−−
−
−=
（人），
补全条形统计图略．
【小问2 详解】
解：
41
500
410
50
=
（人），
∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410 人．
【小问3 详解】
解：设分别用
, ,
A B C 表示科技、交通、经济三个领域，
列表如下：
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
由表可得，一共有9 种等可能的结果，其中选择同一领域的有3 种情况，
∴两人恰好选择同一领域的概率为
3
9 =
1
3．
【小问4 详解】
略
21. 我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合
实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，𝐴𝐺 为悬挂重物的铅垂线，AB 为
左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A为圆心，AB 为半径的标有均匀刻度的
弧组成角度盘．
第19页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、
矩尺盘的交点的刻度为读数．
（1）如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31° （
31
DAE
=
），矩尺盘读数为6（𝐷𝐸=
6 ），可知仰角
31
P
DAE
=
=
，
6
tan
tan
0.6
10
DE
P
DAE
AD
=
=
=
=
．如图3，右矩AD 与视线PF 重
合，角度盘读数为29（
29
DAE
=
），矩尺盘读数为5.5 （
5.5
DE =
），则仰角
P
= ________，
tan
P
________（结果精确到0.1）．
【应用探究】
（2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（𝐸𝐵 的长度）．如图5，某同学
站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB 前进，穿过城门
BD到达城门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45° ．已知
20m
AC =
，
该同学眼睛到地面的高度是1.6m ，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到0.1m ）．
【答案】（1）61；1.8
（2）8.3m
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出
90
61
P
DAE
=
−
=
，根据tan
tan
P
AED
=
，结合
正切定义，求出结果即可；
（2）设
m
EF
FN
x
=
=
，则
(
)
20
MF
x m
−
=
，则Rt △𝐸𝑀𝐹 中，根据tan
EF
EMF
MF
=
，得出
0.5
20
x
x
=
−
，求出x 的值，即可得出答案．
【小问1 详解】
解：根据题意可得：𝐴𝐺⊥𝑃𝑄 ，∠𝐴𝑄𝑃= 90° ，
∵
29
DAE
=
，
∴
90
61
P
DAE
=
−
=
，
∵在正方形ABCD中
90
ADC
=
，
∴
90
61
AED
DAE
=
−
=
，
∴
P
AED
=
，
∴
10
tan
tan
1.8
5.5
AD
P
AED
DE
=
=
=
；
第20页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【小问2 详解】
解：根据题意得：
1.6m
BF
CN
=
=
，
20m
MN
AC
=
=
，
90
EFM
EFN
=
=
，
45
NGH
=
，
GH
MN
⊥
，
5
KL =
，
10
JK =
，
∴
90
45
45
ENF
=
−
=
，
∴Rt
EFN
△
中，tan
EF
ENF
FN
=
，
即tan45
1
EF
FN
= =
，
∴EF
FN
=
，
设
m
EF
FN
x
=
=
，则
(
)
20
MF
x m
−
=
，
∵
90
MJL
EMF
MJL
KJL
+
=
+
=
，
∴
EMF
KJL
=
，
∴
5
tan
tan
0.5
10
KL
EMF
KJL
JK
=
=
=
=
，
∴Rt △𝐸𝑀𝐹 中，tan
EF
EMF
MF
=
，
即0.5
20
x
x
=
−
，
第21页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
解得：
6.67
x
，
∴
( )
6.67 1.6
8.27
8.3
EB
EF
FB
m
=
+
=
+
=
，
答：城门楼的顶端E 到地面的距离约为8.3m ．
22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在
表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是
抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
（1）如图2，甲站在地面的O 点处，从距离地面
1
2 m 高的A点踢出花枪，A点与O 点的水平距离OB 是
1
2 m ，花枪飞行到与O 点水平距离3m 的C 处达到最高，高度为3m ．
①设花枪离地面的高度为𝑦 (m) ，到O 点的水平距离为𝑥 (m) ．请建立平面直角坐标系，并求y 关于x 的函
数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与O 点水平距离𝑑 m 处接花枪，能接到的高度最大为
21
10 m ，最小为
1
2 m ，求d 的
取值范围．
（2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度ℎ (m) 与时间𝑡 (s)
之间的关系式是ℎ= −5𝑡2 + 7𝑡+
8
5（𝑡> 0 ），丙在距花枪落地点5m 处沿直线运动到花枪落地点．求丙的
平均速度．
【答案】（1）①如图，建立平面直角坐标系．
函数表达式为𝑦= −
2
5 (𝑥−3)2 + 3 ；
②d 的取值范围为
9
2 ≤𝑑≤
11
2
（2）丙的平均速度为
25
8 米/秒
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】（1）①由题意得，𝐴(
1
2 ,
1
2)，设函数表达式为：𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 + 3 ，把𝐴(
1
2 ，
1
2)代入𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 +
3 ，即可求解；
②当x
d
=
时，𝑦= −
2
5 (𝑑−3)2 + 3 = −
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5，由题意得，
1
2 ≤−
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5 ≤
21
10，即可求
解；
（2）当
0
h =
时，−5𝑡2 + 7𝑡+
8
5 = 0 ，求得t ，即可求解．
【小问1 详解】
解：①由题意得，𝐴(
1
2 ,
1
2)，设函数表达式为：𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 + 3 ，
把𝐴(
1
2 ，
1
2)代入𝑦= 𝑎(𝑥−3)2 + 3 ，得𝑎(
1
2 −3)
2
+ 3 =
1
2，
解得𝑎= −
2
5，
∴函数表达式为：𝑦= −
2
5 (𝑥−3)2 + 3 ．
②当x
d
=
时，𝑦= −
2
5 (𝑑−3)2 + 3 = −
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5，
由题意得，
1
2 ≤−
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5 ≤
21
10，
当−
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5 ≥
1
2时，整理得，4𝑑2 −24𝑑+ 11 ≤0 ，
令𝑦= 4𝑑2 −24𝑑+ 11 ，
当
0
y =
时，4𝑑2 −24𝑑+ 11 = 0 ，
解得𝑑1 =
1
2，𝑑2 =
11
2 ，
∴4𝑑2 −24𝑑+ 11 ≤0 的解集为
1
2 ≤𝑑≤
11
2 ；
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
当−
2
5 𝑑2 +
12
5 𝑑−
3
5 ≤
21
10时，整理得，4𝑑2 −24𝑑+ 27 ≥0 ，
令𝑦= 4𝑑2 −24𝑑+ 27 ，
当
0
y =
时，4𝑑2 −24𝑑+ 27 = 0 ，
解得𝑑1 =
3
2，𝑑2 =
9
2，
∴4𝑑2 −24𝑑+ 27 ≥0 的解集为0 ≤𝑑≤
3
2或𝑑≥
9
2；
由题意得，𝑑> 3 ，
综上所述，d 的取值范围为
9
2 ≤𝑑≤
11
2 ．
【小问2 详解】
解：当
0
h =
时，−5𝑡2 + 7𝑡+
8
5 = 0 ，
解得𝑡1 =
8
5，𝑡2 = −
1
5（舍去），
∴丙的平均速度为5 ÷
8
5 =
25
8 （米/秒）．
23. 在ABC
中，AB
AC
=
，∠𝐵𝐴𝐶= 120° ．
【观察与发现】
（1）如图1，将线段AC 绕点A顺时针旋转60得到线段AD ，点D 与点C 是对应点．点E ，F 分别在
边AB ，AC 上，AE
CF
=
，连接DE ，DF ．求证：DE
DF
=
．
【思考与探究】
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
（2）如图2，过点A作𝐴𝐻⊥𝐴𝐶 交BC 于点H ．点E ，F 分别在边AB ，AC 上，
2
CF
AE
=
，连接
EF ，HE ，HF ．猜想线段EF 与HE 的数量关系，并说明理由．
【拓展与延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长𝐹𝐸 至点G ，使𝐸𝐺= 𝐹𝐸 ，连接𝐺𝐴 ，𝐺𝐻 ．若𝐴𝐵= 6 ，
2 7
AG =
，求线段AE 的长度．
【答案】（1）证明：连接CD，如图所示：
根据旋转可得：∠𝐶𝐴𝐷= 60° ，𝐴𝐶= 𝐴𝐷 ，
∴ACD
为等边三角形，
∴CD
AD
=
，∠𝐴𝐶𝐷= 60° ，
∵
120
60
60
EAD
BAC
CAD
=
−
=
−
=
，
∴
EAD
ACD
=
，
∵AE
CF
=
，
∴
(
)
SAS
AED
CFD
≌
，
∴DE
DF
=
；
（2）
3
EF
HE
=
；理由如下：
∵𝐴𝐻⊥𝐴𝐶 ，
∴
90
HAF
=
，
∴
30
BAH
BAC
HAF
=
−
=
，
∴
1
sin
sin30
2
AH
C
HC
=
=
=
，
∵AB
AC
=
，
∴
(
)
1
180
120
30
2
A
C
−
=
=
=
，
∴
BAH
C
=
，
∵
2
CF
AE
=
，
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
2
AE
CF =
，
∴AE
AH
CF
HC
=
，
∴
AEH
CFH
△
∽△
，
∴
1
2
HE
AH
HF
HC
=
=
，
AHE
CHF
=
，
∴
AHE
AHF
AHF
CHF
+
=
+
，
即
EHF
AHC
=
，
∵HE
AH
HF
HC
=
，
∴HE
HF
AH
HC
=
，
∴EFH
ACH
∽
，
∴
30
EFH
C
=
=
，
90
HEF
HAC
=
=
，
∴
90
30
60
EHF
=
−
=
，
∴tan
tan60
3
EF
EHF
HF
=
=
=
，
∴
3
EF
HE
=
；
（3）1或2
【解析】
【分析】（1 ）连接CD ，证明
ACD
为等边三角形，得出CD
AD
=
，∠𝐴𝐶𝐷= 60° ，再证明
(
)
SAS
AED
CFD
≌
，即可得出结论；
（2）证明
AEH
CFH
△
∽△
，得出
1
2
HE
AH
HF
HC
=
=
，
AHE
CHF
=
，证明EFH
ACH
∽
，得出
30
EFH
C
=
=
，
90
HEF
HAC
=
=
，根据tan
tan60
3
EF
EHF
HF
=
=
=
，即可得出答案；
（3）延长CA ，并取点N，使AN
AF
=
，过点G 作GM
AN
⊥
于点M，根据中位线的性质得出
1
2
AE
GN
=
，
AE
GN
∥
，设AE
x
=
，则
2
2
GN
AE
x
=
=
，
2
2
CF
AE
x
=
=
，
6
2
AN
AF
x
=
=
−
，解直角三角形求
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
出
1
2
MN
GN
x
=
=
，
3
3
2
GM
GN
x
=
=
，根据勾股定理得出：(
)
(
)
(
)
2
2
2
6
3
2 7
x
x
−
+
=
，求出x 的
值，即可得出答案．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：延长CA ，并取点N，使AN
AF
=
，过点G 作GM
AN
⊥
于点M，如图所示：
则
90
GMA
=
，
∵𝐸𝐺= 𝐸𝐹 ，
∴AE 为FGN
的中位线，
∴
1
2
AE
GN
=
，AE
GN
∥
，
∴
120
GNA
BAC
=
=
，
∴
180
120
60
GNM
=
−
=
，
∵𝐴𝐵= 6 ，
∴
6
AC
AB
=
=
，
设AE
x
=
，则
2
2
GN
AE
x
=
=
，
2
2
CF
AE
x
=
=
，
6
2
AN
AF
x
=
=
−
，
∵
1
cos
cos60
2
MN
MNG
GN
=
=
=
，
3
sin
sin60
2
GM
MNG
GN
=
=
=
∴
1
2
MN
GN
x
=
=
，
3
3
2
GM
GN
x
=
=
，
∴
6
2
6
AM
AN
MN
x
x
x
=
+
=
−
+
=
−
，
在Rt
AGM
△
中，根据勾股定理得：
2
2
2
AM
GM
AG
+
=
，
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
即(
)
(
)
(
)
2
2
2
6
3
2 7
x
x
−
+
=
，
解得：𝑥1 = 2 ，𝑥2 = 1 ，
∴𝐴𝐸= 1 或2．
