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2026 年陕西省初中学业水平考试
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8 页，总分120 分．考试
时间120 分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5 毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和
准考证号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24 分）
一、选择题（共8 小题，每小题3 分，计24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：
．
2. 下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
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轴对称图形．
3. 在一次劳动实践活动中，小欢采摘了
个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3 个，则小欢和小乐
一共采摘的西红柿的个数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可．
【详解】解：∵小欢采摘了
个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少
个，
∴小乐采摘西红柿的个数为
个，
∵
，
∴两人一共采摘的个数为
个．
4. 如图，
，垂足为
，直线
经过点
．若
，则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线的定义和已知条件求出
的度数，再由邻补角互补可得
的度数．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∵直线
经过点
，
∴
．
5. 一个正比例函数的图象经过点
，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】D
【解析】
【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到
正确结果．
【详解】解：设该正比例函数解析式为
，
∵函数图象经过点
，
∴将
代入解析式得
，
解得
，
∴该正比例函数解析式为
，
A 选项，
时，
，不符合；
B 选项，
时，
，不符合；
C 选项，
时，
，不符合；
D 选项，
时，
，符合解析式要求．
6. 如图，在
中，
，
，
．
的垂直平分线交
于点
，交
于
点
，则
的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到
，则
，根据题意可得
，
，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵在
中，
，
，
∴
，
∴
；
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∵
的垂直平分线交
于点
，交
于点
，
∴
，
，
∴
．
7. 如图，正方形
和正方形
，点
在
的延长线上．若
，则
的值为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形
的边长为
，则
，利用正方形性质求出
、
的长及
，
在
中利用正切定义求解．
【详解】解：连接
，如图：
设
，
∵四边形
和
是正方形，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
、
分别是正方形
、
的对角线，
∴
，
，
∴
，
∴在
中，
．
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8. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一
部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度
与水平距离
的关系可以表示为
，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：
，
∵
，
∴当
时，y 有最大值，最大值为90，
∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是
．
第二部分（非选择题共96 分）
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，计18 分）
9. 在实数
，
，
，
中，最大的数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0 大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数
和
的
大小，即可得到最大的数．
【详解】解：∵
是负数，因此
，
和
都是正数，都大于0，且
，
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∴
，
∴最大的数是
．
10. 在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是_________
（写出一个符合题意的几何体即可）．
【答案】
球（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题要求找出三视图中至少有一个视图存在圆的几何体，结合常见几何体的三视图特征即可作
答，答案不唯一．
【详解】解：常见几何体中，球的主视图、左视图、俯视图均为圆，满足“至少有一个视图中存在圆”的
要求，符合题意．因此这个几何体可以是球．
11. 某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480 元购买原材料，全部用于绘制秦
腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25 元的价格全部售出，将共获得的170 元利润全部捐出，用于乡
村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“数量
（成本
利润）
单价”列式求解即可．
【详解】解：
，
∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26．
12. 如图，
为
的直径，点
在
上，
的平分线交
于点
．若
，则
的长为
_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接
，根据直径所对的圆周角是直角得到
，由角平分线的定义和圆周角定理得到
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，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接
，
∵
为
的直径，
∴
，
∵
的平分线交
于点
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的长为
．
13. 如图，矩形
的顶点
，
分别在
轴，轴上，点
在第一象限，反比例函数
的图象经过
矩形
的对称中心
．若矩形
的面积为12，则
的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】设矩形边长，表示出对称中心D 的坐标，利用点D 在反比例函数图象上建立k 与边长的关系，结
合矩形面积求解．
【详解】解：设矩形
的边
，
，
则点B 的坐标为
，
，
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∵点D 是矩形
的对称中心，
∴点D 是对角线
的中点，
∴点D 的坐标为
，
∵反比例函数
的图象经过点D，
∴
，
∴
．
14. 如图，在
中，
，
，
．点
为
的中点，连接
，将
绕点
逆时针旋转
至
，连接
，则
的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接
，延长
到点
，使
，连接
，过点
作
的垂线，交
于点
，交
于点
，过点
作
交
于点
，根据旋转的性质得到
为等边三角形，从
而得到
，再证得
，得到对应边的长度，再解直角三角形求出
的
长度，根据平行线间垂线段相等求出
的长度，从而算出
的高进行求解．
【详解】解：如图所示，连接
，延长
到点
，使
，连接
，过点
作
的垂线，
交
于点
，交
于点
，过点
作
交
于点
；
，
∵
绕点
逆时针旋转
至
，
∴
，
∴
为等边三角形，
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∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
；
∵
，
．点
为
的中点，
∴
，
∴在
中，
，
∴
，解得
，
在
中，
，
∴
，解得
，
∵四边形
是平行四边形，
，
∴
，
，
则
，
∴
．
三、解答题（共12 小题，计78 分．解答应写出过程）
15. 计算：
．
【答案】
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【解析】
【详解】解：
．
16. 化简：
．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【详解】解：
解不等式①得
，
解不等式②得
，
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∴原不等式组的解集为
．
18. 如图，已知
，
．请用尺规作图法，求作一点
，使得四边形
为菱形．（保留作
图痕迹，不写作法）
【答案】如图，点
即为所求．
【解析】
【分析】由作图可得，
，则四边形
是菱形
【详解】解：分别以点
为圆心，
长为半径作弧，两弧在
右侧相交，交点即为点
．
19. 如图，
为等边三角形，点
在
的延长线上，
，
．求证：
．
【答案】证明：∵
为等边三角形，
∴
，
∵
∴
∴
∵
∴
．
【解析】
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【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，
，
，再由
，结合
即可证明．
【详解】略
20. 某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中
国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D 分别对
应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个
不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的
那本书．
（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________；
（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中
随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位
同学分享《红星照耀中国》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》
的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1 详解】
解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为
；
【小问2 详解】
解：列表如下：
小慧
小智
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由表格可知，一共有16 种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中
国》的结果有7 种，
∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为
．
21. 渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达
．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活
动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点
，
；
2．测量
，
的度数；
3．测量
，
两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点
，
，分别在
，
的
延长线上选取点
，
，使得
；
2．测量
，
两点之间的距离，
，
两点之间的距离，
与
之间的距离
．
测量数据
，
，
．
，
，
．
备注
1．点
是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：
，
，
．
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请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点
到
的距离）．
【答案】这段河道的宽度为
【解析】
【分析】方案一：过点
作
于点
，解
和
求解即可；方案二：过点
作
于点
，交
于点
，可得
，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解
即可．
【详解】解：方案一：过点
作
于点
，
∵
，
∴在
中，
，
在
中，
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∴这段河道的宽度为
；
方案二：过点
作
于点
，交
于点
，
∵
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
，
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∴
，解得
，
∴
，
答：这段河道的宽度为
．
22. 在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测
试”．测试赛道总长为
，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出
发
后运动员才出发，运动员出发
后追上机器人．如图，
，
分别表示运动员、机器人距起点
的距离
与时间
之间的关系．
（1）求
对应的函数表达式；
（2）求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出
，
的交点为
，再由待定系数法求解
对应的函数表达式；
（2）可求运动员在第
时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离．
【小问1 详解】
解：由题意得，机器人的速度为
，
由题意得，运动员
时追上机器人，此时机器人跑了
∴
，
的交点为
，
设
对应的函数表达式为
，代入点
，
，
则
，
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解得
，
∴
，
当
时，则
，解得
，
∴
对应的函数表达式为
；
【小问2 详解】
解：对于
，当
时，
则
，
解得
，
∴
，
∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为
．
23. 为深入落实“健康第一”教育理念，某校在七、八年级中开展科学健身技能竞赛．竞赛结束后，分别从
七、八年级竞赛成绩（单位：分，满分100 分，均不低于60 分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，
并进行了整理分析，绘制了如下统计表：
项
目
年
级
成绩频数分布（
表示成绩）
成绩数据分析
平
均
数
方差
七
年
级
八
年
级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若将所抽取的七年级的成绩分布情况制作成扇形统计图，则“
”对应的扇形的圆心角度
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数为_________；
（2）对于所抽取的七、八年级的成绩，中位数落在“
”内的是_________年级，更为整齐的是
_________年级；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90 分及以上的学生进行奖励，七、八年级分别有500 名和600 名学生参加
竞赛，请估计本次竞赛中这两个年级获奖的总人数．
【答案】（1）
（2）八；七 （3）272 人
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、扇形圆心角、中位数、方差、用样本估计总体的统计知识，解题关键是先
算出各年级抽样总人数，再结合对应统计公式分步计算、对比分析．
（1）求出七年级抽样总人数，用对应组频数除以总人数再乘
得到扇形圆心角；
（2）分别累加两组频数定位中位数所在区间，依据方差越小数据越整齐判断整齐年级；
（3）先算出样本中90 分及以上人数占比，再分别乘对应年级总参赛人数，相加得到获奖总人数估计值．
【小问1 详解】
解：
(人)
圆心角度数公式∶
【小问2 详解】
七年级总人数50，中位数是第25、26 个数；
累计∶ 10 (60 ≤𝑥< 70) + 16 (70 ≤𝑥< 80) = 26 ，
第25、26 落在
；
八年级总人数∶
，中位数是第25、26 个数；
累计∶
，前两组只有22 个，
第25、26 落在
．
方差越小，数据越整齐∶ 七年级方差138.5
八年级148.7，七年级更整齐．
【小问3 详解】
七年级抽样 50 人，获奖 14 人，500 人参赛获奖预估∶
人，
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八年级抽样 50 人，获奖 11 人，600 人参赛获奖预估∶
人，
人
答：本次竞赛中这两个年级获奖的总人数为272 人．
24. 如图，点
在
上，连接
并延长至点
，过点
作
的切线，切点为
，作弦
，垂
足为
，作弦
，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长．
【答案】（1）证明：连接
，并延长
交
于点
，
∵
为
的切线，
为半径，
∴
∵
∴
，即
∵
∴
垂直平分
∴
；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
，并延长
交
于点
，根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得
，再由三线合一得到
垂直平分
，即可得到
；
（2）设
，先对
运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解
，即可求解
，再
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证明
，则由
求解
，最后由垂径定理求解即可．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：设
，则
，
∵
，
∴
∴
，
解得
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
解得
，
∵
，
经过圆心，
∴
．
25. 已知二次函数
的自变量
与函数
的几组对应值如下表：
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…
…
…
…
（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）；
①
；②
；③当
时，
有最小值为
；④当
时，
的值随
值的增大而增大
（3）若将该二次函数的图象沿
轴向下平移6 个单位长度，交
轴于
，
两点，求
的长．
【答案】（1）如图，二次函数图象即为所求：
（2）①②③ （3）
【解析】
【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；
（2）根据函数图象分析即可；
（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令
，求出其与
轴的两个交点坐
标，即可求解
．
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【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故
，①正确；
抛物线与
轴有两个交点，故
，②正确；
由图象可得，当
时，
有最小值为
，③正确；
由图象可得，当
时，
的值随
值的增大而增大，④错误，
∴正确的有①②③；
【小问3 详解】
解：根据函数图象可得，顶点坐标为
，故设表达式为
将点
代入得，
，
解得
∴抛物线表达式为
∴沿
轴向下平移6 个单位长度后的抛物线表达式为
，即为
，
令
，则
解得
∴抛物线
与
轴的交点为
，
∴
．
26. 问题探究
（1）如图①，
是
的角平分线，若
，则
的值为_________；
（2）如图②，在
中，
，
，点
，
在边
上．若
，求
的度数；
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问题解决
（3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条
小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一
个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形
区域为农田，
，
为小路，小路的出口
，分别在农田边界
，
上，
与
相交于点
，点
为蓄水池，点
为水源接入口，
为地下输水管道．根据种植需求，
区域与
区域的面积之比为
，为了节约成本，还需使地下输水管道
最短．
已知
，
，
，
，
，请你帮助该村计算在满足种植
需求的情况下，当地下输水管道
最短时，四边形
区域的面积．（结果精确到
．小路的宽，
蓄水池的大小均忽略不计）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点
作
，垂足为点
，根据角平分线性质定理得到
，再
由三角形面积公式求解即可；
（2）证明
，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
（3）先证明
，得到
，取
的中点
，连接
，则
，则点
的轨迹为以
为圆心，
为直径的一段圆弧，
，故当点
三点
共线时，
取得最小值，过点
作
交
于点
，然后由
，求
出
，
，再证明四边形
是平行四边形，最后由
求解．
【小问1 详解】
解：过点
作
，垂足为点
，
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∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
；
【小问2 详解】
解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
【小问3 详解】
解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
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学科网（北京）股份有限公司
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
取
的中点
，连接
，则
，
∴点
的轨迹为以
为圆心，
为直径的一段圆弧，
，
∵
，
∴
，
∴当点
三点共线时（
在线段
上），
取得最小值，如图：
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过点
作
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴此时
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
，
答：当地下输水管道
最短时，四边形
区域的面积为
．
