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2026 年广东省初中学业水平考试
数学
（本试卷共6 页，23 小题，满分120 分．考试用时120 分钟．）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位
号填写在答题卡上．用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和
座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 5 的相反数是（ ）
A. 5
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴
的相反数是
．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
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【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在
平面内，把一个图形绕着某个点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中
心对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
3. 2026 年“五一”假期期间，广东全省跨区域人员流动量累计超1.79 亿人次，同比增长
．将数据
1.79 亿用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：
亿
．
4. 某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用公式
代入边数
计算即可．
【详解】解：六边形的内角和为
．
5. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
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【解析】
【详解】解：选项A：∵
与
不是同类项，不能合并，∴A 错误；
选项B：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，可得
，∴B 错误；
选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得
，∴C 错误；
选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减，当
时，
，∴D 正确．
6. 在平面直角坐标系中，一次函数
的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数
中
和
的符号即可确定图象经过的象限．
【详解】解：
一次函数
中，
，
该函数图象经过第一、二、三象限，
观察选项可知，只有A 选项符合题意．
7. 若点
在第一象限，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据第一象限内点的横纵坐标都为正，列出不等式组求解
的取值范围即可．
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【详解】解：∵第一象限内点的横坐标大于
，纵坐标大于
，点
在第一象限
∴可得不等式组
解不等式
，得
结合不等式
，可得
的取值范围是
．
8. 如图，
的半径为1，点
，
，
在
上，
．则图中阴影部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出圆心角
的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：
，
与
分别是
所对的圆周角和圆心角
的半径为
．
9. 某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和
小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项
目的结果数，代入概率公式计算即可．
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【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为
，
，
．
小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，共
种等可能结果．
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有
、
、
共
种结果．
所求概率
．
10. 如图，在
中，
，
，
，将
绕点
逆时针旋转
得
，连接
，则
的周长为（ ）
A.
B. 18
C.
D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理求出
的长，根据旋转的性质得到
及
，进而证得
，通过构造直角三角形求出
的长，最后计算周长即可．
【详解】解：在
中，
，
，
，
∴
，
∵将
绕点
逆时针旋转
得
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
过点
作
于点
，则四边形
为矩形，
∴
，
，
∴
，
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在
中，
，
∴
的周长为
．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分．
11. 已知方程
的一个根是1，则
_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于
的一元一次方程，求解即可得到
的值．
【详解】解: 因为是方程
的根，
将
代入方程得：
，
整理得
，
移项得
．
12. 因式分解：
_____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
13. 在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如
图，
，若
，
，则
_____．
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【答案】6
【解析】
【分析】根据余角的性质及已知条件
推导出
， 再根据锐角三角函数的定义在
中计算
的长即可．
【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
∴
．
14. 如图，在四边形
中，
，连接
，
，
，点
，
，
分别是
，
，
的中点，连接
，
，
，则
_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理求得
的长及
，再利用平行线的性质求得
，最后利用勾股定理求解．
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【详解】解：
点
分别是
的中点，
是
的中位线，
，
，
点
分别是
的中点，
是
的中位线，
，
，
，
，
在
中，
．
15. 如图，直线
与反比例函数
在第二象限的图象交于点
，
，与
轴交于点
．点
的横坐标为
，且
，则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点A 作
轴于点D，过点B 作
轴于点E，证明
，得出
，求出
，设点B 的坐标为
，
则
，
，求出
，
，根据
，
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得出
，求出b 的值，即可得出答案．
【详解】解：过点A 作
轴于点D，过点B 作
轴于点E，如图所示：
则
，
∴
，
∴
，
把
代入
得：
，
∴点A 的坐标为
，
∴
，
∵点A 在反比例函数图象上，
∴
，
把
代入
得：
，
解得：
，
∴点
的坐标为
，
设点B 的坐标为
，则
，
，
∵
，
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∴
，
，
解得：
，
，
∵点B 在反比例函数图象上，
∴
，
即
，
整理得：
，
解得：
或
，
当
时，
，不符合题意舍去；
当
时，
，
∴反比例函数解析式为
．
三、解答题（一）：本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分．
16. 计算：
．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
17. 如图，直线
经过
上的点
，且
，
，
．求证：直线
是
的切线．
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【答案】证明：连接
∵
，
∴
∴
∴
∵
∴
∵点
在
上，
∴
为半径，
∴直线
是
的切线．
【解析】
【分析】连接
，先由三角形内角和定理求出
的度数，再证明
为等腰三角形，则由三线合
一得到
，即可证明．
【详解】略
18. 如图，
，
，连接
．
（1）尺规作图：在
上作点
，连接
，使得
平分
．（保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接
，求证：四边形
是菱形．
【答案】（1）如图，点
即为所求；
（2）
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证明：∵
，
∴
∵
平分
∴
∴
∴
∵
∴
∵
，即
∴四边形
是平行四边形，
又∵
，
∴四边形
是菱形．
【解析】
【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出
的平分线与
的交点即为点
；
（2）先根据平行线+角平分线证明
，然后进行等量代换结合平行证明四边形
是平行四边
形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
四、解答题（二）：本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分．
19. 低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，稻种精准洒落，科技
助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B 两种型号的无人机可用来播种．
（1）如果购买1 台A 型无人机和3 台B 型无人机需9 万元，购买3 台A 型无人机和1 台B 型无人机需11
万元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元．
（2）每台A 型无人机比B 型无人机日均播种面积多200 亩，每台A 型无人机播种1500 亩所用时间与B
型无人机播种900 亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩．
【答案】（1）A 型无人机单价为3 万元，B 型无人机单价为2 万元．
（2）A 型无人机每台日均播种500 亩，B 型无人机每台日均播种300 亩．
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【解析】
【小问1 详解】
解：设A 型无人机的单价是x 万元、B 型无人机的单价是y 万元，
根据题意得：
，
解得：
，
答：A 型无人机单价为3 万元，B 型无人机单价为2 万元；
【小问2 详解】
解：设A 型无人机每台日均播种m 亩，B 型无人机每台日均播种
亩，则
，
解得
，
经检验
是分式方程的解且符合题意，
，
答：A 型无人机每台日均播种500 亩，B 型无人机每台日均播种300 亩．
20. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了古诗词知识竞赛．在300 名参赛学生中随机抽取12 名，他们的
参赛成绩（单位：分）如下：
67 83 66 85 79 81 86 86 90 91 72 98
（1）求这12 名学生参赛成绩的平均数
；
（2）求这12 名学生参赛成绩在
分与
分之间的人数，据此估计300 名学生参赛成绩在
分与
分之间的人数．
【答案】（1）
分
（2）12 名参赛学生中成绩在区间内的人数为8 人，估计300 名参赛学生中成绩在区间内的人数为200 人
【解析】
【分析】（1）利用平均数的计算公式即可得到答案；
（2）先计算出12 名参赛同学中参赛成绩在
分与
分之间的比例，再进行估算即可得到答
案．
【小问1 详解】
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解：
；
【小问2 详解】
解：参赛成绩在
分与
分之间，
即参赛成绩在
与
之间，
12 名参赛学生中一共有8 名同学的参赛成绩在
与
之间，
估计300 名参赛学生中成绩在区间内的人数
（人），
答：估计300 名参赛学生中成绩在区间内的人数为200 人．
21. 综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有
条直线两两相交，设它们最多有
个交点，相交所成的最小角为
．某数学学习小组提
出了下列探究问题．
问题一：
与
的关系；
问题二：
的最大值与
的关系．
【特例感知】
如图1，当
时，学习小组发现
，
的最大值为
．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当
时的两种情况，如图2，图3．
步骤二：观察分析
（一）由图2，图3 得
；
（二）在图2 中，
的最大值为
；
（三）在图3 中，
的最大值为
．
【规律探索】
（1）完成下表：
2
3
4
5
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1
3
的最大值
【解决问题】
（2）①用关于
的代数式表示
，直接写出即可；
②
的最大值与
的关系是什么？写出并说明理由．
【答案】（1）
2
3
4
5
1
3
6
10
的最大值
（2）①
；②
的最大值为
，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n 条直线将周角
分割为
个相邻的
角(对顶角两两相等)，设为
，
则
，
∵最小角为
，
∴
∴
解得
∴
的最大值为
．
【解析】
【分析】（1）找出规律即可求解；
（2）①根据（1）中填表得到的规律求解即可；②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不
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变，此时n 条直线将周角
分割为
个相邻的角(对顶角两两相等)，设为
，可
得不等式
，即可求解．
【小问1 详解】
解：2 条直线相交，最多有1 个交点，
的最大值为
；
3 条直线相交，最多有
个交点，
的最大值为
；
4 条直线相交，最多有
个交点，
的最大值为
；
5 条直线相交，最多有
个交点，
的最大值为
；
故填表见答案；
【小问2 详解】
解：①由（1）规律可得，
；
②略
五、解答题（三）：本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分．
22. 如图，在
中，
，
，点
在
上，且
，连接
．过
点
作
的垂线交
于点
，交
于点
，连接
，
．
（1）求
的长；
（2）求证：
；
（3）求
的值．
【答案】（1）4 （2）
证明：∵
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
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∴
∴
∵
∴
∴
；
（3）2
【解析】
【分析】（1）直接由勾股定理求解即可；
（2）证明
，得到
，再由
代入求证即可；
（3）先证明点
为
的中点，然后求出
，
，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
【小问1 详解】
解：∵
，
，
，
∴
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：由（2）知
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
．
23. 如图1，设
为坐标原点，二次函数
的图象经过点
，与
轴交于点
，其对
称轴与
轴交于点
，连接
，
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求
的值；
（3）如图2，动点
在线段
上，过点
作
的垂线
，与二次函数在第二象限的图象交于点
，
求
的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点
作
于点
，先由勾股定理求解
，然后运用等积法求解
，再由勾股定理求解
，即可求解
；
（3）过点
作
轴交
、
轴于点
，可得
，
为等腰直角三角形，设
，则
，设
，则
，表示出
，将点
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代入
，整理得
，那么得到
，整理得，
，再由二次函
数的性质求解即可．
【小问1 详解】
解：∵二次函数
的图象经过点
，
∴将点
代入
，则
解得
∴二次函数的解析式为
；
【小问2 详解】
解：过点
作
于点
对于
，当
时，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∵
∴对称轴为直线
∴
，
∴
，
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∴
，
∵
∴
∴
，
∴
∴在
中，
；
【小问3 详解】
解：过点
作
轴交
、
轴于点
，
由（2）知
，
∵
∴
，
∴
，
为等腰直角三角形
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
设
，则
，
同理设
，则
∴
∴
，
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将点
代入
，
则
，
整理得，
，
∵
∴
整理得，
设抛物线顶点为点
，对称轴与线段
的交点为点
，
∵
∴
，
同理可得
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
∴
∴当点
与点
重合时，则点Q 与抛物线顶点
重合，则点D 为抛物线对称轴与线段
的交点
，
∴
，
∵
∴当
时，
取得最大值，
∴最大值为
．
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